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ジェネリック拡大に関する性質を示す上で重要な役割を果すのがDefinability lemmaTruth lemmaだった.今回は,モデルに言及しない新たな関係\mathrel{\Vdash^*}を定義し,そのMMへの相対化が\Vdashと同値になることを示して,これら二つの補題の成立を証明する.今回は時間の都合上省略したが,\Vdashが個々の原子論理式,論理結合子,量化子に関して満たす性質を逆に\mathrel{\Vdash^*}の帰納的定義として採用して定義していく.

原子論理式の場合

まずは原子論理式の場合について考える.実はこの場合が一番大変である.

強制言語の原子閉論理式の全体をALP\mathcal{AL}_\mathbb{P}で表す.即ち,ALP\mathcal{AL}_\mathbb{P}τ,ϑVP\tau, \vartheta \in V^\mathbb{P}に対しτϑ\tau \in \varthetaまたはτ=ϑ\tau = \varthetaの形の論理式全体の成す真クラスである.

P\mathbb{P}:forcing poset,pP,φALPp \in \mathbb{P}, \varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}に対し,関係pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphiを次により定義する:

  1. pτ=ϑdefσdom(τ)dom(ϑ) qp,[qστqσϑ]p \mathrel{\mathord\Vdash^*} \tau = \vartheta \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\ \forall q \leq p ,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta]

  2. pπτdef{q:σ,rτ[qrqπ=σ]}p \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tau \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp以下で稠密

  1. πPτVP[pτ=τ]\forall \pi \in \mathbb{P}\,\forall \tau \in V^\mathbb{P} \, [p \mathrel{\Vdash^*} \tau = \tau]

  2. σ,rτ,qrqστ\langle \sigma, r \rangle \in \tau, q \leq r \Longrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau

これがちゃんとした帰納法の定義になっていることを示すためには,どんな整礎関係についての帰納法なのかをはっきりさせなくてはならない.そこで,以下(p,φ)P×ALP(p, \varphi) \in \mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P}上に整礎関係を定義を定義しよう.

xydefxtrcl(y)x \lhd y \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} x \in \mathrm{trcl}(y) とおく.P×ALP\mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P}上の二項関係\precを次で定義する: (p,σ1τ1)(q,σ2=τ2)(σ1σ2σ1τ2)(τ1=σ2τ1=τ2)(p,σ1=τ1)(q,σ2τ2)σ2=σ2τ2τ1(p,σ1=τ1)(q,σ2=τ2),(p,σ1τ1)(q,σ2τ2)\begin{gathered} (p, \sigma_1 \in \tau_1) \prec (q, \sigma_2 = \tau_2) \Leftrightarrow (\sigma_1 \lhd \sigma_2 \vee \sigma_1 \lhd \tau_2) \wedge (\tau_1 = \sigma_2 \vee \tau_1 = \tau_2)\\ (p, \sigma_1 = \tau_1) \prec (q, \sigma_2 \in \tau_2) \Leftrightarrow \sigma_2 = \sigma_2 \wedge \tau_2 \lhd \tau_1\\ (p, \sigma_1 = \tau_1) \not\prec (q, \sigma_2 = \tau_2), \quad (p, \sigma_1 \in \tau_1) \not\prec (q, \sigma_2 \in \tau_2) \end{gathered}

\precはleft-narrow (set-like)な整礎関係である.

left-narrow性はP\mathbb{P}が集合であることから従う.そこで,xyΓ(x)<Γ(y)x \prec y \rightarrow \Gamma(x) < \Gamma(y)となるようなrank関数Γ:P×ALP\Gamma : \mathbb{P} \times \mathcal{AL}_\mathbb{P}を定めることによって整礎性を示す.

まずρ:VP×VPOn\rho: V^\mathbb{P}\times V^\mathbb{P}\rightarrow \mathrm{On}を,ρ(σ,τ):=max{rank(σ),rank(τ)}\rho(\sigma, \tau) \mathrel{:=} \max\left\{ \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma),\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau) \right\}と定め,Γ\Gammaを次で定める: Γ(p,στ)={3ρ(σ,τ)(rank(σ)<rank(τ))3ρ(σ,τ)+2(rank(σ)rank(τ))Γ(p,σ=τ)=3ρ(σ,τ)+1\begin{aligned} \Gamma(p, \sigma \in \tau) &= \begin{cases} 3 \rho(\sigma, \tau) & (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma) < \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau))\\ 3 \rho(\sigma, \tau) + 2 & (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\sigma) \geq \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits(\tau)) \end{cases} & \Gamma(p, \sigma = \tau) &= 3 \rho(\sigma, \tau) + 1 \end{aligned} すると,簡単な場合分けによりΓ\Gammaがrank関数となっていることがわかる.

これにより,pPp \in \mathbb{P}φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}に対しpφp \mathrel{\Vdash^*} \varphiがwell-definedであることはわかった.

原子論理式の場合に\mathrel{\Vdash^*}\Vdashが一致することを示したい.そのために,補助的な定義と補題を確認しておく.

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}とする.

  1. pφ,qpqφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi, q \leq p \Rightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \varphi

  2. pφ{q:qφ}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \right\}pp以下で稠密

(1)は定義から明らか.(2)の\Rightarrowは(1)から従うので,示すべきは()(\Leftarrow)である.

\precに関する帰納法で示す.φπτ\varphi \equiv \pi \in \tauの時は,{q:A  q以下で稠密}\left\{ q : A\ \text{が}\ q \text{以下で稠密} \right\}pp以下で稠密なら,AApp以下で稠密となることから明らか.φτ=ϑ\varphi \equiv \tau = \varthetaの時を考える.

対偶を示そう.pπ=τp \not\mathrel{\Vdash^*} \pi = \tauとすると,定義を展開すれば, ¬[qστqσϑ]\neg [q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta] を満たすようなqpq \leq pσdom(τ)dom(ϑ)\sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)が存在する.特にqστq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tauかつqσϑq \not\mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \varthetaであるとして一般性を失わない.すると,帰納法の仮定から{r:rσϑ}\left\{ r : r \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta \right\}qq以下で稠密でない.よってsr[sπϑ]\forall s \leq r\,[s \not\mathrel{\Vdash^*} \pi \in \vartheta]を満たすrqr \leq qが存在する.(1)とrqστr \leq q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tauより,sr[sστsσϑ]\forall s \leq r\, [s \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \nleftrightarrow s \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta].よって{q:qτ=ϑ}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \tau = \vartheta \right\}pp以下で稠密でない.

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}に対し, p¬φdefqp[qφ]p \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall q \leq p \, [q \not\mathrel{\Vdash^*} \varphi]

φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}について pφqp[q¬φ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \forall q \leq p\,[q \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi]

()(\Rightarrow)は定義と先の補題の(1)より明らか.()(\Leftarrow)は対偶が(2)と定義から従う.

pPM,GPp \in \mathbb{P} \in M, G \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}-ジェネリック,DPD \subseteq \mathbb{P}pp以下で稠密,DMD \in Mとすると,

pGGDp \in G \Rightarrow G \cap D \neq \emptyset

D+:=D{qP:qp}D^+ \mathrel{:=} D \cup \left\{ q \in \mathbb{P} : q \perp p \right\}とおけば,D+D^+は稠密である.定義より明らかにD+MD^+ \in M.よってGGのジェネリック性よりGD+G \cap D^+ \neq \emptyset.ここでrGD+r \in G \cap D^+をとると,r,pGr, p \in Gよりrpr \mathrel{\|} pとなるので,rDr \in D

MZFPM \models ZF-P:ctm,PM\mathbb{P} \in MGPG \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}-ジェネリック,φALM\varphi \in \mathcal{AL} \cap Mとする.

  1. (pφ)MpGM[G]φ(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M \wedge p \in G\Rightarrow M[G] \models \varphi

  2. M[G]φpG(pφ)MM[G] \models \varphi \Rightarrow \exists p \in G\, (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

それぞれ\precに関する帰納法で示す.原子論理式の場合に関しては定義の方法から\mathrel{\Vdash^*}は推移的モデルに対して絶対なので,以下相対化を落として考えよう.

  1. pτ=ϑp \mathrel{\Vdash^*} \tau =\varthetaの時.M[G]τϑM[G] \models \tau \subseteq \varthetaが示せれば逆向きも同様に示せる.そこでσGτG,rG\sigma_G \in \tau_G, r \in Gとなるようなσ,rτ\langle \sigma, r \rangle \in \tauを取る.p,rGp, r \in Gよりqp,rq \leq p, rqGq \in Gを満たすものが取れる.すると注意1よりqστq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tauとなる.また,\mathrel{\Vdash^*}の定義よりqστqσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \leftrightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \varthetaだったのでqσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \varthetaが成立する.すると帰納法の仮定よりM[G]σϑM[G] \models \sigma \in \varthetaとなり,M[G]τϑM[G] \models \tau \subseteq \varthetaが云えた.

    pπτp \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tauの時.この時, D:={q:σ,rτ[qrqπ=σ]}D \mathrel{:=} \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp以下で稠密である.よって補題3よりqpq \leq pσ,rτ[qrqπ=σ],qG\exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma], q \in Gを満たすものが取れる.よって帰納法の仮定よりM[G]π=σM[G] \models \pi = \sigmaである.GGはフィルターなのでrGr \in Gだから,以上と合わせてπG=σGτG\pi_G = \sigma_G \in \tau_Gとなり,M[G]πτM[G] \models \pi \in \tauが云えた.

  2. M[G]πτM[G] \models \pi \in \tauの時.D={q:σ,rτ[qrqπ=σ]}D = \left\{ q : \exists \langle \sigma, r \rangle \in \tau \,[q \leq r \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigma] \right\}pp以下で稠密となるようなpGp \in Gを見付けたい.定義より,σ,rτ\langle \sigma, r \rangle \in \tauσG=πG\sigma_G = \pi_GかつrGr \in Gを満たすような物が取れる.定義を展開すればM[G]π=σM[G] \models \pi = \sigmaであり,帰納法の仮定よりpπ=σp \mathrel{\Vdash^*} \pi = \sigmaを満たすようなpGp \in Gが取れる.GGがフィルターであることと補題 1 (1)からprp \leq rとして良い.すると補題 1 (2)よりDDpp以下で稠密となり,pπτp \mathrel{\Vdash^*} \pi \in \tauとなる.

    M[G]τ=ϑM[G] \models \tau = \varthetaの時.DDを以下のいずれか一つを満たすqqの全体とする:

    1. qτ=ϑq \mathrel{\Vdash^*} \tau = \vartheta

    2. σdom(τ)dom(ϑ)[qστqσϑ]\exists \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \tau \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \vartheta]

    3. σdom(τ)dom(ϑ)[qστqσϑ]\exists \sigma \in \mathrm{dom}(\tau) \cup \mathrm{dom}(\vartheta)\,[q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \tau \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \vartheta]

    すると,DDP\mathbb{P}で稠密であり,特にDMD \in Mである.すると,GGはジェネリックなのでpGDp \in G \cap Dが取れる.ppが(1)を満たせばOK.もし(2)を満たすとすると,pGp \in Gと(a)よりM[G]στM[G] \models \sigma \in \tauとなる.ここで,M[G]τ=ϑM[G] \models \tau = \varthetaよりこれらを合わせればM[G]σϑM[G] \models \sigma \in \vartheta.すると帰納法の仮定よりqσϑq \mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \varthetaを満たすようなqGq \in Gを取ることが出来る.特にqpq \leq pとしてよい.しかし,qpσϑq \leq p \mathrel{\Vdash^*} \sigma \notin \varthetaより\mathrel{\Vdash^*}の定義からqσϑq \not\mathrel{\Vdash^*} \sigma \in \varthetaとならなくてはならないので矛盾.同様の議論により(3)も有り得ない.

MZFPM \models ZF-P:c.t.m.,PMP \in MφALPMpP,Mφ(pPφ)M\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P} \cap M \Longrightarrow p \Vdash_{\mathbb{P}, M} \varphi \Leftrightarrow (p \mathrel{\Vdash_\mathbb{P}^*} \varphi)^M

前回とおなじく相対化は無視して議論を進めることが出来る. ()(\Leftarrow)は補題 1 (a)より直ちに従うので, ()(\Rightarrow)を示す.そこでpφp \Vdash \varphiかつpφp \not\mathrel{\Vdash^*} \varphiとする.この時補題2よりq¬φq \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphiを満たすqpq \leq pが存在する.すると定義よりrq[rφ]\forall r \leq q \, [r \not\mathrel{\Vdash^*} \varphi]となる.ここでqGq \in Gを満たすジェネリックフィルターを取る.この時pqp \geq qよりpGp \in Gなので,仮定よりM[G]φM[G] \models \varphiを満たす.すると,補題1 (b)よりrGr \in Grφr \mathrel{\Vdash^*} \varphiを満たすものが取れ,GGがフィルターであることから特にrqr \leq qとできる.するとr¬φr \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphiとなり矛盾.

一般の論理式について

原子論理式に関しての定義は済んだので,一般の強制言語の論理式に対して\mathrel{\Vdash^*} を定義していこう.

pPMZFPp \in \mathbb{P} \in M \models ZF - Pφ,ψFLP\varphi, \psi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P}について,以下のように帰納的にpφp \mathrel{\Vdash^*} \varphiを定める:

  1. φALP\varphi \in \mathcal{AL}_\mathbb{P}の時は定義2と同じ.

  2. pφψdefpφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi \wedge \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \mathrel{\Vdash^*} \varphiかつpψp \mathrel{\Vdash^*} \psi

  3. p¬φdefqp[qφ]p \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall q \leq p \,[ q \not \mathrel{\Vdash^*} \varphi]

  4. pφψdef¬qp[qφq¬ψ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \rightarrow \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \neg \exists q \geq p \,[q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \wedge q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi]

  5. pφψdef{q:[qφ][qψ]}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \vee \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : [q \mathrel{\Vdash^*} \varphi] \vee [q \mathrel{\Vdash^*} \psi] \right\}pp以下で稠密

  6. pxφ(x)defτVPpφ(τ)p \mathrel{\Vdash^*} \forall x \varphi(x) \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \tau \in V^\mathbb{P} \, p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau)

  7. pxφ(x)def{q:τVPqφ(τ)}p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x) \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\{ q : \exists \tau \in V^\mathbb{P} \, q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau) \right\}pp以下で稠密

ここで,(3)(3)の定義は定義4と整合的である.また,,\forall, \existsの定義は,,\wedge, \veeの定義の一般化と見做せる.

この「帰納的」定義を注意深くみてみると,(6)や(7)の定義では,各τVP\tau \in V^\mathbb{P}についてφ(τ)\varphi(\tau)の形のFLP\mathcal{FL}_\mathbb{P}閉論理式全体について帰納法を回している.これは真クラスなのでVVの中ではどう頑張っても定義出来ないことがわかる.即ち,上の\mathrel{\Vdash^*}の定義はメタ理論における定義図式であって,pφΨ(p,φ)p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \Psi(p, \varphi)を満たすような一つの論理式が存在するのではない.つまり,各φ(x)FLP\varphi(\vec{x}) \in \mathcal{FL}_\mathbb{P}に対して,pφ(ϰ)p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\vec{\varkappa})を表す論理式Forcesφ(p,ϰ)Forces_\varphi(p, \vec{\varkappa})を帰納的に作る方法が,論理式の長さに関する帰納法で与えられているのだ.我々の目的は\Vdashに関するDefinability lemmaを確立することだから,各φ\varphiに対してpφp \Vdash \varphiを表す論理式を別個に書くことができれば良いので,\mathrel{\Vdash^*}VVの内部で定義出来なくても問題はないのである.

このように定義すれば,今までの原子論理式に対する命題を一般の強制言語の論理式に拡張出来る.上の定義は,¬\negが与えられれば同値変形だけで出て来るので,以下では必要最低限の場合だけ証明することにする:

φFLP\varphi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P}に対し,

  1. pφ,qpqφp \mathrel{\Vdash^*} \varphi, q \leq p \Rightarrow q \mathrel{\Vdash^*} \varphi

  2. pφ{q:qφ}p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \varphi \right\}pp以下で稠密

  3. pφqp[q¬φ]p \mathrel{\Vdash^*} \varphi \Leftrightarrow \forall q \leq p\, [q \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \varphi]

  4. pφp \mathrel{\Vdash^*} \varphiかつp¬φp \mathrel{\Vdash^*} \neg \varphiとなることは有り得ない.

(c)(d)は(a)(b)から従い,(a)は定義より明らか.原子論理式の場合と同様に(b)の()(\Leftarrow)だけ帰納法により示す.

φxψ(x)\varphi \equiv \forall x \psi(x)の時.{q:qxψ(x)}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \forall x \psi(x) \right\}pp以下で稠密だとする.定義を展開すれば, qprqτVP[rψ(τ)]\forall q \leq p \exists r \leq q \forall \tau \in V^\mathbb{P}\,[r \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau)] となる.特にこれから各τVP\tau \in V^\mathbb{P}について{q:qψ(τ)}\left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau) \right\}pp以下で稠密となる.よって帰納法の仮定よりτVPpψ(τ)\forall \tau \in V^\mathbb{P}\,p \mathrel{\Vdash^*} \psi(\tau)となり,定義からpxφ(x)p \mathrel{\Vdash^*} \forall x \varphi(x)となる.

φ¬ψ\varphi \equiv \neg\psiの時.対偶を示す.p¬ψp \not\mathrel{\Vdash^*} \neg \psiとすると,定義からqp[qψ]\exists q \leq p\,[q \mathrel{\Vdash^*} \psi]であり,(a)よりrq[rψ]\forall r \leq q\,[r \mathrel{\Vdash^*} \psi]となる.よって{s:s¬ψ}\left\{ s : s \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi \right\}pp以下で稠密でない.

φψϑ\varphi \equiv \psi \vee \varthetaの時.D={q:qψϑ}D = \left\{ q : q \mathrel{\Vdash^*} \psi \vee \vartheta \right\}pp以下で稠密だとする.このときもう少し定義を展開すると,{q:{r:[rψ][rϑ]}  q 以下で稠密}\left\{ q :\left\{ r : [r \mathrel{\Vdash^*} \psi] \vee [r \mathrel{\Vdash^*} \vartheta] \right\}\ \text{が}\ q\ \text{以下で稠密} \right\}pp以下で稠密である.稠密性の定義よりこれは単に{r:[rψ][rϑ]}\left\{ r : [r \mathrel{\Vdash^*} \psi] \vee [r \mathrel{\Vdash^*} \vartheta] \right\}pp以下で稠密であるということである.

いよいよ,一般のφ\varphiについて\mathrel{\Vdash^*}をモデルと結び付ける補題を証明する:

MZFPM \models ZF-P:ctm,PM\mathbb{P} \in MGPG \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}-ジェネリック,φFLM\varphi \in \mathcal{FL} \cap Mとする.

  1. (pφ)MpGM[G]φ(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M \wedge p \in G\Rightarrow M[G] \models \varphi

  2. M[G]φpG(pφ)MM[G] \models \varphi \Rightarrow \exists p \in G\, (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

構造に関する帰納法により,(a) (b)の二つを同時に証明する.L(φ)L(\varphi)により「φ\varphiについて(a) (b)が成立する」ことを表す.

L(ψ)L(¬ψ)L(\psi) \rightarrow L(\neg \psi)

(a)を示す.(p¬ψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^MかつpGp \in Gとする.M[G]¬ψM[G] \not\models \neg \psiとして矛盾を導く.このときM[G]ψM[G] \models \psiなので,帰納法の仮定(b)よりqGq \in G(qψ)M(q \mathrel{\Vdash^*} \psi)^Mを満たすものが存在する.特にGGがフィルターであることと補題6の(a)よりqpq \leq pとしてよい.すると,補題 6 (a)より(q¬ψ)M(q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^Mとなり矛盾.

(b)を示そう.M[G]¬ψM[G] \models \neg \psiとする.D={q:(qψ)M(q¬ψ)M}MD = \left\{ q : (q \mathrel{\Vdash^*} \psi)^M \vee (q \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M \right\} \in Mとおくと,定義よりDDP\mathbb{P}で稠密でDMD \in Mである.よってGGのジェネリック性からpGDp \in G \cap Dが取れる.ここで(pψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \psi)^Mとすると,帰納法の仮定の(a)よりM[G]ψM[G] \models \psiとなり矛盾.よって(p¬ψ)M(p \mathrel{\Vdash^*} \neg \psi)^M

L(φ),L(ψ)L(φψ)L(\varphi), L(\psi) \rightarrow L(\varphi \wedge \psi)

バラして帰納法の仮定を使うだけ.

τMP[L(φ(τ))]L(xφ(x))\forall \tau \in M^\mathbb{P} [L(\varphi(\tau))] \rightarrow L(\exists x \varphi(x))

(a)を示す.(pxφ(x))M(p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x))^MかつpGp \in Gとする.\mathrel{\Vdash^*}の定義よりD={q:τMP,(qφ(τ))M}D = \left\{ q : \exists \tau \in M^\mathbb{P}, (q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^M \right\}pp以下で稠密である.今GGはジェネリックなので,qpq \leq pかつ(qφ(τ))M(q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^Mを満たすようなqGD,τMPq \in G \cap D, \tau \in M^\mathbb{P}が取れる.帰納法の仮定よりM[G]φ(τ)M[G] \models \varphi(\tau)となり,M[G]xφ(x)M[G] \models \exists x \varphi(x)が云える.

(b)を示そう.M[G]xφ(x)M[G] \models \exists x \varphi(x)とする.この時M[G]φ(τ)M[G] \models \varphi(\tau)を満たすτMP\tau \in M^\mathbb{P}が取れる.帰納法の仮定によって(pφ(τ))M(p \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau))^Mを満たすpGp \in Gが取れる.補題6の(a)よりqp[qφ(τ)]M\forall q \leq p [q \mathrel{\Vdash^*} \varphi(\tau)]^Mとなるので,\mathrel{\Vdash^*}\existsに関する定義より(pxφ(x))M(p \mathrel{\Vdash^*} \exists x \varphi(x))^Mとなる.

以上を使えば,原子論理式の時と同様にして\Vdashとの関係を証明できる:

MZFPM \models ZF-P:c.t.m.,PMP \in MφFLPMpφ(pφ)M\varphi \in \mathcal{FL}_\mathbb{P} \cap M \Longrightarrow p \Vdash \varphi \Leftrightarrow (p \mathrel{\Vdash^*} \varphi)^M

ここまでくれば,Definability lemmaとTruth lemmaの証明は簡単である:

Truth lemmaは補題8および補題7の(b)から明らか.Definability lemmaについても,補題8より{(P,,1,p,κ): pφ(ϰ)}\left\{ (\mathbb{P}, \leq, \mathbb{1}, p, \vec{\kappa}) : \cdots \ p \Vdash \varphi(\vec{\varkappa}) \right\}MM内で定義可能.

実は,後程示すが「MZFCM \models ZFCpxφ(x)p \Vdash \exists x \varphi(x)ならばpφ(τ)p \Vdash \varphi(\tau)を満たすτMP\tau \in M^\mathbb{P}が存在する」という定理(極大原理)がある.これを使えば\existsに関する\mathrel{\Vdash^*}の定義を簡略化出来そうな気もするが,その極大原理の証明にここでの議論を使っているので循環論法になってしまう.また,MMが必ずしもACACを満たさない場合に使えなくなってしまうので,ここでは上の定義を用いた.

参考文献

  • [1]K. Kunen, Set Theory, vol. 34. College Publications, 2011.
  • [2]新井敏康, 数学基礎論. 岩波書店, 2011.
  • [3]田中一之, 渕野昌, 松原洋, and 戸田山和久, ゲーデルと20世紀の論理学(ロジック) 4 集合論とプラトニズム, vol. 4. 東京大学出版会, 2007.

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