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はじめに

公理的集合論であるモデルの性質を調べる際,様々な概念の絶対性を多用します.このプリントは,どのような条件下でどんな概念が絶対性を満たすのかをメモした個人的な覚書です.あくまで手軽に使うための覚え書きなので,そこまで踏み込んだ証明などは載せず,寧ろ一覧表のような体裁になる予定です.

基本的な定義とΔ0\Delta_0-論理式

以下,特に断りのない限り言語はL={ϵ}\mathcal{L} = \left\{ \epsilon \right\}とする.

外延性公理,基礎の公理,内包公理,対の公理および和集合公理に加え,冪集合公理か置換公理のどちらか一方から成る公理系を集合論の基本公理系と呼び,記号BST\mathrm{BST}で表す.また,集合論の何らかの公理系Γ\Gammaに対し,Γ\Gammaから基礎の公理を取り除いたものをΓ\Gamma^-で表す.

  • 集合AAに対し,ϵA={(a,b)A×Aundefinedab}\epsilon_{{\mathfrak{A}}} = \left\{\: (a, b) \in A \times A \;\middle|\; a \in b \:\right\} により定まるL\mathcal{L}-構造をϵ\epsilon-モデルと呼ぶ.

  • ϵ\epsilon-モデルAAが推移的モデルdefA\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} Aは推移的集合である(xyAxAx \in y \in A \rightarrow x \in A

以下,特に推移的なϵ\epsilon-モデルの絶対性について議論することとする.

  • 論理式φL\varphi \in \mathcal{L}A,B\mathfrak{A}, \mathfrak{B}AB\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}なるL\mathcal{L}-構造とする.この時,

    AφBdefA\mathfrak{A} \preccurlyeq_\varphi \mathfrak{B} \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} A上の任意の付値σ\sigmaに対してAφ[σ]Bφ[σ]\mathfrak{A} \models \varphi[\sigma] \Leftrightarrow \mathfrak{B} \models \varphi[\sigma]

  • 論理式φ\varphiAAおよびBBについて絶対的 defAφB\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} A \preccurlyeq_\varphi B

  • 論理式φ\varphiAAについて絶対的 defAφV\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} A \preccurlyeq_\varphi V

ある概念が絶対的であるとは,その概念が部分モデルと拡大モデルで一致するということを意味する.推移的モデルでの絶対性を考える上で基本的な道具として,Δ0\Delta_0-論理式の概念は重要である:

次により帰納的に構成される論理式をΔ0\Delta_0-論理式と呼ぶ:

  1. 任意の原子論理式はΔ0\Delta_0論理式である

  2. φ\varphiΔ0\Delta_0x,yx, yを相異なる変数とするとxyφ\forall x \in y\, \varphiおよびxyφ\exists x \in y\, \varphiΔ0\Delta_0論理式

  3. Δ0\Delta_0論理式のブール結合もΔ0\Delta_0論理式である

即ち,Δ0\Delta_0論理式とは,それに現れる量化子が全て有界量化子であるような論理式の事である.

AB,A:A \subseteq B, A:推移的,φ:Δ0\varphi: \Delta_0論理式とすると,AφBA \preccurlyeq_\varphi B

構成による帰納法で明らか.

以下の概念は全てΔ0\Delta_0論理式と論理的に同値であり,従って任意の推移的モデルについて絶対的である:

  1. xxは空集合 zx(zz)\forall z \in x (z \neq z)

  2. xyx \subseteq yzx(zy)\Leftrightarrow \forall z \in x (z \in y)

  3. xx は推移的(yxzy(zx)\forall y \in x \forall z \in y (z \in x)

  4. xxは一点集合である(yxzx(y=x)\exists y \in x \forall z \in x (y = x)

  5. z={x,y}z = \left\{ x, y \right\}up(z,x,y)xzyzwz(w=xw=y)up(z,x,y) \equiv x \in z \wedge y \in z \wedge \forall w \in z (w = x \vee w = y)

  6. z=x,yz = \langle x, y \rangleop(z,x,y)vzwz[up(v,w,z)up(x,x,v)up(x,y,w)]op(z,x,y) \equiv \exists v \in z \exists w \in z [up(v,w,z) \wedge up(x,x,v) \wedge up(x,y,w)]

  7. z=xyz = x \cap yzxzyuz(uxuy)z \subseteq x \wedge z \subseteq y \wedge \forall u \in z(u \in x \wedge u \in y)

  8. z=xyz = x \cup y

  9. y=S(x)=x{x}y = S(x) = x \cup \left\{ x \right\}

  10. z=x×yz = x \times yuxvywz[w=u,v]wzuxvy[w=u,v]\forall u \in x \forall v \in y \exists w \in z [w = \langle u,v \rangle] \wedge \forall w \in z \exists u \in x \exists v \in y [w = \langle u,v \rangle]

  11. 任意の遺伝的有限集合 xx

BST\mathrm{BST} における絶対性

以上は任意の推移的モデルで云える.次に挙げる概念は幾らか公理を必要とし,特にBST\mathrm{BST}の推移的モデルについて絶対的である.その証明には以下の補題が役に立つ:

k<ω,φΔ0k < \omega, \varphi \in \Delta_0のとき,和集合公理の下でxkyφ\forall x \in \bigcup^k y\,\varphiおよびxkyφ\exists x \in \bigcup^k y\,\varphiΔ0\Delta_0

BST\mathrm{BST}の下で以下の概念は絶対的である:

  1. xxは非順序対

  2. xxは順序対

  3. xxは関係

  4. xxは関数

  5. xxは順序数である

  6. xxは後続順序数である

  7. xxは極限順序数である

  8. xxは自然数である

  9. x=ωx = \omega

  10. xωx \subseteq \omega

  11. z=yz = \bigcup y

  12. y=dom(x)y = \mathrm{dom}(x)

  13. y=rng(x)y = \mathrm{rng}(x)

  14. xxは関数でdom(x)\mathrm{dom}(x)からrng(x)\mathrm{rng}(x)への全単射

  15. xxは関数で,ydom(x)y \in \mathrm{dom}(x)であり,x(y)=zx(y) = z

  16. xxは有限である」を次で定義した場合:

    Fin(x)n,t,f[n<ωf:nonto1:1t]\mathrm{Fin}(x) \equiv \exists n, t, f [ n < \omega \wedge f: n \xrightarrow[onto]{1:1} t]

  17. xxは遺伝的有限である」を次で定義した場合: あるn,t,fn,t,fがあってxtx \subseteq tかつttは推移的集合,nnは自然数でf:n11ontotf : n \xrightarrow[\mathrm{1-1}]{\mathrm{onto}} t

zzは順序対x,y\langle x,y \rangleである」と「zzは順序対である」は違う概念である.前で見た通り,z=x,yz = \langle x,y \rangleは集合論の公理を使わずにΔ0\Delta_0-論理式で書くことが出来るが,「zzは順序対である」を表す論理式 x,y[z=x,y]\exists x, y \, [z = \langle x, y \rangle]はそのままでΔ0\Delta_0-論理式で書けるという訳には行かない.後者はBST\mathrm{BST}の下でx,y2z[z=x,y]\exists x, y \in \bigcup^2 z [z = \langle x, y \rangle]という論理式で表されるが,これがΔ0\Delta_0論理式である為には和集合公理が必要である.

一般にz=f(x,y)z = f(x,y)が絶対的であることと,関数ffが絶対的でることは異なる.関数の絶対性は,個々のx,y,zx, y, zについて偶然z=f(x,y)z = f(x,y)が絶対的であるだけではなく,関数ffが定義出来る事も含む.よってある関数が絶対的である為には,それを定義するのに十分な公理が必要になる.

nn項関係RR算術的 defR(x1,,xn)\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} R(x_1, \dots, x_n) が成り立つのは x1,,xnHFx_1, \dots, x_n \in \mathrm{HF}に対してのみであり,RRの定義に現れる量化子が全てHF\mathrm{HF}に相対化されている

次の関数・関係はBST\mathrm{BST}の推移的モデルについて絶対的である:

  1. 二引数関数 \cup および \cap

  2. 一引数関数 x\bigcap xおよびx\bigcup x.但し=\bigcap \emptyset = \emptysetとする.

  3. 対関数 x,y{x,y}x, y \mapsto \left\{ x,y \right\}および順序対関数x,yx,yx, y \mapsto \langle x, y \rangle

  4. 二引数関数 f,xf(x)f, x \mapsto f(x).ここでxxが定義域にない場合はf(x)=0f(x) = 0とする.

  5. x,yx×yx, y \mapsto x \times y

  6. 任意の算術的関係.

  7. φ\varphiL\mathcal{L}-論理式

  8. Aφ[σ]\mathfrak{A} \models \varphi[\sigma]

ZFP\mathrm{ZF}-P における絶対性

帰納的に定義された関数については,次の定理によりZFP\mathrm{ZF}-Pで絶対性を確立出来る.

R,G:R, G:定義済みの二項関係,A:A:クラスとし,特にRRAA上でleft-narrowな整礎関係であるとする.関数FFが次によって帰納的に定義されているとする: aA[F(a)=G(a,F(a))]\forall a \in A [F(a) = G(a, F \upharpoonright (a\mathord{\downarrow}))] また,簡単の為,FFAAの外では00を返すものとする(但しa={bAundefinedbRa}a \mathord{\downarrow} = \left\{\: b \in A \;\middle|\; b \mathrel{R} a \:\right\}).

MMZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルとし,もしR,A,GR, A, Gが共にMMで絶対的で(Rは left-narrow)M(R \text{は left-narrow})^Mかつ任意のaMa \in Mに対してaAa \mathord{\downarrow} \subseteq Aが成立するとする.この時,FM(a)F^M(a)は任意のaMa \in Mで定義され,FFMMについて絶対的となる.

以上を踏まえて,次が ZFP\mathrm{ZF}-Pで絶対的となる:

以下はZFPZF-Pの推移的モデルについて絶対的である:

  1. 推移閉包を取る一変数関数xtrcl(x)x \mapsto \mathop{\mathrm{trcl}}(x)

  2. 順序数演算α+β\alpha + \betaおよびαβ\alpha \cdot \beta

  3. RRAAを整列する」および「RRAA上整礎」

  4. 集合 HF\mathrm{HF}

  5. 集合 ω\omega

  6. 一変数関数x[x]<ωx \mapsto [x]^{<\omega}およびx<ωxx \mapsto {}^{<\omega} x

  7. 関数 xrank(x)x \mapsto \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(x)

  8. 順序数演算 αβ\alpha^\beta

  9. 定義可能集合を取る関数D(A,P)\mathcal{D}(A, P)およびD+(A),D(A)\mathcal{D}^+(A), \mathcal{D}^-(A)

  10. Gödelの構成可能階層を取る関数δL(δ)\delta \mapsto L(\delta)

Δ1\Delta_1-論理式と絶対性

Δ0\Delta_0-論理式に較べるとそこまで出番はないが,Δ1\Delta_1-論理式の概念も絶対性を判定する上で重要である:

以下,ψ\psiΔ0\Delta_0-論理式とする.

  • 論理式φ\varphiΠ1\Pi_1-論理式def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}ある変数x1,,xn(0n<ω)x_1, \dots, x_n\,(0 \leq n < \omega)があってφ=x1xnψ\varphi = \forall x_1 \dots \forall x_n \psi

  • 論理式φ\varphiΣ1\Sigma_1-論理式def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}ある変数x1,,xn(0n<ω)x_1, \dots, x_n\,(0 \leq n < \omega)があってφ=x0xnψ\varphi = \exists x_0 \dots \exists x_n \psi

  • 論理式φ\varphiが理論TTについてΔ1\Delta_1-論理式defΠ1\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \Pi_1-論理式ψΠ\psi_\PiΣ1\Sigma_1-論理式ψΣ\psi_\Sigma があって, TϕψΠψΣT \vdash \phi \leftrightarrow \psi_\Pi \leftrightarrow \psi_\Sigma

φ\varphiTTについてΔ1\Delta_1-論理式であるとする.この時φ\varphiTTに関して絶対的である.

記述集合論における絶対性

論理式の階層Πn1,Σn1,Δn1\mathbf{\Pi}^1_n, \mathbf{\Sigma}^1_n, \mathbf{\Delta}^1_nを次で定義する:

  1. 算術的論理式φ(x1,,xn,y)\varphi(x_1, \dots, x_n, y)zωωz \in {}^{\omega} {\omega}に対し,a1ωωanφ(a1,,an,z)\exists a_1 \in {}^{\omega} {\omega}\: \dots \exists a_n\: \varphi(a_1, \dots, a_n, z)の形の論理式をΣ11(z)\Sigma^1_1(z)-論理式と呼ぶ.

  2. 算術的論理式φ(x1,,xn,y)\varphi(x_1, \dots, x_n, y)zωωz \in {}^{\omega} {\omega}に対し,a1ωωanφ(a1,,an,z)\forall a_1 \in {}^{\omega} {\omega}\: \dots \forall a_n\: \varphi(a_1, \dots, a_n, z)の形の論理式をΠ11(z)\Pi^1_1(z)-論理式と呼ぶ.

  3. Πn1(z)\Pi^1_n(z)-論理式φ(x1,,xn)\varphi(x_1, \dots, x_n)に対し,a1ωωanωωφ(a1,,an)\exists a_1 \in {}^{\omega} {\omega}\:\dots \exists a_n \in {}^{\omega} {\omega}\: \varphi(a_1, \dots, a_n)の形の論理式をΣn+11(z)\Sigma^1_{n+1}(z)-論理式と呼ぶ.

  4. Σn1(z)\Sigma^1_n(z)-論理式φ(x1,,xn)\varphi(x_1, \dots, x_n)に対し,a1ωωanωωφ(a1,,an)\forall a_1 \in {}^{\omega} {\omega}\:\dots \forall a_n \in {}^{\omega} {\omega}\: \varphi(a_1, \dots, a_n)の形の論理式をΠn+11(z)\Pi^1_{n+1}(z)-論理式と呼ぶ.

  5. 論理式φ\varphiに対し,Σn1(z)\Sigma^1_n(z)-論理式φΣ\varphi_\SigmaΠn1(z)\Pi^1_n(z)-論理式φΔ\varphi_\Deltaがあり, Vω1φφΣφΔV_{\omega_1} \models \text{“}\varphi \iff \varphi_\Sigma \iff \varphi_\Delta\text{”}を満たす時, φ\varphiΔn1(z)\Delta^1_n(z)-論理式と呼ばれる.

  6. Σn1:=Σn1(),Πn1:=Πn1(),Δn1:=Δn1()\begin{gathered} \Sigma^1_n \mathrel{:=} \Sigma^1_n(\emptyset), \Pi^1_n \mathrel{:=} \Pi^1_n(\emptyset), \Delta^1_n \mathrel{:=} \Delta^1_n(\emptyset)\end{gathered}

  7. Σn1:=aωωΣn1(a),Πn1:=aωωΠn1(a),Δn1:=Πn1Σn1.\begin{gathered}\mathbf{\Sigma}^1_n \mathrel{:=} \bigcup_{a \in {}^{\omega} {\omega}} \Sigma^1_n(a), \qquad \mathbf{\Pi}^1_n \mathrel{:=} \bigcup_{a \in {}^{\omega} {\omega}} \Pi^1_n(a), \qquad \mathbf{\Delta}^1_n \mathrel{:=} \mathbf{\Pi}^1_n \cap \mathbf{\Sigma}^1_n.\end{gathered}

以下の議論には,次の概念が役に立つ:

  • TTα1××αn\alpha_1 \times \dots \times \alpha_n上の木 defTn(nα1××nαn)\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} T \subseteq \bigcup_n ({}^{n} {\alpha}_1 \times \dots \times {}^{n} {\alpha_n})かつ(s1,,sn)T(s1k,,snk)T(s_1, \dots, s_n) \in T \implies (s_1 \upharpoonright k, \dots, s_n \upharpoonright k) \in T.

  • TTα1××αn\alpha_1 \times \dots \times \alpha_n上の木の時, [T]:={(x1,,xn)ωα1××ωαnundefinedk<ω(x1k,,xnk)T},p[T]:={(x1,,x)undefinedx+1xn(x1,,x,x+1,,xn)[T]}.\begin{aligned} \phantom{} [T] &\mathrel{:=} \left\{\: (x_1, \dots, x_n) \in {}^{\omega} {\alpha_1} \times \dots \times {}^{\omega} {\alpha_n} \;\middle|\; \forall k < \omega \: (x_1 \upharpoonright k, \dots, x_n \upharpoonright k) \in T \:\right\},\\ p_\ell[T] &\mathrel{:=} \left\{\: (x_1, \dots, x_\ell) \;\middle|\; \exists x_{\ell+1}\dots \exists x_{n}\: (x_1, \dots, x_{\ell}, x_{\ell+1}, \dots, x_n) \in [T] \:\right\}. \end{aligned}

次は同値:

  1. AA: Σ11(z)\Sigma^1_1(z)

  2. A=p[T]A = p[T]を満たすω×ω\omega\times\omega上の木TL[z]T \in L[z]が存在する.

Σ11\mathbf{\Sigma}^1_1-概念は任意の推移的モデルについて絶対. 従ってΔ11\mathbf{\Delta}^1_1Π11\mathbf{\Pi}^1_1もそう.

MMをc.t.m.とし,AMA \in MΣ11\mathbf{\Sigma}^1_1-概念とする. すると,上の定理からA=p[T]A = p[T]となるようなω×ω\omega \times \omega上の木TTがとれるので, 各xωωx \in {}^{\omega} {\omega}に対しTx:={s<ωωundefined(xlh(s),s)T}T_x \mathrel{:=} \left\{\: s \in {}^{<\omega} {\omega} \;\middle|\; (x \upharpoonright \mathop{\mathrm{lh}}(s), s) \in T \:\right\}とおく. この時,明らかに(Tx,):ill-foundedxp[T]=A(T_x, \supsetneq): \text{ill-founded} \iff x \in p[T] = A.

よって,xMx \in M, NMN \supseteq Mとすると, (xA)M(Tx:ill-founded)M(Tx:ill-founded)N(定理6)(xA)N.\begin{aligned} (x \in A)^{M} &\iff (T_x: \text{ill-founded})^M\\ &\iff (T_x: \text{ill-founded})^N &\quad& (\because \text{定理}6)\\ &\iff (x \in A)^N. \end{aligned}

特に,Σ21\mathbf{\Sigma}^1_2-性の証拠となる木は可算であるから,上の補題は次のように推移的モデル以外にも一般化出来る.

AAΣ11\mathbf{\Sigma}^1_1-集合,TTp[T]=Ap[T] = Aを満たすω×ω\omega \times \omega上の木とする. H(ω)MH(\omega) \subseteq Mを満たす可算\mathord{\in}-モデルMMについて,A,TMA, T \in Mなら論理式「zAz \in A」はMMに対し絶対. 従ってΠ11\mathbf{\Pi}^1_1-概念やΔ11\mathbf{\Delta}^1_1-概念も絶対.

この系は,特にMMH(θ)H(\theta)の可算初等部分モデル(やその生成拡大)の時に有用である.

mos=mos(M,)\mathop{\mathrm{mos}} = \mathop{\mathrm{mos}}_{(M, \mathord{\in})}(M,)(M, \mathord{\in})の決定するMostwski崩壊としよう. Mˉ:=mos[M]\bar{M} \mathrel{:=} \mathop{\mathrm{mos}}[M]とおき,実数zMz \in Mを取る. この時,z,T,TzH(θ)Mz, T, T_z \subseteq H(\theta) \subseteq Mなので,Mostwski崩壊の性質からmos(z)=z,mos(T)=T,mos(Tz)=Tz\mathop{\mathrm{mos}}(z) = z, \mathop{\mathrm{mos}}(T) = T, \mathop{\mathrm{mos}}(T_z) = T_zが成り立つ事に注意すれば, MzAM(Tz,):ill-foundedMˉ(mos(Tz),):ill-foundedMˉ(Tz,):ill-founded(mos(Tz)=Tz)(Tz,):ill-founded(Mostwski絶対性)zA.\begin{aligned} M \models z \in A & \iff M \models (T_z, \supset) : \text{ill-founded}\\ &\iff \bar{M} \models (\mathop{\mathrm{mos}}(T_z), \supset): \text{ill-founded}\\ &\iff \bar{M} \models (T_z, \supset): \text{ill-founded} & \quad& (\mathop{\mathrm{mos}}(T_z) = T_z)\\ &\iff (T_z, \supset): \text{ill-founded} & & (\text{Mostwski絶対性})\\ &\iff z \in A. \end{aligned} よって示せた.

射影階層における絶対性の結果は,適切な仮定の下でもう一段だけ登ることが出来る. それには再び木を用いた議論を行う.

AΠ11A \in \mathbf{\Pi}^1_1なら,A=p[T]A = p[T]を満たすω×ω1\omega \times \omega_1上の木TTが取れる.

A=ωωp[S]A = {}^{\omega} {\omega} \setminus p[S]を満たすω×ω\omega \times \omega上の木SSを取る. この時,xA(Sx,):well-foundedx \in A \iff (S_x, \supsetneq): \text{well-founded}となる事に注意する. 特にSx0|S_x| \leq \aleph_0なので,SxS_xが整礎木の時,その対応するランク関数の値域はω1\omega_1で十分である. なので,(x,h)[T](x, h) \in [T]ならhhSxS_x上の(広い意味での)ランク関数となるようにω×ω1\omega \times \omega_1上の木TTを定めたい.

それには,全単射e:ω<ωωe: \omega \stackrel{\sim}{\to} {}^{<\omega} {\omega}n<lh(s)e1(sn)<e1(s)n < \mathop{\mathrm{lh}}(s) \rightarrow e^{-1}(s \upharpoonright n) < e^{-1}(s)を満たすものを一つ固定して,次のようにTTを定めれば良い: (s,h)Tdef{h:lh(s)κk,<lh(s)[e(k),e()Tse(k)e()h(k)<h()].(s, h) \in T \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \begin{cases} h: \mathop{\mathrm{lh}}(s) \to \kappa\\ \forall k, \ell < \mathop{\mathrm{lh}}(s)\:[e(k), e(\ell) \in T_s\wedge e(k) \supsetneq e(\ell) \longrightarrow h(k) < h(\ell)]. \end{cases}

AΣ21A \in \mathbf{\Sigma}^1_2なら,A=p[T]A = p[T]を満たすω×ω1\omega \times \omega_1上の木TTが取れる.

A=ωωp[S]A = \mathbf{\exists}^{{}^{\omega} {\omega}} p[S]を満たすようなω×ω×ω1\omega \times \omega \times \omega_1上の木SSを前の補題2により取る. この時,次によりTTを定めれば,これが明らかに求めるものになっている: T:={(s,t)undefined(slh(t)/2,(t)0,(t)1)S}.T \mathrel{:=} \left\{\: (s, t) \;\middle|\; (s \upharpoonright \lfloor \mathop{\mathrm{lh}}(t)/2 \rfloor, (t)_0, (t)_1) \in S \:\right\}. 但し,s<ωωs \in {}^{<\omega} {\omega}に対して (s)0:=s(2i)undefinedi<lh(s)/2,(s)1:=s(2i+1)undefinedi<lh(s)/2.(s)_0 \mathrel{:=} \left\langle\: s(2i) \; \middle|\; i < \lfloor \mathop{\mathrm{lh}}(s)/2 \rfloor \:\right\rangle,\quad (s)_1 \mathrel{:=} \left\langle\: s(2i+1) \; \middle|\; i < \lfloor \mathop{\mathrm{lh}}(s)/2 \rfloor \:\right\rangle.

ω1M\omega_1 \in Mを満たすZF\mathrm{ZF}の推移的モデルについて,Σ21\mathbf{\Sigma}^1_2-概念(よってΔ21\mathbf{\Delta}^1_2およびΠ21\mathbf{\Pi}^1_2概念も)は絶対. 特に,内部モデルに対しΠ21\mathbf{\Pi}^1_2, Σ21\mathbf{\Sigma}^1_2, Δ21\mathbf{\Delta}^1_2-概念は絶対.

AAΣ21\mathbf{\Sigma}^1_2-集合とすると,上の補題3からA=p[T]A = p[T]を満たすω×ω1\omega \times \omega_1上の木TTが取れる. 上と同様の議論によって, xATx:ill-foundedx \in A \iff T_x: \text{ill-founded} となる. ここで,ω1M\omega_1 \in MTTTxT_xの絶対性を保証するのに必要である.

ω1\omega_1は絶対的な概念ではないので,上のShoenfield絶対性は可算推移的モデルに使うことは出来ない. \in-モデルに対する絶対性は、H(ω)H(\omega)ω\omegaを大きく取れば同様に証明出来るが、可算初等部分モデルに対して用いることは出来ない。

参考文献

  • [1]K. Kunen, Set Theory, vol. 34. College Publications, 2011.
  • [2]T. Jech, Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded, 3rd ed. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2002.
  • [3]新井敏康, 数学基礎論. 岩波書店, 2011.
  • [4]K. Kunen, The Foundations of Mathematics, vol. 19. Kings College Publications, 2009.

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