概要

Shelahは実数の集合の性質に関する記念碑的論文  [1] において滅茶苦茶いろいろな事を示していて本当にヤバいんですが,その中で一節割いて「Cohen実数を付加するとSuslin木も足される」という事を示しています. 原論文における構成は結構煩雑に見えますが,後にTodorčević  [2] は彼の発明したminimal walkの手法を用いて自然で比較的簡単な構成を与えました. minimal walkの手法はAronszajn木の構成にも使えますが,これとCohen実数を単に合成してやる事でSuslin木が得られるのです. 本講演では,まず背景となる話題を紹介した後,これまでにやってきた強制法の応用例としてこの手法を紹介します.

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背景:直線の姿を予想する──Suslin予想

現代的な一般位相空間論では,よく可分性が問題になりますが,初期にそれと並んでよく採り上げられていたのが可算鎖条件 (countable chain condition; c.c.c.)でした:

  • 位相空間XX可分def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} XXは稠密な可算部分集合DDを持つ.

  • 位相空間XX可算鎖条件(countable chain condition; c.c.c.)を持つdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} XXの互いに交わらない開集合の族の濃度は高々可算. 言い換えれば,XXの非可算個の開集合から成る任意の族Uαundefinedα<ω1\left\langle\: U_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleに対し,UαUβU_\alpha \cap U_\beta \neq \emptysetとなるα<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1が必ず存在する.

任意の擬順序集合P\mathbb{P}はその開集合代数OP\mathcal{O}_{\mathbb{P}}に稠密に埋め込めるので,擬順序に関するc.c.c.は位相空間のc.c.c.の特別な場合になっています.

位相空間が可分であればc.c.c.を持つことはすぐにわかります:

位相空間XXが可分ならc.c.c.を持つ.

D={dnXundefinedn<ω}D = \left\{\: d_n \in X \;\middle|\; n < \omega \:\right\}XXの可算稠密部分集合とし,Uαundefinedα<ω1\left\langle\: U_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleXXの開集合から成る族とする. このとき,DDの稠密性から各α<ω1\alpha < \omega_1に対し,dnUαd_n \in U_\alphaとなるn<ωn < \omegaが取れる. そこでDn:={α<ω1undefineddnUα}D_n \mathrel{:=} \left\{\: \alpha < \omega_1 \;\middle|\; d_n \in U_\alpha \:\right\}とおけば,ω1\omega_1の正則性から少なくとも一つのnnについてDnD_nは非可算でなくてはならない. よってそこからα<βDn\alpha< \beta \in D_nを取ればdnUαUβd_n \in U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset.

では逆はどうか?というと,2κ2^\kappaに積位相を入れたものが反例になります:

κ>2ω\kappa > 2^\omegaとするとき,2κ2^\kappaに直積位相を入れた空間はc.c.c.だが可分ではない.

まずc.c.c.を示そう. 基本開集合から成る任意の族Uαundefinedα<ω1\left\langle\: U_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleを適当に取ってきて, 交わりを持つ二元が取り出せれば良い. まず,各UαU_\alphaSα[κ]<0S_\alpha \in [\kappa]^{<\aleph_0}Uβα2U^\alpha_\beta \subsetneq 2があって,Uα=βSαUβα×κSα2U_\alpha = \prod_{\beta \in S_\alpha} U^\alpha_\beta \times \prod_{\kappa \setminus S_\alpha} 2の形で書けていました. このSαS_\alphaUαU_\alpha(support)と呼びましょう. 各UαU_\alphaはその台SαS_\alpha上での所属関係だけしか気にしない,という訳です. また,直積成分22には離散位相が入っているので,各UαU_\alphaは関数hα:Sα3h_\alpha : S_\alpha \to 3と同一視出来ることに注意しましょう.

そこでω1\omega_1の部分集合の族Sαundefinedα<ω1\left\langle\: S_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleを取ると,Δ\Delta-システム補題からX[ω1]1X \in [\omega_1]^{\aleph_1}SαundefinedαX\left\langle\: S_\alpha \; \middle|\; \alpha \in X \:\right\rangleΔ\Delta-システムを成すものが取れます. 即ち,S[ω1]<0S \in [\omega_1]^{<\aleph_0}があって,どんな{α,β}[X]1\left\{ \alpha, \beta \right\} \in [X]^{\aleph_1}に対しても,SαSβ=SS_\alpha \cap S_\beta = Sとなるようなものが取れます. これはどういう事かというと,XXから相異なるα,β\alpha, \betaを取ってきた時に,条件が競合する場所はSS上だけになっている,という事です. この時,SS上での基本開集合の組み合わせは高々3S<03^{|S|} < \aleph_0通りしかないのに対し,SαS_\alphaたちはω1\omega_1個もありますから,正則性から適当なY[X]1Y \in [X]^{\aleph_1}が取れて,α,βY\alpha, \beta \in YならUξα=Uξβ(ξS)U^\alpha_\xi = U^\beta_\xi \;(\xi \in S)となるように出来ます. よって,α,βY\alpha, \beta \in Yとすれば,UαUβU_\alpha \cap U_\beta \neq \emptysetとなります. 以上より2κ2^\kappaはc.c.c.を満たします.

最後に可分でない事を見ましょう. 可算列xn2κundefinedn<ω\left\langle\: x_n \in 2^\kappa \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangleを任意に取って,これと交わらない空でない開集合を与えれば良いでしょう. この時,ξ<κ\xi < \kappaに対して,列xn(ξ)undefinedn<ω\left\langle\: x_n(\xi) \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangleの総数は高々2ω2^\omega個ですから,2ω<κ2^\omega < \kappaなので鳩ノ巣原理からξ<η<κ\xi < \eta < \kappaで任意のn<ωn < \omegaに対してxn(ξ)=xn(η)x_n(\xi) = x_n(\eta)となるものが取れます. そこで,W:={x2κundefinedx(ξ)=0,x(η)=1}W \mathrel{:=} \left\{\: x \in 2^\kappa \;\middle|\; x(\xi) = 0, x(\eta) = 1 \:\right\}とおけば,WWは空でない開集合です. すると,ξ,η\xi, \etaの取り方から任意のn<ωn < \omegaに対しxn(ξ)=xn(η)x_n(\xi) = x_n(\eta)が成り立つので,xnWx_n \in Wとなります.

では順序位相に限定した場合はどうでしょうか? 実数直線R\mathbb{R}は可分な全順序位相空間として有名です:

(X,<)(X, <)を次を満たす全順序位相空間(i.e. x,yX{±}x, y \in X \cup \left\{ \pm \infty \right\}に対し区間(x,y)(x, y)が生成する位相)とする:

  1. (X,<)(X, <)は端点を持たない稠密全順序,

  2. (X,<)(X, <)は位相空間として連結で可分.

この時,(X,<)(R,<)(X, <) \simeq (\mathbb{R}, <).

Suslinは「可分をc.c.c.で置き換えても同じ事が言える」と予想しました:

c.c.c.だが可分でない全順序位相空間(Suslin直線)は存在しない.

連結とか稠密とかが落ちていますが,適当に完備化とかを取れば同値になります.

これはまだ位相空間論的な概念ですが,木の概念を使うことで集合論的に言い換えることが出来ます:

  • T<αXT \subseteq {}^{<\alpha} {X}(tree) def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TTは始切片について閉じている:tTn<lh(t)tnT\forall t \in T \: \forall n < \mathop{\mathrm{lh}}(t)\: t\upharpoonright n \in T.

  • CTC \subseteq Tdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} CC(T,)(T, \subseteq)の全順序部分集合.

  • ATA \subseteq T反鎖def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}任意のs,tAs, t \in A, sts \neq tに対しsts \nsubseteq tかつtst \nsubseteq s

  • xTx \in Tに対し,rankT(x):=sup{rankT(y)+1undefinedyT,yx}\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) \mathrel{:=} \sup\left\{\: \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(y) + 1 \;\middle|\; y \in T, y \subsetneq x \:\right\}xxTTにおけるランクと言う.

  • height(T):=supxT(rankT(x)+1)\mathop{\mathrm{height}}(T) \mathrel{:=} \sup_{x \in T} (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) + 1)TT高さと呼ぶ.

  • Tα:={xTundefinedrankT(x)=α}T_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: x \in T \;\middle|\; \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) = \alpha \:\right\}.

  • CTC \subseteq T共終鎖def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} CCTTの鎖で,α<height(T)TαC\forall \alpha < \mathop{\mathrm{height}}(T)\: T_\alpha \cap C \neq \emptyset.

  • TTκ\kappa-木def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} height(T)=κ\mathop{\mathrm{height}}(T) = \kappaかつ任意のα<κ\alpha < \kappaに対しTα<κ|T_\alpha| < \kappa.

  • TTκ\kappa-Aronszajnアロンシャインdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TTκ\kappa-木で鎖は全て濃度κ\kappa未満. ω1\omega_1-Aronszajn木をAronszajn木と呼ぶ.

  • TT(κ\kappa-)Suslin木(またはSouslin木def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TTは(κ\kappa-)Aronszajn木で,TTの反鎖は濃度κ\kappa未満.

Suslin直線の存在とSuslin木の存在は同値

See §III.5 of Kunen  [3] .

よってSH\mathrm{SH}はSuslin木があるかないか,という問題に帰着されます. 実はSH\mathrm{SH}ZFC\mathrm{ZFC}上独立であることがわかっています. 今回扱うのは特にZFC+¬SH\mathrm{ZFC}+\neg \mathrm{SH}の無矛盾性,つまり「Suslin木がある」方向の結果です.

Cohen実数はSuslin木を付加する

Cohen強制法C\mathbf{C}はSuslin木を付加する.

まず次の補題を認める:

次を満たす列eαundefinedα<ω1\left\langle\: e_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleが存在する:

  1. 有限対一:各α\alphaについてeα:αωe_\alpha : \alpha \to \omegaは有限対一 (i.e. {β<αundefinedeα(β)=n}\left\{\: \beta < \alpha \;\middle|\; e_\alpha(\beta) = n \:\right\}は有限),

  2. 斉一性:各α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1に対し,{ξ<αundefinedeα(ξ)eβ(ξ)}<0\left|\left\{\: \xi < \alpha \;\middle|\; e_\alpha(\xi) \neq e_\beta(\xi) \:\right\}\right| < \aleph_0.

これを認めた上で先に定理1を示す. まず,このような列からAronszajn木が作れることを見ておく:

補題1のようなeαundefinedα<ω1\left\langle\: e_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleに対し,T:={eαβundefinedβα<ω1}T \mathrel{:=} \left\{\: e_\alpha \upharpoonright \beta \;\middle|\; \beta \leq \alpha < \omega_1 \:\right\}はAronszajn木となる.

まずTTω1\omega_1-木となることを見る. TTの第α\alphaレベルはTα:={eβαundefinedβ[α,ω1)}T_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: e_\beta \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \beta \in [\alpha, \omega_1) \:\right\}と書け,明らかにeαTαe_\alpha \in T_\alphaなので,ht(T)=ω1\mathop{\mathrm{ht}}(T) = \omega_1は良い. また,条件 (2)からtTαt \in T_\alphaなら{ξ<αundefinedt(ξ)eα(ξ)}<0|\left\{\: \xi < \alpha \;\middle|\; t(\xi) \neq e_\alpha(\xi) \:\right\}| < \aleph_0なので,結局Tα[α]<0×ω=0|T_\alpha| \leq [\alpha]^{<\aleph_0} \times \omega = \aleph_0よりTαT_\alphaは可算. 以上よりTTω1\omega_1-木である.

最後にTTが非可算鎖を持たないことを示そう. そこでCTC \subseteq Tが非可算鎖だったとすると,共終性からC:ω1ω\bigcup C: \omega_1 \to \omegaとなる. しかし,条件 (1)よりCCの各元は有限対一写像なので,その貼り合わせであるC\bigcup Cω1\omega_1からω\omegaへの有限対一写像となってしまうので矛盾.

VVで補題1の性質を満たすeαundefinedα<ω1\left\langle\: e_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleを取り,rrVV上のCohen実数とする. この時,Cohen強制法はc.c.c.を満たすのでeαe_\alphaたちはV[r]V[r]上でも依然として補題の条件を満たすことに注意する. この時,T(r):={reαβundefinedβ<α<ω1}T(r) \mathrel{:=} \left\{\: r \circ e_\alpha \upharpoonright \beta \;\middle|\; \beta < \alpha < \omega_1 \:\right\}V[r]V[r]でSuslin木となる事を示そう.

まず,上と同様にTα(r)={reβαundefinedβ[α,ω1)}T_\alpha(r) = \left\{\: r \circ e_\beta \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \beta \in [\alpha, \omega_1) \:\right\}であり,前の補題と同様にしてT(r)T(r)ω1\omega_1-木になることが従う.

次にT(r)T(r)は非可算反鎖も可算反鎖も持たないことを示そう. V[r]V[r]A={rtαundefinedα<ω1}[T(r)]1\mathcal{A} = \left\{\: r \circ t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} \in [T(r)]^{\aleph_1}を任意に取り,これが両立する二元も両立しない二元も含むことを示せばよい. 簡単の為,以下α<βlh(tα)lh(tβ)\alpha < \beta \implies \mathop{\mathrm{lh}}(t_\alpha) \leq \mathop{\mathrm{lh}}(t_\beta)であるとしよう. のちほど稠密集合を使った議論をしたいので,まずはtαundefinedα<ω1\left\langle\: t_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleVVに列として入っているとして良いことを見よう. そこでXp:={tαundefinedpCVr˙tαA˙}X_p \mathrel{:=} \left\{\: t_\alpha \;\middle|\; p \Vdash^{V}_{\mathbf{C}} \text{“}\dot{r} \circ t_\alpha \in \dot{\mathcal{A}}\text{”} \:\right\}とおけば,各pCp \in \mathbf{C}についてXpVX_p \in Vが成り立つ. このとき,{tαundefinedα<ω1}=prXp\left\{\: t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} = \bigcup_{p \subset r} X_pであり,prp \subset rなるppは可算個しかないので,少なくとも一つのXpX_pは非可算となる. よって,最初からこのXpX_pの元に範囲を取り直せば,{tαundefinedα<ω1}V\left\{\: t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} \in Vであるとしてよい.

斉一性の条件 (2)より,各tαt_\alphaが両立するか否かは,その有限桁だけ見てやればよい. そこで,tβ,tβt_\beta, t_{\beta'}の値が一致する範囲を表す記号を導入する: Δ(β,β):=min{n<ωundefinedξ<β[tβ(ξ),tβ(ξ)ntβ(ξ)=tβ(ξ)]}.\Delta(\beta, \beta') \mathrel{:=} \min\left\{\: n < \omega \;\middle|\; \forall \xi < \beta \: [t_\beta(\xi), t_{\beta'}(\xi) \geq n \implies t_\beta(\xi) = t_{\beta'}(\xi)] \:\right\}. この記号を使えば,A\mathcal{A}が反鎖でも鎖でもない事を示すには,以下の二つの集合がそれぞれC\mathbf{C}で稠密となることが示せればよい: E:={pCundefinedβ<β<ω1[ptβ=ptββ,Δ(β,β)lh(p)]},D:={pCundefinedβ<β<ω1[ptβptββ,Δ(β,β)lh(p)]}.\begin{aligned} E &\mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbf{C} \;\middle|\; \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \:\right\},\\ D &\mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbf{C} \;\middle|\; \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta \neq p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \:\right\}. \end{aligned} 実際,EEC\mathbf{C}で稠密なら,V[r]V[r]においてprp \subset rpEp \in Eとなるものが取れ, 証拠となるβ<β<ω1\beta < \beta' < \omega_1を取ればptβ=ptββp \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \betaであり,Δ(β,β)lh(p)\Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)よりrtβ=rtββr \circ t_\beta = r \circ t_{\beta'} \upharpoonright \betaとなり,これがA\mathcal{A}の両立する二元となる. 同様にDDに属すprp \subseteq rが取れれば,証拠となるβ<β\beta < \beta'についてrtβrtβr \circ t_{\beta} \perp r \circ t_{\beta'}となるので,これら二元は両立しない.

あとはEE, DDがそれぞれ稠密となる事がわかればよい. そこでpnωp \in {}^{n} {\omega}を固定する. 適当なtα,tβt_\alpha, t_\betaをとってきてしまうと,ppで決まっている範囲で既にptαp \circ t_\alphaptβp \circ t_\betaが異なってしまうかもしれない. そうした場合を排除するためにtαt_\alphaたちを取り直そう. まず,nn未満の値を取るξ<ω1\xi < \omega_1tα,tβt_\alpha, t_\betaとで一致するようなα<β\alpha < \betaが非可算個とれることを見よう.

そこでXα:={ξ<αundefinedtα(ξ)<n(=lh(p))}X_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: \xi < \alpha \;\middle|\; t_{\alpha}(\xi) < n\; (= \mathop{\mathrm{lh}}(p)) \:\right\}と置けば,各tαt_\alphaが有限対一写像である事よりXαX_\alphaは有限集合となる. よってΔ\Delta-システム補題を{Xα[ω1]<0undefinedα<ω1}\left\{\: X_\alpha \in [\omega_1]^{<\aleph_0} \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\}に適用すれば,Z[ω1]1Z \in [\omega_1]^{\aleph_1}S[ω1]<0S \in [\omega_1]^{<\aleph_0}{α,α}[Z]2XαXα=S\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2\: X_\alpha \cap X_{\alpha'} = Sとなる物が取れる. この時,tαSt_\alpha \upharpoonright Sの候補は可算個しかないので,鳩ノ巣原理から{α,α}[Z]2tαS=tαS\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2 \: t_\alpha \upharpoonright S = t_{\alpha'} \upharpoonright SとなるようにZZを取り直せる. 一々ZZと書くのは面倒なので,そもそも始めからA\mathcal{A}はこのように取れているとして以下議論を進めていく. そこで,α1<α2<ω1\alpha_1 < \alpha_2 < \omega_1を取り,ppを長さm:=Δ(α1,α2)m \mathrel{:=} \Delta(\alpha_1, \alpha_2)まで拡張する事を考えよう.

まずEEに属する元を取りたい. k=tα1(ξ)tα2(ξ)=k = t_{\alpha_1}(\xi) \neq t_{\alpha_2}(\xi) = \ellとなるようなk,k, \ellが共にnn以上であれば, q(k)=0q(k) = 0によって潰せば良い. もし少なくとも一方がnn未満であれば,同じ行き先に行くように潰してやればよい. q(k):={p()ξ<α1k=tαi(ξ)=tα1i(ξ)<n0otherwise.q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(\ell) & \exists \xi < \alpha_1 \: k = t_{\alpha_i}(\xi) \wedge \ell = t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}tαt_\alphaたちが単射である事に注意すれば,定義からqtα1=qtα2α1q \circ t_{\alpha_1} = q \circ t_{\alpha_2} \upharpoonright \alpha_1でありqpq \leq p, lh(q)=Δ(p,q)\mathop{\mathrm{lh}}(q) = \Delta(p, q)である.

最後にDDに入るように延ばせる事を見る. この時,相異なるα<α<ω1\alpha < \alpha' < \omega_1nΔ(α,α)n \leq \Delta(\alpha, \alpha')を満たすものが取れる. なぜなら,もし仮に任意のα,αZ\alpha, \alpha' \in Zに対しΔ(α,α)<n\Delta(\alpha, \alpha') < nとなるのであれば,適当なα0<ω1\alpha_0 < \omega_1を取って, eβ(α)(ξ):={eβ(α0)(ξ)eβ(α)(ξ)<neβ(α)(ξ)otherwisee'_{\beta(\alpha)}(\xi) \mathrel{:=} \begin{cases} e_{\beta(\alpha_0)}(\xi) & e_{\beta(\alpha)}(\xi) < n\\ e_{\beta(\alpha)}(\xi) & \text{otherwise} \end{cases} と定めてやれば,族eαundefinedα<ω1\left\langle\: e'_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleは依然として仮定 (1), (2)を満たす. しかし,この時{eβ(α)αundefinedαW}\left\{\: e'_{\beta(\alpha)} \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \alpha \in W \:\right\}{eαβundefinedα,β<ω1}\left\{\: e'_\alpha \upharpoonright \beta \;\middle|\; \alpha, \beta < \omega_1 \:\right\}の鎖となり,補題2に反する. よって,Δ(α0,α1)n\Delta(\alpha_0, \alpha_1) \geq nを満たすα0<α1<ω1\alpha_0 < \alpha_1 < \omega_1が存在する. そこでtαi(ξ)t_{\alpha_i}(\xi)の少なくとも一方がnn以上となるようなξ<β\xi < \betaを取る. この時,k[n,Δ(α0,α1)]k \in [n, \Delta(\alpha_0, \alpha_1)]に対し, q(k):={p(tα1i(ξ))+1(tαi(ξ)=k,tα1i(ξ)<n)k(otherwise)q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(t_{\alpha_{1-i}}(\xi)) + 1 & (t_{\alpha_i}(\xi) = k, t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n)\\ k & (\text{otherwise}) \end{cases} とおけばqtβqtββq \circ t_\beta \neq q \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta.

以上よりDD, EEC\mathbf{C}で稠密となり,V[r]Tr:SuslinV[r] \models \text{“}T_r: \text{Suslin}\text{”}が言えた.

斉一列eαe_\alphaの構成

最後に補題1を満たすeαundefinedα<ω1\left\langle\: e_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleをTodorčevićによるwalkの手法を用いて構成する.

  • 以下を満たすCαundefinedα<ω1\left\langle\: C_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleCC-列と呼ぶ:

    1. Cα+1:={α}C_{\alpha + 1} \mathrel{:=} \left\{ \alpha \right\},

    2. CγγC_\gamma \subseteq \gamma : cofinal in γ\gamma, otp(Cγ)=ω\mathop{\mathrm{otp}}(C_\gamma) = \omega.

    CC-列は明らかに存在するので,以下一つ固定する.

  • α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1に対し,β\betaからα\alphaへのstepとはmin(Cβα)<β\min(C_\beta \setminus \alpha) < \betaの事.

  • β\betaからα\alphaへのwalkとは次で定まるsαβ(i)undefinedi<ω\left\langle\: s^\beta_\alpha(i) \; \middle|\; i < \omega \:\right\rangleの事: s0β,α:=β,si+1β,α:=min(Csiβ,αα).s^{\beta,\alpha}_0 \mathrel{:=} \beta,\qquad s^{\beta,\alpha}_{i+1} \mathrel{:=} \min(C_{s^{\beta,\alpha}_i} \setminus \alpha). walkは順序数の真の減少列なので有限長で止まる. 定義よりisiβ,αα\forall i \: s^{\beta,\alpha}_i \geq \alphaであり,CC-列の取り方よりsiβ,α>αs^{\beta,\alpha}_i > \alphaならsi+1β,αs^{\beta,\alpha}_{i+1}は必ず定まるので,特に最終的にα\alphaと一致する.

  • ρ1(α,α)=0,ρ1(α,β):=max{ Cβα,ρ1(α,s1β,α) }\rho_1(\alpha, \alpha) = 0, \rho_1(\alpha, \beta) \mathrel{:=} \max\{\ |C_\beta \cap \alpha|, \rho_1(\alpha, s^{\beta,\alpha}_1)\ \} により関数ρ1\rho_1を定める.ρ1(α,β)\rho_1(\alpha, \beta)β\betaからα\alphaへのwalkの最大重み(maximal weight)と呼ぶ.

定義だけだとわかりづらいと思うので,α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1を固定しよう. 記号が重いので,βi:=siβ,α\beta_i \mathrel{:=} s^{\beta,\alpha}_iと略記することにすれば,以下のように図示出来る:

Diagram

β\betaからα\alphaに向けてCξundefinedξ<ω1\left\langle\: C_\xi \; \middle|\; \xi < \omega_1 \:\right\rangleを梯子に使って降りていくようなイメージである. 特に,各CξC_\xiω\omega-型に取ってあるので,途中のα\alphaで切ったら必ず有限で切れるようになっている. ρ1\rho_1はこのα\alpha未満の有限の端数の所に注目して,一番長い所の長さを持ってきた物である. そして,このρ1\rho_1が補題1の列を作る本質的な素になっている.

  1. ρ1(,β)\rho_1(-, \beta)は有限対一写像:任意のn<ωn < \omegaに対し{ξ<βundefinedρ1(ξ,β)=n}<0|\left\{\: \xi < \beta \;\middle|\; \rho_1(\xi, \beta) = n \:\right\}| < \aleph_0,

  2. ρ1\rho_1は斉一的(coherent):任意のβ<α<ω1\beta < \alpha < \omega_1に対し{ξ<βundefinedρ1(ξ,β)ρ1(ξ,α)}<0|\left\{\: \xi < \beta \;\middle|\; \rho_1(\xi, \beta) \neq \rho_1(\xi, \alpha) \:\right\}| < \aleph_0.

  1. 任意のA[β]0A \in [\beta]^{\aleph_0}n<ωn < \omegaに対しn<ρ1(ξ,β)n < \rho_1(\xi, \beta)を満たすξA\xi \in Aの存在を示せば良い. 特に,Cαξ>n|C_\alpha \cap \xi| > nを満たすξA\xi \in Aが取れるのなら自明なので,ξACξn\forall \xi \in A \: |C \cap \xi| \leq nとしよう.

    β\betaについて帰納法で示す.

    α:=supA\alpha \mathrel{:=} \sup Aと置く. α=β\alpha = \betaならば,十分大きなξA\xi \in Aρ1(ξ,β)Cβξ>n\rho_1(\xi, \beta) \geq |C_\beta \cap \xi| > nを満たすものがある.

    そこでα<β\alpha < \betaの場合を考える. ω\omegaの正則性から,特にCβξ=n|C_\beta \cap \xi| = nが任意のξA\xi \in Aに対して成立しているとして良く,この時η:=sξβ(1)=min(Cβξ)\eta \mathrel{:=} s^{\beta}_\xi(1) = \min(C_\beta \setminus \xi)ξA\xi \in Aに依らず常に一定の値を取り,特にα=supAη\alpha = \sup A \leq \etaが成り立つ. この時,各ξA\xi \in Aに対し, ρ1(ξ,β)=max{n,ρ1(ξ,η)}\rho_1(\xi, \beta) = \max \left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\} そこで帰納法の仮定をη\etaAηA \subseteq \etaに適用すれば,ξA\xi \in An<ρ1(ξ,η)n < \rho_1(\xi, \eta)を満たすものが取れる.すると, ρ1(ξ,β)=max{n,ρ1(ξ,η)}>n.\rho_1(\xi, \beta) = \max\left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\} > n.

    よってρ1\rho_1は有限対一.

  2. α\alphaについての帰納法で示す.

    β<α\beta < \alphaA[β]0A \in [\beta]^{\aleph_0}を任意に取って,ξA\xi \in Aρ1(ξ,β)=ρ1(ξ,α)\rho_1(\xi, \beta) = \rho_1(\xi, \alpha)を満たすものを取れれば良い. 適切にAAを縮めれば,otpA=ω\mathop{\mathrm{otp}} A = \omegaとしても一般性を失わない. γ:=supAβ\gamma \mathrel{:=} \sup A \leq \beta, η:=s1α,γ\eta \mathrel{:=} s^{\alpha,\gamma}_1, n:=Cαγn \mathrel{:=} |C_\alpha \cap \gamma|とおく. 上の結果からρ1\rho_1は有限対一なので, B:={ξAundefinedξ>max(Cαγ),ρ1(ξ,η)>n}B \mathrel{:=} \left\{\: \xi \in A \;\middle|\; \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma), \rho_1(\xi, \eta) > n \:\right\} とおけばAB<0|A \setminus B| < \aleph_0. ξBA\xi \in B \subseteq Aをとれば,supA=γξ>max(Cαγ)\sup A = \gamma \geq \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma)よりCαξ=CαγC_\alpha \cap \xi = C_\alpha \cap \gammaおよびCαξ=CαγC_\alpha \setminus \xi = C_\alpha \setminus \gamma. 以上を踏まえれば, ρ1(ξ,α)=max{ Cαξ,ρ1(ξ,s1α,ξ) }=max{ Cαγ=n,ρ1(ξ,η)>n }=ρ1(ξ,η).\begin{aligned} \rho_1(\xi, \alpha) &= \max \{\ |C_\alpha \cap \xi|, \rho_1(\xi, s^{\alpha,\xi}_1) \ \}\\ &= \max \{\ \underbrace{|C_\alpha \cap \gamma |}_{= n}, \underbrace{\rho_1(\xi, \eta)}_{> n} \ \} = \rho_1(\xi, \eta). \end{aligned} ここで,η=β\eta = \betaならρ1(ξ,α)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta)となるので適当にξB\xi \in Bを取ればそれが求めるものである. もしη<β\eta < \betaであれば,BBに帰納法の仮定が使え,ξB\xi \in Bρ1(ξ,η)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \eta) = \rho_1(\xi, \beta)を満たすものが取れ,上の議論と合わせてρ1(ξ,α)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta)となる.

折角なのでSH\mathrm{SH}の無矛盾性の概要を

こうしてSuslin予想を打ち砕く方向の構成は出来ました. では逆にSH\mathrm{SH}を成り立たせる,つまり「Suslin木がない」状況を実現するにはどうすればいいでしょうか? まず,Suslin木のうち性質の良い木だけ考えればよい,ということを見ましょう:

κ\kappa-木TTwell-pruned def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} どんなsTs \in Tに対してもtst \supsetneq sとなるtTt \in Tκ\kappa-個存在.

κ\kappa-Suslin木が存在するなら,well-prunedなκ\kappa-Suslin木も存在.

そういう頂点だけ集めてくればいいだけ.

例えば,一つSuslin木が与えられた時に,それを壊すだけなら簡単です:

TTをwell-prunedなκ\kappa-木とする.この時,stdefsts \leq t \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} s \supseteq tにより(T,)(T, \supseteq)を擬順序と見做す. この時,GGVV上のTT-ジェネリックフィルターとすると,GGTTの濃度κ\kappaの鎖.

特に,TTがAronszajn木(Suslin)ならV[G]V[G]においてTTはAronszajn(Suslin)ではない.

TTκ\kappa-木で,しかもwell-prunedなので,各α<κ\alpha < \kappaに対し,Dα:={sTundefinedrankT(s)>α}D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: s \in T \;\middle|\; \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(s) > \alpha \:\right\}TTで稠密. よって,GGは任意のα<κ\alpha < \kappaに対してGDαG \cap D_\alpha \neq \emptyset. また,GGの任意の二元は両立し,GX<αG \subseteq X^{<\alpha}なのでGGは鎖. よってGGは濃度κ\kappaTTの鎖.

よって一つ具体的にTTが与えられていれば,TTで強制する事によってTTのSuslin性を壊すことが出来ます.

なので,Suslin木を全部一列に並べておいて順に強制してやれば……という発想に至るのは自然な事です. しかし,問題となるのは,Suslin木で強制した事によって別のSuslin木が付加されている可能性がある,ということです. そういった状況下で,「途中で増えるかもしれない物の帳尻を最終的に合わせる」手法をbookkeeping論法といい,集合論では常套手段になっています. まず,Suslin木は強制法としてc.c.c.持ち,特に任意の基数を保つことに注意しましょう.

これを踏まえて,全てのSuslin木を殺す強制法を考えましょう. そのためには,「いちど強制拡大した後に追加される強制法で頑張る」という方法が必要になります. これを定式化したものが反復強制法です:

P\mathbb{P}を擬順序とする.

  • Q˙=(Q˙,˙Q,1˙Q)\dot{\mathbb{Q}} = (\dot{\mathbb{Q}}, \dot{\leq}_{\mathbb{Q}}, \dot{\mathbb{1}}_{\mathbb{Q}})擬順序のP\mathbb{P}-名称def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} PQ˙:擬順序\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}} : \text{擬順序}\text{”}.

  • Q˙\dot{\mathbb{Q}}を擬順序のP\mathbb{P}-名称とする. このとき,P\mathbb{P}Q˙\dot{\mathbb{Q}}二段階反復PQ˙\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}を次で定める: PQ˙:={(p,q˙)undefinedpP,1Pq˙Q˙}1PQ˙:=(1P,1˙Q)(p,q˙)PQ˙(p,q˙)defpPp&pq˙˙Qq˙\begin{gathered} \mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} \mathrel{:=} \left\{\: (p, \dot{q}) \;\middle|\; p \in \mathbb{P}, \mathbb{1} \Vdash_{\mathbb{P}} \text{“}\dot{q} \in \dot{\mathbb{Q}}\text{”} \:\right\}\\ \mathbb{1}_{\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}} \mathrel{:=} (\mathbb{1}_{\mathbb{P}}, \dot{\mathbb{1}}_{\mathbb{Q}})\\ (p, \dot{q}) \leq_{\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}} (p', \dot{q}') \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \leq_{\mathbb{P}} p' \mathbin{\&} p \Vdash \text{“}\dot{q} \mathrel{\dot{\leq}_{\mathbb{Q}}} \dot{q}'\text{”} \end{gathered}

直ちに次が言えます:

P\mathbb{P}を擬順序,Q˙\dot{\mathbb{Q}}を擬順序のP\mathbb{P}-名称とする. 次は同値:

  1. P\mathbb{P}がc.c.c.でPQ˙:c.c.c.\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}

  2. PQ˙\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}がc.c.c.

P\mathbb{P}をc.c.c.,PQ˙:c.c.c.\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}とする.A=(pα,q˙α)PQ˙undefinedα<ω1A = \left\langle\: (p_\alpha , \dot{q}_\alpha) \in \mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangleが反鎖であるとして矛盾を導こう(背理法). VPV^{\mathbb{P}}においてZ:={α<ω1undefinedpαGP}Z \mathrel{:=} \left\{\: \alpha < \omega_1 \;\middle|\; p_\alpha \in G_{\mathbb{P}} \:\right\}とおく. ここで相異なるα,βZ\alpha, \beta \in Zを取ると,pαpβp_\alpha \mathrel{\|} p_\betaかつAAが反鎖であることから,VPV^{\mathbb{P}}においてはq˙αGq˙βG\dot{q}_\alpha^G \perp \dot{q}_\beta^Gとなっている. すると,VPQ˙:c.c.c.V^{\mathbb{P}} \models \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}なので,Z<ω1|Z| < \omega_1でなくてはならない. ZZに対応するP\mathbb{P}-名称をZ˙\dot{Z}とすれば,PZ<ω1\mathbb{P} \Vdash \text{“}|Z| < \omega_1\text{”}である.

そこでVVに戻り,WWZ˙\dot{Z}の上界γ<ω1\gamma < \omega_1を決定するようなP\mathbb{P}の反鎖の中で極大なものとする. 即ち,各pWp \in WpZ˙γˇpp \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}_p\text{”}となるようなγp<ω1\gamma_p < \omega_1が存在するようなppからなる反鎖の中で極大の物である. P\mathbb{P}のc.c.c.性からW<ω1|W| < \omega_1なので,γ:=suppWγp\gamma \mathrel{:=} \sup_{p \in W} \gamma_pとおけばγ<ω1\gamma < \omega_1である. すると定め方からPZ˙γˇ\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}\text{”}. しかし,pγγˇZ˙p_\gamma \Vdash \text{“}\check{\gamma} \in \dot{Z}\text{”}となるのでこれは矛盾.

逆向きは完備埋め込みを考えれば自明.

これによって,「これを壊して,次にこれを壊して……」というのを有限回繰り返すのは出来,各段階で使う擬順序がc.c.c.なら基数を保つようにもできます. しかし,Suslin木は無限個あるので,繰り返しは超限回になる必要性があります. 後続段階では単に二段階の反復をすれば良いので,極限回目の反復をどうするかが問題になります. この部分で幾つか亜種がありますが,我々はその中で最も単純な有限台反復を用います:

Pαundefinedακ\left\langle\: \mathbb{P}_\alpha \; \middle|\; \alpha \leq \kappa \:\right\rangleが次の条件を満たすとき,Q˙αundefinedα<κ\left\langle\: \dot{\mathbb{Q}}_\alpha \; \middle|\; \alpha < \kappa \:\right\rangle有限台反復強制法であると呼ぶ:

  1. P0:={1}\mathbb{P}_0 \mathrel{:=} \left\{ \mathbb{1} \right\},

  2. 各元pPγp \in \mathbb{P}_\gammaは長さγ\gammaの列で,任意のβ<γ\beta < \gammaに対しpβPβ&Pβpˇ(βˇ)Q˙βp \upharpoonright \beta \in \mathbb{P}_\beta \mathbin{\&} \mathbb{P}_\beta \Vdash \text{“}\check{p}(\check{\beta}) \in \dot{\mathbb{Q}}_\beta\text{”},

  3. pPβ+1p \in \mathbb{P}_{\beta + 1}なら, pβ+1qdefpββqβpββp(β)˙Qβq(β)p \leq_{\beta+1} q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \upharpoonright \beta \leq_\beta q \upharpoonright \beta \wedge p \upharpoonright \beta \Vdash_\beta \text{“}p(\beta) \mathrel{\dot{\leq}_{\mathbb{Q}_\beta}} q(\beta)\text{”},

  4. γ\gammaが極限ならpPγp \in \mathbb{P}_\gammasuptp={α<γundefinedPβpˇ(βˇ)=1}\mathop{\mathrm{supt}}{p} = \left\{\: \alpha < \gamma \;\middle|\; \mathbb{P}_\beta \nVdash \text{“}\check{p}(\check{\beta}) = \mathbb{1}\text{”} \:\right\}は有限. pγqdefα<γ[pααqα]p \leq_\gamma q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \alpha < \gamma \: [p\upharpoonright \alpha \leq_\alpha q \upharpoonright \alpha].

α<γ[PααQ˙α:c.c.c.]\forall \alpha < \gamma \: [\mathbb{P}_\alpha \Vdash_\alpha \text{“}\dot{\mathbb{Q}}_\alpha: \text{c.c.c.}\text{”}]ならQ˙αundefinedα<γ\left\langle\: \dot{\mathbb{Q}}_\alpha \; \middle|\; \alpha < \gamma \:\right\rangleの有限台反復Pγ\mathbb{P}_\gammaもc.c.c.

極限ステップでがんばればわかる.

以上を踏まえてSuslin木を全部ブッ壊してみましょう. 面倒臭いので,以下GCH\mathrm{GCH}を仮定して,宇宙にω1\omega_1-木が幾つあるかを数えましょう. まず,ω1\omega_1-木TTは「高さω1\omega_1で各段階が高々可算」という木でしたから, 濃度は高々1×0=1\aleph_1 \times \aleph_0 = \aleph_1という事になります. なので,台集合は1\aleph_1だと思ってしまって,その上にX<αX^{<\alpha}と同型になるような順序が入っているとして良いでしょう. 1\aleph_1上の二項関係全体の濃度は高々21×1=212^{\aleph_1 \times \aleph_1} = 2^{\aleph_1}ですから,GCH\mathrm{GCH}を使えば,結局宇宙には高々2\aleph_2-個のSuslin木があることがわかります.

なので,帳尻を合わせるにはω2\omega_2-回の反復をすれば良さそうです. 反復強制法をやるに当たっては,単にSuslin木の全数だでけでなく,Suslin木になり得るP\mathbb{P}-名称全てをリストする必要がありますが,それを見積もるには以前使った次の補題が使えるでしょう:

P\mathbb{P}λ\lambda-c.c.を満たしP=ν|\mathbb{P}| = \nuとする. 基数μ\muに対してθ:=(ν<λ)μ\theta \mathrel{:=} (\nu^{<\lambda})^\muとするとP2μˇθˇ\mathbb{P} \Vdash 2^{\check{\mu}} \leq \check{\theta}.

今回の場合,各後続段階で反復する擬順序の濃度は高々1\aleph_1で,反復の回数はω2\omega_2-回なので,ν=1\nu = \aleph_1です. 各Qγ\mathbb{Q}_\gammaはc.c.c.を持ち,欲しいのは1×1\aleph_1 \times \aleph_1の部分集合の上限ですから,λ:=ω1\lambda \mathrel{:=} \omega_1, μ:=1\mu \mathrel{:=} \aleph_1とおけば,θ=(10)1=11=GCH2\theta = ({\aleph_1}^{\aleph_0})^{\aleph_1} = {\aleph_1}^{\aleph_1} \stackrel{\mathrm{GCH}}{=} \aleph_2となります. よって,結局各段階の強制拡大の途中で考慮する必要のあるSuslin木の個数の上限は2\aleph_2となります.

Con(ZFC)Con(ZFC+SH)\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}+\mathrm{SH})

いよいよBookkeepingをしていきます. 「α\alpha-回目の宇宙にあるβ\beta-番目のSuslin木」を二次元的に格子状に並べて,それを端っこから縫うように見ていくことで最終的に帳尻を合わせる論法です.

そこで,まず全単射h:ω2ω2×ω2h: \omega_2 \to \omega_2 \times \omega_2で,h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma)ならβα\beta \leq \alphaとなるようなものを固定します. h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma)の時にPβ\mathbb{P}_\betaによって追加されるγ\gamma-番目のSuslin木で強制してやるようにします.

具体的には以下のようにします. α<2\alpha < \aleph_2に関する帰納法で,Q˙α\dot{\mathbb{Q}}_\alphaT˙γαundefinedγ<2\left\langle\: \dot{T}^\alpha_\gamma \; \middle|\; \gamma < \aleph_2 \:\right\rangleを構成していきます:

  1. Pα\mathbb{P}_\alphaが決まった時, {T˙γαundefinedγ<ω2}\left\{\: \dot{T}^\alpha_\gamma \;\middle|\; \gamma < \omega_2 \:\right\}ω1\omega_1-木のPγ\mathbb{P}_\gamma-名称の(重複を許した)列挙とする.

  2. h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma)の時,T˙γβ\dot{T}^\beta_\gammaがwell-prunedなSuslin木ならQ˙α:=T˙γβ\dot{\mathbb{Q}}_\alpha \mathrel{:=} \dot{T}^\beta_\gamma,そうでないなら{1}\left\{ \mathbb{1} \right\}とする.

ここで,h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma)のとき,T˙γβ\dot{T}^\beta_\gammaPβ\mathbb{P}_\beta-名称であってPα\mathbb{P}_\alpha-名称ではありませんが,仮定よりβα\beta \leq \alphaPβ\mathbb{P}_\betaPα\mathbb{P}_\alphaに完備に埋め込めるので,ちゃんと名称を書き換えてやることが出来る訳です.

このようにして,P:=Pω2\mathbb{P} \mathrel{:=} \mathbb{P}_{\omega_2}Qα\mathbb{Q}_\alphaたちのω2\omega_2-段階有限台反復とします. VPV^{\mathbb{P}}にはSuslin木がない,ということを見ましょう. まず,P\mathbb{P}は前の補題よりc.c.c.なので全ての基数を保ち,特にω1,ω2\omega_1, \omega_2などはVVVPαV^{\mathbb{P}_\alpha}で絶対である事に注意しましょう. 特に,この事から「ω1\omega_1-木であること」や「ω1\omega_1-木TTがAronszajnであること」がVVVPαV^{\mathbb{P}_\alpha}で絶対的になります.

構成法から,途中のα<ω2\alpha < \omega_2で追加されるSuslin木については全て壊せていそうです. ただ,最終的にω2\omega_2の段階で何か木が追加されているのではないか?という不安が残ります. そこで,V[G]V[G]P\mathbb{P}-強制拡大として,TV[G]T \in V[G]を台集合をω1\omega_1とするwell-prunedなω1\omega_1-木とし,T˙\dot{T}を対応するP\mathbb{P}-名称とします. この時,各α,β<ω1\alpha, \beta < \omega_1に対し,Aα,βA_{\alpha,\beta}{pPundefinedp(αˇ,βˇ)T˙p(αˇ,βˇ)T˙}\left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; p \Vdash \text{“}(\check{\alpha}, \check{\beta}) \in \dot{T}\text{”} \lor p \Vdash \text{“}(\check{\alpha}, \check{\beta}) \in \dot{T}\text{”} \:\right\}の中で極大な反鎖とします. すると,T˙=α,β<ω1{(α,β)ˇ}×Aα,β\dot{T} = \bigcup_{\alpha, \beta < \omega_1} \left\{ \check{(\alpha, \beta)} \right\} \times A_{\alpha,\beta}と書けているとして良いでしょう. この時,上の補題からP\mathbb{P}はc.c.c.ですので,各Aα,βA_{\alpha,\beta}は高々可算です. α,β\alpha, \betaの組合せは全部で1\aleph_1-通りあるので,T˙\dot{T}に現れるP\mathbb{P}の元は高々1\aleph_1-個としてよいです. また,P\mathbb{P}は有限台反復なので,γ:=suppran(T˙)maxsupt(p)\gamma \mathrel{:=} \sup_{p \in \mathop{\mathrm{ran}}(\dot{T})} \max \mathop{\mathrm{supt}}(p)とおけば,γ<ω2\gamma < \omega_2であり,T˙\dot{T}Pγ\mathbb{P}_\gamma-名称と見做すことが出来,何らかのβ<ω2\beta < \omega_2があってPγT˙=T˙βγ\mathbb{P}_\gamma \Vdash \text{“}\dot{T} = \dot{T}^\gamma_\beta\text{”}となります. よって,途中の段階でT˙\dot{T}に対する共終路が付加されていますから,T˙\dot{T}はSuslinではありません.

「木」の定義について

一番一般的な「木」の定義は次の通りです:

半順序集合(T,<)(T, <)def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}任意のxTx \in Tに対しx:={yTundefinedy<x}\mathord{x\downarrow} \mathrel{:=} \left\{\: y \in T \;\middle|\; y < x \:\right\}は整列集合.

鎖や反鎖の概念も適切に定義出来,同様にκ\kappa-木やκ\kappa-Aronszajn, κ\kappa-Suslin木の概念も定義出来ます.

必ずしも全ての木がここで定義したようなX<αX^{<\alpha}の部分木の形で表せるとは限りません. しかし,次の性質を満たす木は全て我々の使った方法で表現出来ます:

  • (T,<)(T, <)Hausdorff def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} 任意のx,yTx, y \in Tに対し,x=y\mathord{x\downarrow} = \mathord{y \downarrow}ならx=yx = yが成立.

  • (T,<)(T, <)根つき木 def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} T0=1|T_0| = 1.

任意のHausdorffな根つき木TTは適当なα\alphaκ\kappaについてκ<α\kappa^{<\alpha}の部分木として表現出来る.

α:=height(T),κ:=supβ<height(T)Tβ\alpha \mathrel{:=} \mathop{\mathrm{height}}(T), \kappa \mathrel{:=} \sup_{\beta < \mathop{\mathrm{height}}(T)} |T_\beta|とおく. この時(T,<)(T,)(T, <) \simeq (T', \subsetneq)となるようなκ<α\kappa^{<\alpha}の部分木を定義したい. 以下,β<α\beta < \alphaの帰納法により各xTβx \in T_\betaに対しsxβκs_x \in {}^{\beta} {\kappa}を定める.

まずxT0x \in T_0に対してはsx=s_x = \emptysetとすればTTが根つき木であることから良い. TαT_\alphaまでの行き先が定まったとして,Tα+1T_{\alpha+1}の各元の行き先を定めよう. 任意のxTαx \in T_{\alpha}に対して,仮定より適当なξκ\xi \leq \kappaがあってxTα+1={xαundefinedα<ξ}\mathord{x \uparrow} \cap T_{\alpha+1} = \left\{\: x_\alpha \;\middle|\; \alpha < \xi \:\right\}の形に整列出来るので,各xαx_\alphaに対してsxα:=sxαs_{x_\alpha} \mathrel{:=} s_x \mathbin{{}^\frown} \alphaと定める. Tα+1T_{\alpha+1}の任意の元は必ずTαT_\alphaに直前の元を持つので,これによりTα+1T_{\alpha+1}からκ<α+1\kappa^{<\alpha+1}の中への順序単射が定まっている.

最後にα\alphaが極限の場合を考える. この時xTαx \in T_\alphaを取れば,任意のβ<α\beta < \alphaに対しxTβ=1|\mathord{x \downarrow} \cap T_\beta| = 1が成り立つのでxβx_\betaxTβ\mathord{x \downarrow} \cap T_\betaの唯一の元とする. この時,sx:=β<αsxβs_x \mathrel{:=} \bigcup_{\beta < \alpha} s_{x_\beta}によりsxs_xを定める. xx\downarrowが整列集合であることとs()s_{(-)}