Cohen実数はSuslin木を付加する konn-san.com

Proof. $D = \left\{\: d_n \in X \;\middle|\; n < \omega \:\right\}$を$X$の可算稠密部分集合とし，$\left\langle\: U_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$を$X$の開集合から成る族とする． このとき，$D$の稠密性から各$\alpha < \omega_1$に対し，$d_n \in U_\alpha$となる$n < \omega$が取れる． そこで$D_n \mathrel{:=} \left\{\: \alpha < \omega_1 \;\middle|\; d_n \in U_\alpha \:\right\}$とおけば，$\omega_1$の正則性から少なくとも一つの$n$について$D_n$は非可算でなくてはならない． よってそこから$\alpha< \beta \in D_n$を取れば$d_n \in U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$.

Proof. まずc.c.c.を示そう． 基本開集合から成る任意の族$\left\langle\: U_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$を適当に取ってきて， 交わりを持つ二元が取り出せれば良い． まず，各$U_\alpha$は$S_\alpha \in [\kappa]^{<\aleph_0}$と$U^\alpha_\beta \subsetneq 2$があって，$U_\alpha = \prod_{\beta \in S_\alpha} U^\alpha_\beta \times \prod_{\kappa \setminus S_\alpha} 2$の形で書けていました． この$S_\alpha$を$U_\alpha$の台(support)と呼びましょう． 各$U_\alpha$はその台$S_\alpha$上での所属関係だけしか気にしない，という訳です． また，直積成分$2$には離散位相が入っているので，各$U_\alpha$は関数$h_\alpha : S_\alpha \to 3$と同一視出来ることに注意しましょう．

そこで$\omega_1$の部分集合の族$\left\langle\: S_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$を取ると，$\Delta$-システム補題から$X \in [\omega_1]^{\aleph_1}$で$\left\langle\: S_\alpha \; \middle|\; \alpha \in X \:\right\rangle$が$\Delta$-システムを成すものが取れます． 即ち，$S \in [\omega_1]^{<\aleph_0}$があって，どんな$\left\{ \alpha, \beta \right\} \in [X]^{\aleph_1}$に対しても，$S_\alpha \cap S_\beta = S$となるようなものが取れます． これはどういう事かというと，$X$から相異なる$\alpha, \beta$を取ってきた時に，条件が競合する場所は$S$上だけになっている，という事です． この時，$S$上での基本開集合の組み合わせは高々$3^{|S|} < \aleph_0$通りしかないのに対し，$S_\alpha$たちは$\omega_1$個もありますから，正則性から適当な$Y \in [X]^{\aleph_1}$が取れて，$\alpha, \beta \in Y$なら$U^\alpha_\xi = U^\beta_\xi \;(\xi \in S)$となるように出来ます． よって，$\alpha, \beta \in Y$とすれば，$U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$となります． 以上より$2^\kappa$はc.c.c.を満たします．

最後に可分でない事を見ましょう． 可算列$\left\langle\: x_n \in 2^\kappa \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangle$を任意に取って，これと交わらない空でない開集合を与えれば良いでしょう． この時，$\xi < \kappa$に対して，列$\left\langle\: x_n(\xi) \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangle$の総数は高々$2^\omega$個ですから，$2^\omega < \kappa$なので鳩ノ巣原理から$\xi < \eta < \kappa$で任意の$n < \omega$に対して$x_n(\xi) = x_n(\eta)$となるものが取れます． そこで，$W \mathrel{:=} \left\{\: x \in 2^\kappa \;\middle|\; x(\xi) = 0, x(\eta) = 1 \:\right\}$とおけば，$W$は空でない開集合です． すると，$\xi, \eta$の取り方から任意の$n < \omega$に対し$x_n(\xi) = x_n(\eta)$が成り立つので，$x_n \in W$となります．

Proof. See §III.5 of Kunen  [3].

Proof. まず$T$が$\omega_1$-木となることを見る． $T$の第$\alpha$レベルは$T_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: e_\beta \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \beta \in [\alpha, \omega_1) \:\right\}$と書け，明らかに$e_\alpha \in T_\alpha$なので，$\mathop{\mathrm{ht}}(T) = \omega_1$は良い． また，条件 (2)から$t \in T_\alpha$なら$|\left\{\: \xi < \alpha \;\middle|\; t(\xi) \neq e_\alpha(\xi) \:\right\}| < \aleph_0$なので，結局$|T_\alpha| \leq [\alpha]^{<\aleph_0} \times \omega = \aleph_0$より$T_\alpha$は可算． 以上より$T$は$\omega_1$-木である．

最後に$T$が非可算鎖を持たないことを示そう． そこで$C \subseteq T$が非可算鎖だったとすると，共終性から$\bigcup C: \omega_1 \to \omega$となる． しかし，条件 (1)より$C$の各元は有限対一写像なので，その貼り合わせである$\bigcup C$は$\omega_1$から$\omega$への有限対一写像となってしまうので矛盾．

Proof of Theorem 1. $V$で補題1の性質を満たす$\left\langle\: e_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$を取り，$r$を$V$上のCohen実数とする． この時，Cohen強制法はc.c.c.を満たすので$e_\alpha$たちは$V[r]$上でも依然として補題の条件を満たすことに注意する． この時，$T(r) \mathrel{:=} \left\{\: r \circ e_\alpha \upharpoonright \beta \;\middle|\; \beta < \alpha < \omega_1 \:\right\}$ が$V[r]$でSuslin木となる事を示そう．

まず，上と同様に$T_\alpha(r) = \left\{\: r \circ e_\beta \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \beta \in [\alpha, \omega_1) \:\right\}$であり，前の補題と同様にして$T(r)$が$\omega_1$-木になることが従う．

次に$T(r)$は非可算反鎖も可算反鎖も持たないことを示そう． $V[r]$で$\mathcal{A} = \left\{\: r \circ t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} \in [T(r)]^{\aleph_1}$を任意に取り，これが両立する二元も両立しない二元も含むことを示せばよい． 簡単の為，以下$\alpha < \beta \implies \mathop{\mathrm{lh}}(t_\alpha) \leq \mathop{\mathrm{lh}}(t_\beta)$であるとしよう． のちほど稠密集合を使った議論をしたいので，まずは$\left\langle\: t_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$が$V$に列として入っているとして良いことを見よう． そこで$X_p \mathrel{:=} \left\{\: t_\alpha \;\middle|\; p \Vdash^{V}_{\mathbf{C}} \text{“}\dot{r} \circ t_\alpha \in \dot{\mathcal{A}}\text{”} \:\right\}$とおけば，各$p \in \mathbf{C}$について$X_p \in V$が成り立つ． このとき，$\left\{\: t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} = \bigcup_{p \subset r} X_p$であり，$p \subset r$なる$p$は可算個しかないので，少なくとも一つの$X_p$は非可算となる． よって，最初からこの$X_p$の元に範囲を取り直せば，$\left\{\: t_\alpha \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\} \in V$であるとしてよい．

斉一性の条件 (2)より，各$t_\alpha$が両立するか否かは，その有限桁だけ見てやればよい． そこで，$t_\beta, t_{\beta'}$の値が一致する範囲を表す記号を導入する： $$\Delta(\beta, \beta') \mathrel{:=} \min\left\{\: n < \omega \;\middle|\; \forall \xi < \beta \: [t_\beta(\xi), t_{\beta'}(\xi) \geq n \implies t_\beta(\xi) = t_{\beta'}(\xi)] \:\right\}.$$ この記号を使えば，$\mathcal{A}$が反鎖でも鎖でもない事を示すには，以下の二つの集合がそれぞれ$\mathbf{C}$で稠密となることが示せればよい： $$\begin{aligned} E &\mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbf{C} \;\middle|\; \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \:\right\},\\ D &\mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbf{C} \;\middle|\; \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta \neq p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \:\right\}. \end{aligned}$$ 実際，$E$が$\mathbf{C}$で稠密なら，$V[r]$において$p \subset r$で$p \in E$となるものが取れ， 証拠となる$\beta < \beta' < \omega_1$を取れば$p \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta$であり，$\Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)$より$r \circ t_\beta = r \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta$となり，これが$\mathcal{A}$の両立する二元となる． 同様に$D$に属す$p \subseteq r$が取れれば，証拠となる$\beta < \beta'$について$r \circ t_{\beta} \perp r \circ t_{\beta'}$となるので，これら二元は両立しない．

あとは$E$, $D$がそれぞれ稠密となる事がわかればよい． そこで$p \in {}^{n} {\omega}$を固定する． 適当な$t_\alpha, t_\beta$をとってきてしまうと，$p$で決まっている範囲で既に$p \circ t_\alpha$と$p \circ t_\beta$が異なってしまうかもしれない． そうした場合を排除するために$t_\alpha$たちを取り直そう． まず，$n$未満の値を取る$\xi < \omega_1$が$t_\alpha, t_\beta$とで一致するような$\alpha < \beta$が非可算個とれることを見よう．

そこで$X_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: \xi < \alpha \;\middle|\; t_{\alpha}(\xi) < n\; (= \mathop{\mathrm{lh}}(p)) \:\right\}$と置けば，各$t_\alpha$が有限対一写像である事より$X_\alpha$は有限集合となる． よって$\Delta$-システム補題を$\left\{\: X_\alpha \in [\omega_1]^{<\aleph_0} \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\}$に適用すれば，$Z \in [\omega_1]^{\aleph_1}$と$S \in [\omega_1]^{<\aleph_0}$で$\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2\: X_\alpha \cap X_{\alpha'} = S$となる物が取れる． この時，$t_\alpha \upharpoonright S$の候補は可算個しかないので，鳩ノ巣原理から$\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2 \: t_\alpha \upharpoonright S = t_{\alpha'} \upharpoonright S$となるように$Z$を取り直せる． 一々$Z$と書くのは面倒なので，そもそも始めから$\mathcal{A}$はこのように取れているとして以下議論を進めていく． そこで，$\alpha_1 < \alpha_2 < \omega_1$を取り，$p$を長さ$m \mathrel{:=} \Delta(\alpha_1, \alpha_2)$まで拡張する事を考えよう．

まず$E$に属する元を取りたい． $k = t_{\alpha_1}(\xi) \neq t_{\alpha_2}(\xi) = \ell$となるような$k, \ell$が共に$n$以上であれば， $q(k) = 0$によって潰せば良い． もし少なくとも一方が$n$未満であれば，同じ行き先に行くように潰してやればよい． $$q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(\ell) & \exists \xi < \alpha_1 \: k = t_{\alpha_i}(\xi) \wedge \ell = t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ 各$t_\alpha$たちが単射である事に注意すれば，定義から$q \circ t_{\alpha_1} = q \circ t_{\alpha_2} \upharpoonright \alpha_1$であり$q \leq p$, $\mathop{\mathrm{lh}}(q) = \Delta(p, q)$である．

最後に$D$に入るように延ばせる事を見る． この時，相異なる$\alpha < \alpha' < \omega_1$で$n \leq \Delta(\alpha, \alpha')$を満たすものが取れる． なぜなら，もし仮に任意の$\alpha, \alpha' \in Z$に対し$\Delta(\alpha, \alpha') < n$となるのであれば，適当な$\alpha_0 < \omega_1$を取って， $$e'_{\beta(\alpha)}(\xi) \mathrel{:=} \begin{cases} e_{\beta(\alpha_0)}(\xi) & e_{\beta(\alpha)}(\xi) < n\\ e_{\beta(\alpha)}(\xi) & \text{otherwise} \end{cases}$$ と定めてやれば，族$\left\langle\: e'_\alpha \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$は依然として仮定 (1), (2)を満たす． しかし，この時$\left\{\: e'_{\beta(\alpha)} \upharpoonright \alpha \;\middle|\; \alpha \in W \:\right\}$は$\left\{\: e'_\alpha \upharpoonright \beta \;\middle|\; \alpha, \beta < \omega_1 \:\right\}$の鎖となり，補題2に反する． よって，$\Delta(\alpha_0, \alpha_1) \geq n$を満たす$\alpha_0 < \alpha_1 < \omega_1$が存在する． そこで$t_{\alpha_i}(\xi)$の少なくとも一方が$n$以上となるような$\xi < \beta$を取る． この時，$k \in [n, \Delta(\alpha_0, \alpha_1)]$に対し， $$q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(t_{\alpha_{1-i}}(\xi)) + 1 & (t_{\alpha_i}(\xi) = k, t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n)\\ k & (\text{otherwise}) \end{cases}$$ とおけば$q \circ t_\beta \neq q \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta$.

以上より$D$, $E$は$\mathbf{C}$で稠密となり，$V[r] \models \text{“}T_r: \text{Suslin}\text{”}$が言えた．

Proof.

1. 任意の$A \in [\beta]^{\aleph_0}$と$n < \omega$に対し$n < \rho_1(\xi, \beta)$を満たす$\xi \in A$の存在を示せば良い． 特に，$|C_\alpha \cap \xi| > n$を満たす$\xi \in A$が取れるのなら自明なので，$\forall \xi \in A \: |C \cap \xi| \leq n$としよう．

   $\beta$について帰納法で示す．

   $\alpha \mathrel{:=} \sup A$と置く． $\alpha = \beta$ならば，十分大きな$\xi \in A$で$\rho_1(\xi, \beta) \geq |C_\beta \cap \xi| > n$を満たすものがある．

   そこで$\alpha < \beta$の場合を考える． $\omega$の正則性から，特に$|C_\beta \cap \xi| = n$が任意の$\xi \in A$に対して成立しているとして良く，この時$\eta \mathrel{:=} s^{\beta}_\xi(1) = \min(C_\beta \setminus \xi)$は$\xi \in A$に依らず常に一定の値を取り，特に$\alpha = \sup A \leq \eta$が成り立つ． この時，各$\xi \in A$に対し， $$\rho_1(\xi, \beta) = \max \left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\}$$ そこで帰納法の仮定を$\eta$と$A \subseteq \eta$に適用すれば，$\xi \in A$で$n < \rho_1(\xi, \eta)$を満たすものが取れる．すると， $$\rho_1(\xi, \beta) = \max\left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\} > n.$$

   よって$\rho_1$は有限対一．

2. $\alpha$についての帰納法で示す．

   $\beta < \alpha$と$A \in [\beta]^{\aleph_0}$を任意に取って，$\xi \in A$で$\rho_1(\xi, \beta) = \rho_1(\xi, \alpha)$を満たすものを取れれば良い． 適切に$A$を縮めれば，$\mathop{\mathrm{otp}} A = \omega$としても一般性を失わない． $\gamma \mathrel{:=} \sup A \leq \beta$, $\eta \mathrel{:=} s^{\alpha,\gamma}_1$, $n \mathrel{:=} |C_\alpha \cap \gamma|$とおく． 上の結果から$\rho_1$は有限対一なので， $$B \mathrel{:=} \left\{\: \xi \in A \;\middle|\; \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma), \rho_1(\xi, \eta) > n \:\right\}$$ とおけば$|A \setminus B| < \aleph_0$. $\xi \in B \subseteq A$をとれば，$\sup A = \gamma \geq \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma)$より$C_\alpha \cap \xi = C_\alpha \cap \gamma$および$C_\alpha \setminus \xi = C_\alpha \setminus \gamma$. 以上を踏まえれば， $$\begin{aligned} \rho_1(\xi, \alpha) &= \max \{\ |C_\alpha \cap \xi|, \rho_1(\xi, s^{\alpha,\xi}_1) \ \}\\ &= \max \{\ \underbrace{|C_\alpha \cap \gamma |}_{= n}, \underbrace{\rho_1(\xi, \eta)}_{> n} \ \} = \rho_1(\xi, \eta). \end{aligned}$$ ここで，$\eta = \beta$なら$\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta)$となるので適当に$\xi \in B$を取ればそれが求めるものである． もし$\eta < \beta$であれば，$B$に帰納法の仮定が使え，$\xi \in B$で$\rho_1(\xi, \eta) = \rho_1(\xi, \beta)$を満たすものが取れ，上の議論と合わせて$\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta)$となる．

Proof. そういう頂点だけ集めてくればいいだけ．

Proof. $T$は$\kappa$-木で，しかもwell-prunedなので，各$\alpha < \kappa$に対し，$D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: s \in T \;\middle|\; \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(s) > \alpha \:\right\}$は$T$で稠密． よって，$G$は任意の$\alpha < \kappa$に対して$G \cap D_\alpha \neq \emptyset$. また，$G$の任意の二元は両立し，$G \subseteq X^{<\alpha}$なので$G$は鎖． よって$G$は濃度$\kappa$の$T$の鎖．

Proof. $\mathbb{P}$をc.c.c.，$\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}$とする．$A = \left\langle\: (p_\alpha , \dot{q}_\alpha) \in \mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} \; \middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\rangle$が反鎖であるとして矛盾を導こう（背理法）． $V^{\mathbb{P}}$において$Z \mathrel{:=} \left\{\: \alpha < \omega_1 \;\middle|\; p_\alpha \in G_{\mathbb{P}} \:\right\}$とおく． ここで相異なる$\alpha, \beta \in Z$を取ると，$p_\alpha \mathrel{\|} p_\beta$かつ$A$が反鎖であることから，$V^{\mathbb{P}}$においては$\dot{q}_\alpha^G \perp \dot{q}_\beta^G$となっている． すると，$V^{\mathbb{P}} \models \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}$なので，$|Z| < \omega_1$でなくてはならない． $Z$に対応する$\mathbb{P}$-名称を$\dot{Z}$とすれば，$\mathbb{P} \Vdash \text{“}|Z| < \omega_1\text{”}$である．

そこで$V$に戻り，$W$を$\dot{Z}$の上界$\gamma < \omega_1$を決定するような$\mathbb{P}$の反鎖の中で極大なものとする． 即ち，各$p \in W$は$p \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}_p\text{”}$となるような$\gamma_p < \omega_1$が存在するような$p$からなる反鎖の中で極大の物である． $\mathbb{P}$のc.c.c.性から$|W| < \omega_1$なので，$\gamma \mathrel{:=} \sup_{p \in W} \gamma_p$とおけば$\gamma < \omega_1$である． すると定め方から$\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}\text{”}$. しかし，$p_\gamma \Vdash \text{“}\check{\gamma} \in \dot{Z}\text{”}$となるのでこれは矛盾．

逆向きは完備埋め込みを考えれば自明．

Proof. 極限ステップでがんばればわかる．