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概要

Awodey  [1] の演習問題を解いていたところ,選択公理と同値な 命題を見付けたので証明を試みました.手許の文献でこの同値性に言及している ものはなかったと思います.

準備

以下では,圏Pos\mathbf{Pos}とは,半順序集合(partially ordered set,以下poset)を 対象,その間の単調写像を射とした圏であるとします. 恒等写像は明らかに単調ですし,単調写像と単調写像の合成が再び単調となるこ とからこれは実際に圏となります.

C{\bf C}の対象PP射影的(projective)であるとは,任意の 対象E,XCE, X \in {\bf C}と射f:PXf: P \to Xおよびエピ射e:EXe: E \twoheadrightarrow Xが与えら れたとき,次の図式を可換にする(一意とは限らない)射f^:PE\hat{f}: P \to E が必ず存在することである.

Diagram

射影的対象の概念を用いて,選択公理を言い換えたものが以下です.

以下の命題は選択公理と同値.

Sets\mathbf{Sets} の任意の対象は射影的である.

@alg-d さんのサイト [2] を参照.

Pos\mathbf{Pos}のエピ射は全射単調写像と完全に一致する.

eeがエピ射でないとすると,he=hehe = h'e かつ hhh \neq h'なる射が存在し, eeの定義域の外にh(x)h(x)h(x) \neq h'(x)なるxxが存在することになり全射となら ない.また,エピ射かつ全射でない単調写像eeが存在したとすると,ee の定義域の 外から一点を取り,その行き先を上手く違えた h,hh, h' を取ってやることで矛 盾を導くことが出来る.

また,以下では次の事実を用いる.

通常の集合SSは,離散poset,即ち,各元xSx \in Sについての反射律のみ を仮定して得られる poset と見做すことで Pos\mathbf{Pos} の対象と見做すことが出来る.

Pos\mathbf{Pos}Sets\mathbf{Sets}の関係

以下の命題は選択公理と同値.

集合を離散 poset と見做すことによって,Sets\mathbf{Sets}Pos\mathbf{Pos} の射影的対象 からなる充満部分圏となる.

  1. 集合の間の写像は,対応する離散 poset の間の単調写像と見做すこと が出来るので,結局はPos\mathbf{Pos}の射影的対象と離散posetが一致すること を示せばよい.

    まず,任意の集合SSPos\mathbf{Pos}で射影的であることを示そう.SSを集合, 即ち離散poset,E,XE, Xを任意のposetとし,単調写像f:SXf: S \to Xおよ びエピ射e:EXe: E \twoheadrightarrow Xが与えらえているとする. 今,poset AA に対応する台集合をA|A|,単調写像ffの台写像を f|f|で表わすことにすると,定理2よりPos\mathbf{Pos}での エピ射は全射でもあることに注意すると,Sets\mathbf{Sets}で次の図式を可換に する射f^:SE\hat{f}: |S| \to |E|が存在する.

    Diagram

    あとは,f^|\hat{f}|が単調写像となっていることを示せばよい.SSは 離散posetより,成立する順序関係は反射律のみであるので,特に f^(a)f^(a)|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a)が云えればよい.しかるに,EEは posetであったので反射律が成立し,特にf^(a)f^(a)|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a) が常に成立している.よってf^|\hat{f}|は単調写像. よって状況をPos\mathbf{Pos}に引き戻して

    Diagram

    が可換となる.よって任意の集合はPos\mathbf{Pos}で射影的である.

    逆に,PPosP \in \mathbf{Pos}を射影的対象とする.PPの元からなる離散posetを dis(P)\mathrm{dis}(P)と書くことにする.写像 i:dis(P)Pi:\mathrm{dis}(P) \twoheadrightarrow Pi(a)=ai(a) = aで定めると,これはは明らかに全射単調写 像であり,従ってPos\mathbf{Pos}のエピ射である.よって,以下を可換にするよ うな 1^P:Pdis(P)\hat{1}_P: P \to \mathrm{dis}(P)が存在する.

    Diagram

    すなわち,i1^P=1Pi \circ \hat{1}_P = 1_Pである.特にP=dis(P)|P| = |\mathrm{dis}(P)| であり,定義からi=1P=1dis(P)|i| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|}となる.すると, 1^Pi=1^Pi=1^P1P=1^P=1P1^P=i1^P=i1^P=1P=1P=1dis(P)=1dis(P)1^Pi=1dis(P)in Pos\begin{aligned} | \hat{1}_P \circ i | &= |\hat{1}_P| \circ |i| = |\hat{1}_P| \circ 1_{|P|} = |\hat{1}_P|\\ &= 1_{|P|} \circ |\hat{1}_P| = |i| \circ |\hat{1}_P| = |i \circ \hat{1}_P| \\ &= |1_P| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|} = |1_{\mathrm{dis}(P)}|\\ \therefore \hat{1}_P \circ i &= 1_{\mathrm{dis}(P)}\;\;\text{in}\ \mathbf{Pos} \end{aligned} よって,1^P\hat{1}_PPos\mathbf{Pos}での同型射となる.今,dis(P)\mathrm{dis}(P)は離散 poset だったので,それと同型となるPPもまた離散posetとなる.

    以上より示された.

  2. Pos\mathbf{Pos}の射影的対象と離散posetが一致すると仮定する.今,Factより 任意の集合AAは離散posetと同一視出来る.すると,A はPos\mathbf{Pos}で射影 的であり.他の集合E,XE, XPos\mathbf{Pos}の対象と見做せ,その間の全射 e:EXe: E \to Xと写像f:AXf: A \to Xが存在すれば,それらはposetとして のA,E,XA, E, X間の単調写像と同一視出来,とくにeePos\mathbf{Pos}でエピ射と なる.すると,それらに対して下の図式を可換にするf^:AE\hat{f}:A\to E が存在する.

    Diagram

    再びSets\mathbf{Sets}に戻って考えれば,これは任意の集合は射影的であると云 うことであり,定理1より選択公理が従う.

参考文献

  • [1]S. Awodey, Category Theory, vol. 52. Oxford University Press, 2010.
  • [2]@alg_d, “選択公理 | 壱大整域.” [Online]. Available: http://alg-d.com/math/ac/.

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