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ジェネリック拡大に関する性質を示す上で重要な役割を果すのがDefinability lemmaTruth lemmaだった.今回は,モデルに言及しない新たな関係 \mathrel{\Vdash^*} を定義し,その MM への相対化が \Vdash と同値になることを示して,これら二つの補題の成立を証明する.今回は時間の都合上省略したが,\Vdash が個々の原子論理式,論理結合子,量化子に関して満たす性質を逆に \mathrel{\Vdash^*} の帰納的定義として採用して定義していく.

原子論理式の場合

まずは原子論理式の場合について考える.実はこの場合が一番大変である.

強制言語の原子閉論理式の全体を ALP\mathcal{AL}_\mathbb{P} で表す.即ち,ALP\mathcal{AL}_\mathbb{P}τ,ϑVP\tau, \vartheta \in V^\mathbb{P} に対し τϑ\tau \in \vartheta または τ=ϑ\tau = \vartheta の形の論理式全体の成す真クラスである.

P\mathbb{P}:forcing poset,pP,φALPp \in \mathbb{P}, \varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} に対し,関係 pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi を次により定義する:

  1. pτ=ϑdefσdom(τ)dom(ϑ) qp,[qστqσϑ]p \mathrel{\mathord\Vdash^*} \tau = \vartheta \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\ \forall q \leq p ,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta]

  2. pπτdef{q:σ,rτ[qrqπ=σ]}p \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tau \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp 以下で稠密

  1. πPτVP[pτ=τ]\forall \pi \in \mathbb{P}\,\forall \tau \in V^\mathbb{P} \, [p \mathrel{\Vdash^*} \tau = \tau]

  2. σ,rτ,qrqστ\langle \sigma, r \rangle \in \tau, q \leq r \Longrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau

これがちゃんとした帰納法の定義になっていることを示すためには,どんな整礎関係についての帰納法なのかをはっきりさせなくてはならない.そこで,以下 (p,φ)P×ALP(p, \varphi) \in \mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P} 上に整礎関係を定義を定義しよう.

xydefxtrcl(y)x \lhd y \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} x \in \mathrm{trcl}(y) とおく.P×ALP\mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P} 上の二項関係 \prec を次で定義する: (p,σ1τ1)(q,σ2=τ2)(σ1σ2σ1τ2)(τ1=σ2τ1=τ2)(p,σ1=τ1)(q,σ2τ2)σ2=σ2τ2τ1(p,σ1=τ1)(q,σ2=τ2),(p,σ1τ1)(q,σ2τ2)\begin{gathered} (p, \sigma_1 \in \tau_1) \prec (q, \sigma_2 = \tau_2) \Leftrightarrow (\sigma_1 \lhd \sigma_2 \vee \sigma_1 \lhd \tau_2) \wedge (\tau_1 = \sigma_2 \vee \tau_1 = \tau_2)\\ (p, \sigma_1 = \tau_1) \prec (q, \sigma_2 \in \tau_2) \Leftrightarrow \sigma_2 = \sigma_2 \wedge \tau_2 \lhd \tau_1\\ (p, \sigma_1 = \tau_1) \not\prec (q, \sigma_2 = \tau_2), \quad (p, \sigma_1 \in \tau_1) \not\prec (q, \sigma_2 \in \tau_2) \end{gathered}

\prec は left-narrow (set-like) な整礎関係である.

left-narrow 性は P\mathbb{P} が集合であることから従う.そこで,xyΓ(x)<Γ(y)x \prec y \rightarrow \Gamma(x) < \Gamma(y) となるような rank 関数 Γ:P×ALP\Gamma : \mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P} を定めることによって整礎性を示す.

まず ρ:VP×VPOn\rho: V^\mathbb{P}\times V^\mathbb{P}\rightarrow \mathrm{On} を,ρ(σ,τ):=max{rank(σ),rank(τ)}\rho(\sigma, \tau) \mathrel{:=} \max\left\{ \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma),\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau) \right\} と定め,Γ\Gamma を次で定める: Γ(p,στ)={3ρ(σ,τ)(rank(σ)<rank(τ))3ρ(σ,τ)+2(rank(σ)rank(τ))Γ(p,σ=τ)=3ρ(σ,τ)+1\begin{aligned} \Gamma(p, \sigma \in \tau) &= \begin{cases} 3 \rho(\sigma, \tau) & (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma) < \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau))\\ 3 \rho(\sigma, \tau) + 2 & (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma) \geq \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau)) \end{cases} & \Gamma(p, \sigma = \tau) &= 3 \rho(\sigma, \tau) + 1 \end{aligned} すると,簡単な場合分けにより Γ\Gamma が rank 関数となっていることがわかる.

これにより,pPp \in \mathbb{P}φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} に対し pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi が well-defined であることはわかった.

原子論理式の場合に \mathrel{\Vdash^*}\Vdash が一致することを示したい.そのために,補助的な定義と補題を確認しておく.

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} とする.

  1. pφ,qpqφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi, q \leq p \Rightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \varphi

  2. pφ{q:qφ}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \right\}pp 以下で稠密

(1) は定義から明らか.(2) の \Rightarrow は (1) から従うので,示すべきは ()(\Leftarrow) である.

\prec に関する帰納法で示す.φπτ\varphi \equiv \pi \in \tau の時は,{q:A  q以下で稠密}\left\{ q : A\ \text{が}\ q \text{以下で稠密} \right\}pp 以下で稠密なら,AApp 以下で稠密となることから明らか.φτ=ϑ\varphi \equiv \tau = \vartheta の時を考える.

対偶を示そう.pπ=τp \not\mathrel{\Vdash^*} \pi = \tau とすると,定義を展開すれば, ¬[qστqσϑ]\neg [q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta] を満たすような qpq \leq pσdom(τ)dom(ϑ)\sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta) が存在する.特に qστq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau かつ qσϑq \not\mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta であるとして一般性を失わない.すると,帰納法の仮定から {r:rσϑ}\left\{ r : r \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta \right\}qq 以下で稠密でない.よって sr[sπϑ]\forall s \leq r\,[s \not\mathrel{\Vdash^*} \pi \in \vartheta] を満たす rqr \leq q が存在する.(1) と rqστr \leq q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau より,sr[sστsσϑ]\forall s \leq r\, [s \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \nleftrightarrow s \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta].よって {q:qτ=ϑ}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \tau = \vartheta \right\}pp 以下で稠密でない.

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} に対し, p¬φdefqp[qφ]p \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall q \leq p \, [q \not\mathrel{\Vdash^*} \varphi]

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} について pφqp[q¬φ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \forall q \leq p\,[q \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi]

()(\Rightarrow) は定義と先の補題の (1) より明らか.()(\Leftarrow) は対偶が (2) と定義から従う.

pPM,GPp \in \mathbb{P} \in M, G \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}- ジェネリック,DPD \subseteq \mathbb{P}pp 以下で稠密,DMD \in M とすると,

pGGDp \in G \Rightarrow G \cap D \neq \emptyset

D+:=D{qP:qp}D^+ \mathrel{:=} D \cup \left\{ q \in \mathbb{P} : q \perp p \right\} とおけば,D+D^+ は稠密である.定義より明らかに D+MD^+ \in M.よって GG のジェネリック性より GD+G \cap D^+ \neq \emptyset.ここで rGD+r \in G \cap D^+ をとると,r,pGr, p \in G より rpr \mathrel{\|} p となるので,rDr \in D

MZFPM \models ZF-P:ctm,PM\mathbb{P} \in MGPG \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}- ジェネリック,φALM\varphi \in \mathcal{AL} \cap M とする.

  1. (pφ)MpGM[G]φ(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M \wedge p \in G\Rightarrow M[G] \models \varphi

  2. M[G]φpG(pφ)MM[G] \models \varphi \Rightarrow \exists p \in G\, (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

それぞれ \prec に関する帰納法で示す.原子論理式の場合に関しては定義の方法から \mathrel{\Vdash^*} は推移的モデルに対して絶対なので,以下相対化を落として考えよう.

  1. pτ=ϑp \mathrel{\Vdash^*} \tau =\vartheta の時.M[G]τϑM[G] \models \tau \subseteq \vartheta が示せれば逆向きも同様に示せる.そこで σGτG,rG\sigma_G \in \tau_G, r \in G となるような σ,rτ\langle \sigma, r \rangle \in \tau を取る.p,rGp, r \in G より qp,rq \leq p, rqGq \in G を満たすものが取れる.すると注意 1 より qστq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau となる.また,\mathrel{\Vdash^*} の定義より qστqσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta だったので qσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta が成立する.すると帰納法の仮定より M[G]σϑM[G] \models \sigma \in \vartheta となり,M[G]τϑM[G] \models \tau \subseteq \vartheta が云えた.

    pπτp \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tau の時.この時, D:={q:σ,rτ[qrqπ=σ]}D \mathrel{:=} \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp 以下で稠密である.よって補題 3 より qpq \leq pσ,rτ[qrqπ=σ],qG\exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma], q \in G を満たすものが取れる.よって帰納法の仮定より M[G]π=σM[G] \models \pi = \sigma である.GG はフィルターなので rGr \in G だから,以上と合わせて πG=σGτG\pi_G = \sigma_G \in \tau_G となり,M[G]πτM[G] \models \pi \in \tau が云えた.

  2. M[G]πτM[G] \models \pi \in \tau の時.D={q:σ,rτ[qrqπ=σ]}D = \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp 以下で稠密となるような pGp \in G を見付けたい.定義より,σ,rτ\langle \sigma, r \rangle \in \tauσG=πG\sigma_G = \pi_G かつ rGr \in G を満たすような物が取れる.定義を展開すれば M[G]π=σM[G] \models \pi = \sigma であり,帰納法の仮定より pπ=σp \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma を満たすような pGp \in G が取れる.GG がフィルターであることと補題 1 (1) から prp \leq r として良い.すると補題 1 (2) より DDpp 以下で稠密となり,pπτp \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tau となる.

    M[G]τ=ϑM[G] \models \tau = \vartheta の時.DD を以下のいずれか一つを満たす qq の全体とする:

    1. qτ=ϑq \mathrel{\Vdash^*} \tau = \vartheta

    2. σdom(τ)dom(ϑ)[qστqσϑ]\exists \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \vartheta]

    3. σdom(τ)dom(ϑ)[qστqσϑ]\exists \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \tau \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta]

    すると,DDP\mathbb{P} で稠密であり,特に DMD \in M である.すると,GG はジェネリックなので pGDp \in G \cap D が取れる.pp が (1) を満たせば OK.もし (2) を満たすとすると,pGp \in G と (a) より M[G]στM[G] \models \sigma \in \tau となる.ここで,M[G]τ=ϑM[G] \models \tau = \vartheta よりこれらを合わせれば M[G]σϑM[G] \models \sigma \in \vartheta.すると帰納法の仮定より qσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta を満たすような qGq \in G を取ることが出来る.特に qpq \leq p としてよい.しかし,qpσϑq \leq p \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \vartheta より \mathrel{\Vdash^*} の定義から qσϑq \not\mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta とならなくてはならないので矛盾.同様の議論により (3) も有り得ない.

MZFPM \models ZF-P:c.t.m.,PMP \in MφALPMpP,Mφ(pPφ)M\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} \cap M \Longrightarrow p \Vdash_{\mathbb{P}, M} \varphi \Leftrightarrow (p \mathrel{\Vdash_\mathbb{P}^*} \varphi)^M

前回とおなじく相対化は無視して議論を進めることが出来る. ()(\Leftarrow) は補題 1 (a) より直ちに従うので, ()(\Rightarrow) を示す.そこで pφp \Vdash \varphi かつ pφp \not\mathrel{\Vdash^*} \varphi とする.この時補題 2 より q¬φq \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi を満たす qpq \leq p が存在する.すると定義より rq[rφ]\forall r \leq q \, [r \not\mathrel{\Vdash^*} \varphi] となる.ここで qGq \in G を満たすジェネリックフィルターを取る.この時 pqp \geq q より pGp \in G なので,仮定より M[G]φM[G] \models \varphi を満たす.すると,補題 1 (b) より rGr \in Grφr \mathrel{\Vdash^*} \varphi を満たすものが取れ,GG がフィルターであることから特に rqr \leq q とできる.すると r¬φr \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi となり矛盾.

一般の論理式について

原子論理式に関しての定義は済んだので,一般の強制言語の論理式に対して \mathrel{\Vdash^*} を定義していこう.

pPMZFPp \in \mathbb{P} \in M \models ZF - Pφ,ψFLP\varphi, \psi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P} について,以下のように帰納的に pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi を定める:

  1. φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} の時は定義 2 と同じ.

  2. pφψdefpφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi \wedge \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \mathrel{\Vdash^*} \varphi かつ pψp \mathrel{\Vdash^*} \psi

  3. p¬φdefqp[qφ]p \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall q \leq p \,[ q \not \mathrel{\Vdash^*} \varphi]

  4. pφψdef¬qp[qφq¬ψ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \rightarrow \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \neg \exists q \geq p \,[q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi]

  5. pφψdef{q:[qφ][qψ]}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \vee \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : [q \mathrel{\Vdash^*} \varphi] \vee [q \mathrel{\Vdash^*} \psi] \right\}pp 以下で稠密

  6. pxφ(x)defτVPpφ(τ)p \mathrel{\Vdash^*} \forall x \varphi(x) \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \tau \in V^\mathbb{P} \, p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau)

  7. pxφ(x)def{q:τVPqφ(τ)}p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x) \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : \exists \tau \in V^\mathbb{P} \, q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau) \right\}pp 以下で稠密

ここで,(3)(3) の定義は定義 4 と整合的である.また,,\forall, \exists の定義は,,\wedge, \vee の定義の一般化と見做せる.

この「帰納的」定義を注意深くみてみると,(6) や (7) の定義では,各 τVP\tau \in V^\mathbb{P} について φ(τ)\varphi(\tau) の形の FLP\mathcal{FL}_\mathbb{P} 閉論理式全体について帰納法を回している.これは真クラスなので VV の中ではどう頑張っても定義出来ないことがわかる.即ち,上の \mathrel{\Vdash^*} の定義はメタ理論における定義図式であって,pφΨ(p,φ)p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \Psi(p, \varphi) を満たすような一つの論理式が存在するのではない.つまり,各 φ(x)FLP\varphi(\vec{x}) \in \mathcal{FL}_\mathbb{P} に対して,pφ(ϰ)p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\vec{\varkappa}) を表す論理式 Forcesφ(p,ϰ)Forces_\varphi(p, \vec{\varkappa}) を帰納的に作る方法が,論理式の長さに関する帰納法で与えられているのだ.我々の目的は \Vdash に関する Definability lemma を確立することだから,各 φ\varphi に対して pφp \Vdash \varphi を表す論理式を別個に書くことができれば良いので,\mathrel{\Vdash^*}VV の内部で定義出来なくても問題はないのである.

このように定義すれば,今までの原子論理式に対する命題を一般の強制言語の論理式に拡張出来る.上の定義は,¬\neg が与えられれば同値変形だけで出て来るので,以下では必要最低限の場合だけ証明することにする:

φFLP\varphi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P} に対し,

  1. pφ,qpqφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi, q \leq p \Rightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \varphi

  2. pφ{q:qφ}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \right\}pp 以下で稠密

  3. pφqp[q¬φ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \forall q \leq p\, [q \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi]

  4. pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi かつ p¬φp \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi となることは有り得ない.

(c)(d) は (a)(b) から従い,(a) は定義より明らか.原子論理式の場合と同様に (b) の ()(\Leftarrow) だけ帰納法により示す.

φxψ(x)\varphi \equiv \forall x \psi(x) の時.{q:qxψ(x)}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \forall x \psi(x) \right\}pp 以下で稠密だとする.定義を展開すれば, qprqτVP[rψ(τ)]\forall q \leq p \exists r \leq q \forall \tau \in V^\mathbb{P}\,[r \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau)] となる.特にこれから各 τVP\tau \in V^\mathbb{P} について {q:qψ(τ)}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau) \right\}pp 以下で稠密となる.よって帰納法の仮定より τVPpψ(τ)\forall \tau \in V^\mathbb{P}\,p \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau) となり,定義から pxφ(x)p \mathrel{\Vdash^*} \forall x \varphi(x) となる.

φ¬ψ\varphi \equiv \neg\psi の時.対偶を示す.p¬ψp \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \psi とすると,定義から qp[qψ]\exists q \leq p\,[q \mathrel{\Vdash^*} \psi] であり,(a) より rq[rψ]\forall r \leq q\,[r \mathrel{\Vdash^*} \psi] となる.よって {s:s¬ψ}\left\{ s : s \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi \right\}pp 以下で稠密でない.

φψϑ\varphi \equiv \psi \vee \vartheta の時.D={q:qψϑ}D = \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \psi \vee \vartheta \right\}pp 以下で稠密だとする.このときもう少し定義を展開すると,{q:{r:[rψ][rϑ]}  q 以下で稠密}\left\{ q :\left\{ r : [r \mathrel{\Vdash^*} \psi] \vee [r \mathrel{\Vdash^*} \vartheta] \right\}\ \text{が}\ q\ \text{以下で稠密} \right\}pp 以下で稠密である.稠密性の定義よりこれは単に {r:[rψ][rϑ]}\left\{ r : [r \mathrel{\Vdash^*} \psi] \vee [r \mathrel{\Vdash^*} \vartheta] \right\}pp 以下で稠密であるということである.

いよいよ,一般の φ\varphi について \mathrel{\Vdash^*} をモデルと結び付ける補題を証明する:

MZFPM \models ZF-P:ctm,PM\mathbb{P} \in MGPG \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}- ジェネリック,φFLM\varphi \in \mathcal{FL} \cap M とする.

  1. (pφ)MpGM[G]φ(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M \wedge p \in G\Rightarrow M[G] \models \varphi

  2. M[G]φpG(pφ)MM[G] \models \varphi \Rightarrow \exists p \in G\, (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

構造に関する帰納法により,(a) (b) の二つを同時に証明する.L(φ)L(\varphi) により「φ\varphi について (a) (b) が成立する」ことを表す.

L(ψ)L(¬ψ)L(\psi) \rightarrow L(\neg \psi)

(a) を示す.(p¬ψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M かつ pGp \in G とする.M[G]¬ψM[G] \not\models \neg \psi として矛盾を導く.このとき M[G]ψM[G] \models \psi なので,帰納法の仮定 (b) より qGq \in G(qψ)M(q \mathrel{\Vdash^*} \psi)^M を満たすものが存在する.特に GG がフィルターであることと補題 6 の (a) より qpq \leq p としてよい.すると,補題 6 (a) より (q¬ψ)M(q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M となり矛盾.

(b) を示そう.M[G]¬ψM[G] \models \neg \psi とする.D={q:(qψ)M(q¬ψ)M}MD = \left\{ q : (q \mathrel{\Vdash^*} \psi)^M \vee (q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M \right\} \in M とおくと,定義より DDP\mathbb{P} で稠密で DMD \in M である.よって GG のジェネリック性から pGDp \in G \cap D が取れる.ここで (pψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \psi)^M とすると,帰納法の仮定の (a) より M[G]ψM[G] \models \psi となり矛盾.よって (p¬ψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M

L(φ),L(ψ)L(φψ)L(\varphi), L(\psi) \rightarrow L(\varphi \wedge \psi)

バラして帰納法の仮定を使うだけ.

τMP[L(φ(τ))]L(xφ(x))\forall \tau \in M^\mathbb{P} [L(\varphi(\tau))] \rightarrow L(\exists x \varphi(x))

(a) を示す.(pxφ(x))M(p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x))^M かつ pGp \in G とする.\mathrel{\Vdash^*} の定義より D={q:τMP,(qφ(τ))M}D = \left\{ q : \exists \tau \in M^\mathbb{P}, (q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^M \right\}pp 以下で稠密である.今 GG はジェネリックなので,qpq \leq p かつ (qφ(τ))M(q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^M を満たすような qGD,τMPq \in G \cap D, \tau \in M^\mathbb{P} が取れる.帰納法の仮定より M[G]φ(τ)M[G] \models \varphi(\tau) となり,M[G]xφ(x)M[G] \models \exists x \varphi(x) が云える.

(b) を示そう.M[G]xφ(x)M[G] \models \exists x \varphi(x) とする.この時 M[G]φ(τ)M[G] \models \varphi(\tau) を満たす τMP\tau \in M^\mathbb{P} が取れる.帰納法の仮定によって (pφ(τ))M(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^M を満たす pGp \in G が取れる.補題 6 の (a) より qp[qφ(τ)]M\forall q \leq p [q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau)]^M となるので,\mathrel{\Vdash^*}\exists に関する定義より (pxφ(x))M(p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x))^M となる.

以上を使えば,原子論理式の時と同様にして \Vdash との関係を証明できる:

MZFPM \models ZF-P:c.t.m.,PMP \in MφFLPMpφ(pφ)M\varphi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P} \cap M \Longrightarrow p \Vdash \varphi \Leftrightarrow (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

ここまでくれば,Definability lemma と Truth lemma の証明は簡単である:

Truth lemma は補題 8 および補題 7 の (b) から明らか.Definability lemma についても,補題 8 より {(P,,1,p,κ): pφ(ϰ)}\left\{ (\mathbb{P}, \leq, \mathbb{1}, p, \vec{\kappa}) : \cdots \ p \Vdash \varphi(\vec{\varkappa}) \right\}MM 内で定義可能.

実は,後程示すが「MZFCM \models ZFCpxφ(x)p \Vdash \exists x \varphi(x) ならば pφ(τ)p \Vdash \varphi(\tau) を満たす τMP\tau \in M^\mathbb{P} が存在する」という定理(極大原理)がある.これを使えば \exists に関する \mathrel{\Vdash^*} の定義を簡略化出来そうな気もするが,その極大原理の証明にここでの議論を使っているので循環論法になってしまう.また,MM が必ずしも ACAC を満たさない場合に使えなくなってしまうので,ここでは上の定義を用いた.

参考文献

  • [1]K. Kunen, Set Theory, vol. 34. College Publications, 2011.
  • [2]新井敏康, 数学基礎論. 岩波書店, 2011.
  • [3]田中一之, 渕野昌, 松原洋, and 戸田山和久, ゲーデルと20世紀の論理学(ロジック) 4 集合論とプラトニズム, vol. 4. 東京大学出版会, 2007.

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