Pos 圏の射影的対象と選択公理 konn-san.com

Proof. @alg-d さんのサイト [2]を参照．

概略. $e$がエピ射でないとすると，$he = h'e$ かつ $h \neq h'$なる射が存在し， $e$の定義域の外に$h(x) \neq h'(x)$なる$x$が存在することになり全射となら ない．また，エピ射かつ全射でない単調写像$e$が存在したとすると，$e$ の定義域の 外から一点を取り，その行き先を上手く違えた $h, h'$ を取ってやることで矛 盾を導くことが出来る．

Proof.

1. 必要性．

   集合の間の写像は，対応する離散 poset の間の単調写像と見做すこと が出来るので，結局は$\mathbf{Pos}$の射影的対象と離散posetが一致すること を示せばよい．

   まず，任意の集合$S$は$\mathbf{Pos}$で射影的であることを示そう．$S$を集合， 即ち離散poset，$E, X$を任意のposetとし，単調写像$f: S \to X$およ びエピ射$e: E \twoheadrightarrow X$が与えらえているとする． 今，poset $A$ に対応する台集合を$|A|$，単調写像$f$の台写像を $|f|$で表わすことにすると，定理2より$\mathbf{Pos}$での エピ射は全射でもあることに注意すると，$\mathbf{Sets}$で次の図式を可換に する射$\hat{f}: |S| \to |E|$が存在する．

   あとは，$|\hat{f}|$が単調写像となっていることを示せばよい．$S$は 離散posetより，成立する順序関係は反射律のみであるので，特に $|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a)$が云えればよい．しかるに，$E$は posetであったので反射律が成立し，特に$|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a)$ が常に成立している．よって$|\hat{f}|$は単調写像． よって状況を$\mathbf{Pos}$に引き戻して

   が可換となる．よって任意の集合は$\mathbf{Pos}$で射影的である．

   逆に，$P \in \mathbf{Pos}$を射影的対象とする．$P$の元からなる離散posetを $\mathrm{dis}(P)$と書くことにする．写像 $i:\mathrm{dis}(P) \twoheadrightarrow P$ を $i(a) = a$で定めると，これはは明らかに全射単調写 像であり，従って$\mathbf{Pos}$のエピ射である．よって，以下を可換にするよ うな $\hat{1}_P: P \to \mathrm{dis}(P)$が存在する．

   すなわち，$i \circ \hat{1}_P = 1_P$である．特に$|P| = |\mathrm{dis}(P)|$ であり，定義から$|i| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|}$となる．すると， $$\begin{align*} | \hat{1}_P \circ i | &= |\hat{1}_P| \circ |i| = |\hat{1}_P| \circ 1_{|P|} = |\hat{1}_P|\\[0em] &= 1_{|P|} \circ |\hat{1}_P| = |i| \circ |\hat{1}_P| = |i \circ \hat{1}_P| \\[0em] &= |1_P| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|} = |1_{\mathrm{dis}(P)}|\\[0em] \therefore \hat{1}_P \circ i &= 1_{\mathrm{dis}(P)}\;\;\text{in}\ \mathbf{Pos} \end{align*}$$ よって，$\hat{1}_P$は$\mathbf{Pos}$での同型射となる．今，$\mathrm{dis}(P)$は離散 poset だったので，それと同型となる$P$もまた離散posetとなる．

   以上より示された．

2. 十分性．

   $\mathbf{Pos}$の射影的対象と離散posetが一致すると仮定する．今，Factより 任意の集合$A$は離散posetと同一視出来る．すると，A は$\mathbf{Pos}$で射影 的であり．他の集合$E, X$も$\mathbf{Pos}$の対象と見做せ，その間の全射 $e: E \to X$と写像$f: A \to X$が存在すれば，それらはposetとして の$A, E, X$間の単調写像と同一視出来，とくに$e$は$\mathbf{Pos}$でエピ射と なる．すると，それらに対して下の図式を可換にする$\hat{f}:A\to E$ が存在する．

   再び$\mathbf{Sets}$に戻って考えれば，これは任意の集合は射影的であると云 うことであり，定理1より選択公理が従う．