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強制法の考え方(おはなし)

ZFC+¬CH\mathrm{ZFC} + \neg \mathrm{CH}のモデルNNを作りたい.直観的には既にある宇宙の外側から十分沢山ω\omegaの部分集合を持ってきて付け加えたいのだが,そんな事は出来ないので,ZFC\mathrm{ZFC}の可算推移的モデル (c.t.m.) MMから始めてZFC+¬CH\mathrm{ZFC}+\neg \mathrm{CH}のモデルNMN \supsetneq Mを作りたい. 具体的には,MAを使う時と同じように,poset PM\mathbb{P} \in Mと十分多くの稠密集合と交わるようなフィルターGGをとって,そこから望ましい性質を持ったオブジェクトを作る.GGやその結果の構築物はMMに属するとは限らないので,一定の性質を保ったままMMの元とGGを共に含むようにMMM[G]M[G]に拡張するということになる.

ZFC\mathrm{ZFC}の可算推移的モデルは,到達不能基数が存在すれば取ることが出来るが,ZFC\mathrm{ZFC}からその存在を証明出来ない.なので,以下で示すCon(ZFC)Con(ZFC+¬CH)\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) \rightarrow \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}+\neg \mathrm{CH})はひとまずZFC+IC\mathrm{ZFC}+ICの定理ということになる.実際には,公理系が無矛盾であるというのはその任意の有限部分集合が無矛盾であるという事だから,ZFC\mathrm{ZFC}の公理からなる有限集合ΛZFC\Lambda \Subset \mathrm{ZFC}を任意に取ってきて,Λ+CH\Lambda + \mathrm{CH}がモデルを持つことが示せればよい.反映定理よりΛ\Lambdaのc.t.m.はZFC\mathrm{ZFC}の内部で取ることが出来るので,以下の議論で考えるc.t.m.をΛ\Lambdaに関するc.t.m.だと思えば,ZFC\mathrm{ZFC}の内部でZFC+¬CH\mathrm{ZFC}+\neg \mathrm{CH}の相対無矛盾性を示せる.他にももう一つ議論を正当化する方法があるらしいが,それは第5節でやることになる.

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(P,,1)(\mathbb{P}, \leq , \mathbb{1})はforcing poset」「DPD \subseteq \mathbb{P}は稠密」はZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルについて絶対.

試しにforcing posetの公理を書き下してみる:

  1. 1P\mathbb{1} \in \mathbb{P}

  2. (pP)p1(\forall p \in \mathbb{P})\, p \leq \mathbb{1}

  3. (pP)pp(\forall p \in \mathbb{P})\, p \leq p

  4. (p,q,rP)pqqrpr(\forall p, q, r \in \mathbb{P})\, p \leq q \wedge q \leq r \rightarrow p \leq r

これらは明らかにZFP\mathrm{ZF}-Pの下でΔ0\Delta_0-論理式で書ける.最初なので詳しく書けば,xyx \leq yZFP\mathrm{ZF}-Pの下でΔ0\Delta_0論理式p[p=x,y]\exists p \in \mathord{\leq}\,[p = \langle x, y \rangle]と同値である.上式に現れる量化子はすべて有界なので,これらも全てΔ0\Delta_0-論理式となり,従ってZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルに対し絶対である.稠密性についても同様.

1M\mathbb{1} \in MMMの推移性からすぐに出て来るが,\leqは入るとは限らないのでM\mathord{\leq} \in Mを条件に入れておく.しかし,大抵の場合M\mathord{\leq} \in Mも絶対性から従う.

強制法では適切なposet PM\mathbb{P} \in MのフィルターGGを使って¬CH\neg \mathrm{CH}を破ったりするような対象を作る.MAMAの時は適切な個数の稠密集合と交わるフィルターを考えたが,強制法の場合は次がその条件に対応する:

P\mathbb{P}をforcing posetとする.GPG \subseteq \mathbb{P}MMP\mathbb{P}-ジェネリックdefG\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} GP\mathbb{P}上のフィルターでDG[DMD:Pで稠密DG]\forall D \subseteq G\, [D \in M \wedge D : \mathbb{P} \text{で稠密} \longrightarrow D \cap G \neq \emptyset]

MMは可算なので,MMに属する稠密集合を数えあげることが出来,補題III.3.14よりジェネリックフィルターは必ず存在する:

M:ZFPM: \mathrm{ZF} - Pのc.t.m.,PM\mathbb{P} \in M:forcing poset

pPGP[pGGMP-ジェネリック]\Longrightarrow \forall p \in \mathbb{P} \exists G \subseteq \mathbb{P}\; [p \in G \wedge G\text{は}M\text{上}\mathbb{P}\text{-ジェネリック}]

MMに入っている稠密集合DDの列挙自体がMMに属するとは限らず,特にGGは大抵の場合MMの元ではない:

PM\mathbb{P} \in Mがアトムを持たず,GGMMP\mathbb{P}-ジェネリックGM\Longrightarrow G \notin M

P\mathbb{P}はアトムを持たないのでD=PGD = \mathbb{P} \setminus Gは稠密.GMG \in MとするとDMD \in Mとなり,GDG \cap D \neq \emptysetに矛盾.

P\mathbb{P}がアトムrrを持つなら,G={q:qr}G = \left\{ q : q \not\perp r \right\}はジェネリックフィルターとなり,更にMMに属するが,強制法やMAへの応用上現れるposetの殆んどはアトムを持たないものである.

以下では,MMの元とGGを使い,「単純な集合論的過程」によって新たなモデルM[G]M[G]を構成していく. まず,M[G]M[G]の各元について,その「作り方」を記した名前を割り当てるところから始める:

τ\tauP\mathbb{P}-name defτ\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \tau二項関係でありσ,pτ[σ は P-namepP]\forall \langle \sigma, p \rangle \in \tau \, [\sigma \text{ は } \mathbb{P}\text{-name} \wedge p \in \mathbb{P}]を満たす.

この時,VP:={P-name全体のクラス}V^{\mathbb{P}} \mathrel{:=} \left\{ \mathbb{P}\text{-name全体のクラス} \right\}と置く.

P\mathbb{P}-nameの概念は整礎帰納法により定義されている.より厳密には,集合的整礎関係xRydefxtrcl(y)x R y \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} x \in \mathrm{trcl}(y)に関する帰納法により,VPV^\mathbb{P}の「特性関数」F:V2F: V \rightarrow 2を次のように定義している: F(τ)={1(τ:Relation,σ,pτ[F(σ)=1pP])0(otherwise)F(\tau) = \begin{cases} 1 & (\tau : \text{Relation}, \forall \langle \sigma, p \rangle \in \tau \, [F(\sigma) = 1 \wedge p \in \mathbb{P}])\\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}τ\tauが関係であること」はZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルについて絶対であり,帰納条件の部分もΔ0\Delta_0論理式なので絶対.よって「xxP\mathbb{P}-nameである」もZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルについて絶対的である.

MP:={τMundefined(τP-name)M}=MVP\begin{aligned} M^\mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{\: \tau \in M \;\middle|\; (\tau \text{は} \mathbb{P}\text{-name})^M \:\right\} = M \cap V^\mathbb{P}\end{aligned}

最後のイコールは絶対性から従う.

整礎帰納法によるP\mathbb{P}-nameの構成は,基礎の公理を使って集合の累積的階層を作っていく操作と似ている.余分な「pp」は,各フィルターGGを固定した際に,実際に元となるかどうかの「条件」として振る舞う:

τ:P\tau: \mathbb{P}-name,GPG \subseteq \mathbb{P}とする.この時 τG:=val(τ,G):={val(σ,G):pG,[σ,pτ]}\tau_G \mathrel{:=} \mathrm{val}(\tau, G) \mathrel{:=} \left\{ \mathrm{val}(\sigma, G) : \exists p \in G,\,[\langle \sigma, p \rangle \in \tau] \right\} によりτG\tau_Gを帰納的に定める.この時,M[G]M[G]を次で定義する: M[G]:={τG:τMP}M[G] \mathrel{:=} \left\{ \tau_G : \tau \in M^\mathbb{P} \right\}

M[G]M[G]MMの各元とGGを含むようにしたいので,それらを指示するようなMMに属するP\mathbb{P}-nameがなくてはいけない.まず,MMの元を指す名前は,次のようにすれば作れる:

P,,1\langle \mathbb{P}, \mathord{\leq}, \mathbb{1} \rangle:forcing poset,xx:集合とする時,xˇ\check{x} (xx-check)を次で定める: xˇ:={yˇ,1:yx}\check{x} \mathrel{:=} \left\{ \langle \check{y}, \mathbb{1} \rangle : y \in x \right\}

1\mathbb{1}はどんなフィルターにも含まれており,「無条件」を表すものだと思えば,この定義は自然なものである.実際,次が云える:

(i) (xM)[xˇMPval(xˇ,G)=x](\forall x \in M)\, \left[ \check{x} \in M^\mathbb{P} \wedge \mathrm{val}(\check{x}, G) = x\right] (ii) M[G]MM[G] \supseteq M

(ii) は (i) より直ちに従う.

(i)に関して.xMx \in Mとする.xˇMP\check{x} \in M^\mathbb{P}となることは,「P\mathbb{P}-name」や直積,対などがZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルについて絶対であることから直ちにわかる.後半についても,帰納法により一瞬で示せる.

先程,大抵の場合GMG \notin Mであることを述べたが,GM[G]G \in M[G]であるためには,GGを指す名前はMMに含まれていなければならない.実際,次のようにして簡単に作ることが出来る:

forcing poset P\mathbb{P}に対し,Γ:={pˇ,p:pP}\Gamma \mathrel{:=} \left\{ \langle \check{p}, p \rangle : p \in \mathbb{P} \right\}と定める.

Γ\GammaP\mathbb{P}-nameであり,ΓG=G\Gamma_G = Gとなる.特に,GM[G]G \in M[G]である.

xˇ\check{x}Γ\Gammaも特定ののを指すように作られているのは同じだが,それぞれ写像GτGG \mapsto \tau_Gと見做すと,xˇ\check{x}は定数写像GxG \mapsto xに対応するのに対し,Γ\Gammaは恒等写像GGG \mapsto Gになっているのが異なる.

こうして作ったM[G]M[G]ZFC\mathrm{ZFC}の十分な範囲を満たすことを示したい.ここまでの準備で次を示せる:

M[G]M[G]は推移的で,外延性,基礎,対,和の公理のモデルとなる.

baM[G]b \in a \in M[G]とする.この時,a=τGa = \tau_GとなるようなτMP\tau \in M^\mathbb{P}が存在する.この時,ba={σG:pGσ,pτ}b \in a = \left\{ \sigma_G : \exists p \in G\, \langle \sigma, p \rangle \in \tau \right\}となるから,b=σGb = \sigma_GとなるようなP\mathbb{P}-name σMP\sigma\in M^\mathbb{P}が存在する.よってbM[G]b \in M[G]となるので,M[G]M[G]は推移的である. 基礎の公理はϵ\epsilon-モデルであることから成立し,M[G]M[G]が推移的であることから外延性の公理も成立.

対の公理を示す.a,bM[G]a, b \in M[G]とし,τG=a,σG=b(σ,τMP)\tau_G = a, \sigma_G = b\;(\sigma, \tau \in M^\mathbb{P})とおく.この時,π={σ,1,τ,1}\pi = \left\{ \langle \sigma, \mathbb{1} \rangle, \langle \tau, \mathbb{1} \rangle \right\}とおけば,πG={σG,τG}={a,b}\pi_G = \left\{ \sigma_G, \tau_G \right\} = \left\{ a, b \right\}.対の絶対性より明らかにπMP\pi \in M^\mathbb{P}であるので,{a,b}M[G]\left\{ a, b \right\} \in M[G]となる.

最後に和の公理を示す.a=τG(τMP)a = \tau_G\; (\tau \in M^\mathbb{P})とし, π:={θ,p:σ,qτrP[θ,rσprpq]},b:=πG\pi \mathrel{:=} \left\{ \langle \theta, p \rangle : \exists \langle \sigma, q \rangle \in \tau\, \exists r \in \mathbb{P}\, \left[\langle \theta, r \rangle \in \sigma \wedge p \leq r \wedge p \leq q \right] \right\}, \quad b \mathrel{:=} \pi_G とおく.絶対性より明らかにπMP\pi \in M^\mathbb{P}なので,bM[G]b \in M[G]である.\bigcupZFP\mathrm{ZF}-Pの推移的モデルに対して絶対なので,b=ab = \bigcup aを示せばよい.まずcac \in aを取り,cbc \subseteq bを示す.この時,あるσMP,qG\sigma \in M^\mathbb{P}, q \in Gがあって,σ,qτ\langle \sigma, q \rangle \in \tauかつσG=c\sigma_G = cとなる.ここで更にdcd \in cを取れば,θ,rσ\langle \theta, r \rangle \in \sigmaθG=d,rG\theta_G = d, r \in Gを満たすものが取れる.すると,GGがフィルターであることから,prpqp \leq r \wedge p \leq qを満たすpGp \in Gを取ることが出来る.この時定義よりθ,pπ\langle \theta, p \rangle \in \piとなるので,dπG=bd \in \pi_G = bとなる.よってこの方向はOK.

逆を示す.dbd \in bを取れば,θ,pπ\langle \theta, p \rangle \in \piθG=d,pG\theta_G = d, p \in Gとなるものが存在している.更にπ\piの定義から,θ,rσ\langle \theta, r \rangle \in \sigmaかつpq,rp \leq q, rを満たすようなσ,qτ,pP\langle \sigma, q \rangle \in \tau, p \in \mathbb{P}が取れる.すると,GGがフィルターであることとpGp \in Gに注意すればq,rGq, r \in Gとなる.そこでc=σGc = \sigma_Gとおけば,σ,qτ,qG\langle \sigma, q \rangle \in \tau, q \in Gよりc=σGτG=ac = \sigma_G \in \tau_G = a.同様にしてd=θGσG=cd = \theta_G \in \sigma_G = cが云え,dcad \in c \in aとなる.よってbab \subseteq \bigcup a.よって示された.

参考文献

  • [1]K. Kunen, Set Theory, vol. 34. College Publications, 2011.
  • [2]江田勝哉, 数理論理学 ──使い方と考え方:超準解析の入口まで. 内田老鶴圃, 2010.
  • [3]新井敏康, 数学基礎論. 岩波書店, 2011.

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