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Martin の公理と範疇定理

MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) は「任意の c.c.c. poset P\mathbb{P} に対し MAP(κ)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\kappa)」という主張だった.この「c.c.c.」というのは落とせない,というのが次の補題:

¬MAP(1)\neg \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\aleph_1) となるような non-c.c.c. poset P\mathbb{P} が存在する.

前回のゼミの際に Fn(I,J)\mathrm{Fn}(I, J) が c.c.c. を持つことと I=J0I = \emptyset \vee |J| \leq \aleph_0 であることが同値なことを見た.そこで,I=ω,J=ω1I = \omega, J = \omega_1 の場合を考えれば,P=Fn(ω,ω1)\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega_1) は c.c.c. を持たない.ここで,次の集合を考える: Dn:={pPundefinedndom(p)}(n<ω)Eα:={pPundefinedαrng(p)}(α<ω1)\begin{aligned} D_n \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; n \in \mathrm{dom}(p) \:\right\} & \;(n < \omega) & \quad E_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; \alpha \in \mathrm{rng}(p) \:\right\} & \; (\alpha < \omega_1) \end{aligned} pPp \in \mathbb{P} が有限であることから,各 En,DnE_n, D_nP\mathbb{P} で稠密.そこで MAP(ω1)\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\omega_1) とすれば,{Dn,Eα}\left\{ D_n, E_\alpha \right\}- ジェネリックなフィルター GPG \subseteq \mathbb{P} が取れる.特に,fG=Gf_G = \bigcup G とおくと fG:ωontoω1f_G : \omega \xrightarrow{\text{onto}} \omega_1 となる.これは ω<ω1\omega < \omega_1 に反する.

ここでの P\mathbb{P} は c.c.c. でない poset の一例に過ぎない.c.c.c. よりも弱い条件しか満たしていなくても,MAP(1)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\aleph_1) は成り立ちうる.例えば「c.c.c.」という条件を「proper」という条件に弱めた PFA という公理は ZFC と無矛盾で,MA(1)\mathrm{MA}(\aleph_1) から独立な多くの命題を導くことが知られている.

まず初めに見る MA の応用は,Baire の範疇定理の一般化:

MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) を仮定する.XX:c.c.c. コンパクト Hausdorff 空間,XαXX_\alpha \subseteq X:閉疎集合 (α<κ)(\alpha < \kappa)

α<κXαX\Longrightarrow \bigcup_{\alpha < \kappa} X_\alpha \neq X

XX は c.c.c. を満たすので,空でない開集合の成す poset OX\mathbb{O}_X も c.c.c. を満たすことに注意する.

補集合を取れば,結局示すべき事は次と同値である: Uα:稠密開集合(α<κ)α<κUαU_\alpha : \text{稠密開集合}\, (\alpha < \kappa) \Rightarrow \bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \neq \emptyset GOXG \subseteq \mathbb{O}_X をフィルターとすると,GG は有限交叉性を持つ.ここで,FG:=pGpˉF_G \mathrel{:=} \bigcap_{p \in G} \bar{p} とおけば,FGF_G は空でない.もし FG=F_G = \emptyset だったとすると,pGpe=X\bigcup_{p \in G} p^e = XXX の開被覆である.よって XX のコンパクト性より,p0,,pnGp_0, \dots, p_n \in G があって X=p0epneX = p_0^e \cup \dots \cup p_n^e と出来る.すると,p0pnp0ˉpnˉ=p_0 \cap \dots \cap p_n \subseteq \bar{p_0} \cap \dots \bar{p_n} = \emptyset となり,piGp_i \in G に反する.

ここで,Dα:={pOXundefinedpˉUα}(α<κ)D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{O}_X \;\middle|\; \bar{p} \subseteq U_\alpha \:\right\} \quad (\alpha < \kappa) と置くと,各 DαD_\alpha は稠密である.それを示すため,pOXp \in \mathbb{O}_X を取ろう.UαU_\alpha は稠密開集合なので,pUαOXp \cap U_\alpha \in \mathbb{O}_X である.今,XX はコンパクト Hausdorff 空間なので特に正則空間となり,qˉpUα\bar{q} \subseteq p \cap U_\alpha となるような空でない開集合 qOXq \in \mathbb{O}_X を取ることが出来る.この時取り方から明らかに qpq \leq p かつ qDαq \in D_\alpha.よって各 DαD_\alphaOX\mathbb{O}_X で稠密である.

そこで,MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) により,{Dα}\left\{ D_\alpha \right\}- ジェネリックなフィルター GOXG \subseteq \mathbb{O}_X を取る.先程の議論より FG=pGpˉF_G = \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset である.特に,GUαG \cap U_\alpha \neq \emptyset より各 α\alpha について ppˉpˉUα\bigcap_p \bar{p} \subseteq \bar{p} \subseteq U_\alpha となるような pGp \in G が存在する.よって, α<κUαpGpˉ\bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \supseteq \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset

ジェネリックフィルターの補題より κ=ω\kappa = \omega の場合は c.c.c. 性を落として,一般のコンパクト Hausdorff 空間について成り立つことになる.最初にも述べたように,これは Baire の範疇定理の拡張になっていて,ここで MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) を使ってジェネリックフィルターを取っている部分が通常の証明で開集合の ω\omega- 列を取る所と対応している.実際にはこの形の命題は MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) と同値である事が後の節でわかる.

この定理は,もし XX が孤立点を持つなら MA(κ)MA(\kappa) など仮定しなくても自明に成立する(孤立点は一点で開集合になるので).これは,P\mathbb{P}アトムを持つ時に MAP(κ)\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\kappa) が自明に成立するのと似ている.

rPr \in \mathbb{P}P\mathbb{P}アトムdefp,qr[pq]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall p, q \leq r \, [p \mathrel{\|} q]

特に,Hausdorff 空間の場合,rOXr\in \mathbb{O}_X がアトム r=1\Leftrightarrow |r| = 1 である.

  • rPr \in \mathbb{P} がアトムなら,κMAP(κ)\forall \kappa \, \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\kappa)

  • P\mathbb{P} がアトムを持たないなら,¬MAP(2P)\neg \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(2^{|\mathbb{P}|})

証明は前回やったのでもうやらない.

もしも P\mathbb{P} がアトムを持たないなら,任意の rPr \in \mathbb{P} について,それより下に少なくとも可算濃度の反鎖が存在することがわかる:

P\mathbb{P} がアトムを持たない rPAr[A0A は反鎖]\Rightarrow \forall r \in \mathbb{P} \exists A \subseteq \mathop{\downarrow} r \, [|A| \geq \aleph_0 \wedge A\ \text{は反鎖}]

下図の通り:

Diagram

Martin の公理と小さな基数

m\mathfrak{m}¬MA(κ)\neg \mathrm{MA}(\kappa) となる最小の κ\kappa とする.

今までの結果を纏めると,1mc\aleph_1 \leq \mathfrak{m} \leq \mathfrak{c} となるこれは第一節で議論した小さな基数たちの範囲と同じだが,特に m\mathfrak{m} は今まで議論した中で最小なことがわかる.この記号を使えば MAm=c\mathrm{MA} \Leftrightarrow \mathfrak{m} = \mathfrak{c} だから,MA\mathrm{MA} の下ではこれらの基数は全て c\mathfrak{c} と一致することになる.今回は特に mp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p} を示す.

  • 集合族 E\mathcal{E}強有限交叉性(Strong Finite Intersection Property; SFIP) を持つ

    defF[E]<ωF0\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \mathcal{F} \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \, |\bigcap \mathcal{F}| \geq \aleph_0

  • KKE[ω]ω\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega擬共通部分(pseudointersecion) である defK=0ZE[KZ]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} |K| = \aleph_0 \wedge \forall Z \in \mathcal{E} \,[ K \mathrel{\mathord{\subseteq}^*} Z]

  • p=\mathfrak{p} =SFIP を持つが擬共通部分を持たないような [ω]ω[\omega]^\omega の部分集合の最小濃度

第一節で議論した髭文字系の小さな基数の中で p\mathfrak{p} は最小だった.以下では mp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p} を示す:

mp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}

κ<mκ<p\kappa < \mathfrak{m} \rightarrow \kappa < \mathfrak{p} を示そう.即ち,MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) を仮定し,E[ω]ω\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega を SFIP を持つ濃度 κ\kappa の族とした時,E\mathcal{E} は擬共通部分 KK を持つことを示す.

P:={p=sp,Wp:sp[ω]<ωWp[E]<ω}\mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{ p = \langle s_p, \mathcal{W}_p \rangle : s_p \in [\omega]^{<\omega} \wedge \mathcal{W}_p \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \right\} と置く.気持ちとしては各 sps_pKK の下からの有限近似であり,Wp\mathcal{W}_psps_p の差を除いて KK を含むことが保証された E\mathcal{E} の元の一覧になっている.その気持ちを念頭において,P\mathbb{P} 上に次のように順序を定める: pqdef{spsq(sp は sqよりよい近似)WpWq(Wp は Wq より沢山保証)ZWq[spsqZ](p は q の約束を破らない)\begin{aligned} p \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \begin{cases} s_p \supseteq s_q & (s_p\text{ は }s_q\text{よりよい近似})\\ \mathcal{W}_p \supseteq \mathcal{W}_q & (\mathcal{W}_p\text{ は }\mathcal{W}_q\text{ より沢山保証})\\ \forall Z \in \mathcal{W}_q\, [s_p \setminus s_q \subseteq Z] & (p\text{ は }q\text{ の約束を破らない}) \end{cases} \end{aligned} これにより,P,,,\langle \mathbb{P}, \leq, \langle \emptyset, \emptyset \rangle \rangle が forcing poset となるのは明らか.MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) を使いたいので,P\mathbb{P} が c.c.c. を満たすことを示さなくてはならない.ここで, sp=sqspsq()\begin{aligned} s_p = s_q \longrightarrow s_p \mathrel{\|} s_q \qquad\qquad (*) \end{aligned} が成立する.なぜならこの時,r=sp,WpWqr = \langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \mathcal{W}_q \rangle とおけば明らかに rp,qr \leq p, q となるからである.特に各 s[ω]<ωs \in [\omega]^{<\omega} は可算個しかないから,もし APA \subseteq \mathbb{P} が非可算集合であったとすると,必ず sp=sqs_p = s_q となる p,qAp, q \in A があり spsqs_p \mathrel{\|} s_q となるので,AA は反鎖ではない.よって P\mathbb{P} は c.c.c. を満たす.

GPG \subseteq \mathbb{P} をフィルターとするとき,KG:=pspK_G \mathrel{:=} \bigcup_p s_p により KGωK_G \subseteq \omega を定める.この時,KGK_GE\mathcal{E} の擬共通部分となるようにしたい.より具体的には,次の二条件を満たすようにしたい:

  1. KG0|K_G| \geq \aleph_0

  2. ZEs[ω]<ω[KGsZ]\forall Z \in \mathcal{E}\,\exists s \in [\omega]^{<\omega}\; [K_G \setminus s \subseteq Z]

まず(1)を成立させるには,GG を次の各集合と交わるように取ればよいことがわかる: Dn:={qP:undefinedqn}(n<ω)D_n \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} : \;\middle|\; q| \geq n \:\right\}\;(n < \omega) ここで,E\mathcal{E} が SFIP を持つことから各 DnD_n は稠密集合となる事がわかる.これを示すため,pPp \in \mathbb{P} を任意に取る.この時 Wp\mathcal{W}_pE\mathcal{E} の元からなる有限集合であり,E\mathcal{E} が SFIP を持つことから Wp\bigcap \mathcal{W}_p は無限集合となる.よって t[Wp]nt \in [\bigcap \mathcal{W}_p]^n が取れ,r=spt,Wpr = \langle s_p \cup t, \mathcal{W}_p \rangle とおけば,DnrpD_n \ni r \leq p となる.よって DnD_n の全体は可算個しかないので,GDnG \cap D_n \neq \emptyset となるようにできる.

次に(2)を成り立たせたい.各 ZEZ \in \mathcal{E} に対し EZ:={qP:ZWq}E_Z \mathrel{:=} \left\{ q \in \mathbb{P} : Z \in \mathcal{W}_q \right\} の形の集合を考えると,これは P\mathbb{P} の稠密集合である.これは,pPp \in \mathbb{P} に対し r=sp,Wp{Z}r = \langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \left\{ Z \right\} \rangle とおけば rpr \leq p かつ rEZr \in E_Z となることから明らかである.このような EZE_ZE=κ|\mathcal{E}| = \kappa 個しかなく,今 MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa) を仮定しているので,フィルター GG を各 EZE_Z と交わるように取ることが出来る.この時(2)が成立することは,次のようにしてわかる.適当な ZEZ \in \mathcal{E} を取れば,GEZG \cap E_Z \neq \emptyset より ZWpZ \in \mathcal{W}_p を満たすような pGp \in G が存在する.この時,任意の qGq \in G に対し sqspZs_q \setminus s_p \subseteq Z となることが示せれば十分である.何故ならこのとき KGsp=q(sqsp)ZK_G \setminus s_p = \bigcup_q (s_q \setminus s_p) \subseteq Z となるからである.GG はフィルターなので,rp,qr \leq p, q となるような rGr \in G が存在する.特に順序の定義から srsqs_r \supseteq s_q かつ srspZWps_r \setminus s_p \subseteq Z \in \mathcal{W}_p となっているので,sqspZs_q \setminus s_p \subseteq Z が云える.以上より KGK_GE\mathcal{E} の擬共通部分である.

上の議論では ()(\star) の条件が本質的な役割を果している.MA\mathrm{MA} を用いた議論ではしばしばこれに類似の論法が使われるので,それをちょっと詳しく見てみよう:

  • CPC \subseteq \mathbb{P}centered defp0,,pnCqPi[qpi]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall p_0, \dots, p_n \in C\, \exists q \in \mathbb{P}\, \forall i\, [q \leq p_i]

  • P\mathbb{P}σ\sigma-centereddefP\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \mathbb{P} は可算個の centered 部分集合の和である.

CPC \subseteq \mathbb{P} が centered であるというのは,有限交叉性の一般化になっている.例えば,位相空間 XX に対し OX\mathbb{O}_X を考えると,COXC \subseteq \mathbb{O}_X が centered であることと CC が有限交叉的であることは同値である.

実際,上の補題が実際に使っているのは MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)σ\sigma-centered な集合に制限したものである.より強く,次が成り立つ:

補題  5で用いた poset は可算個のフィルターの和で表せる.特に σ\sigma-centered である.

s[ω]<ωs \in [\omega]^{<\omega} に対し,Cs:={pP:sp=s}C_s \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{P} : s_p = s \right\} とおけば P=sCs\mathbb{P} = \bigcup_s C_s である.特に,p,qCsp, q \in C_s ならば rCsr \in C_s の範囲で rp,qr \leq p, q となるものが取れる.よって CsC_s はフィルター基になっており,Fs=Cs\mathcal{F}_s = \mathop{\uparrow} C_s とおけば Fs\mathcal{F}_s はフィルターとなり,P=sCs=sFs\mathbb{P} = \bigcup_s C_s = \bigcup_s \mathcal{F}_s となる.

上の証明では,各 CsC_s を拡張する際に各 pip_i の下界が再び CsC_s に属することを使っているが,一般の σ\sigma-centered 集合でそうなっている訳ではない.実用上殆んどの場合は σ\sigma-centered な poset はフィルターの可算和で書けるが,そうでないような例も知られている. また,これも後で見ることだが,κ<p\kappa < \mathfrak{p} であることと,MAP(κ)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\kappa)σ\sigma-centered な物について成立することは同値となる.

centered な集合の二元は両立してしまうため,反鎖は各 centered 集合の元を高々一つしか持たないことがわかる.これは,正しく先程の証明の論法を一般化したものになっている:

P\mathbb{P}σ\sigma-centered P\Rightarrow \mathbb{P} は c.c.c. を持つ

一般に逆は不成立である:

XX をコンパクト Hausdorff 空間とすると,次は同値:

  1. XX は可分

  2. OX\mathbb{O}_Xσ\sigma-centered

  3. OX\mathbb{O}_X はフィルターの可算和

特に,κ>c,X=κ2\kappa > \mathfrak{c}, X = {}^{\kappa} {2} とすると,OX\mathbb{O}_X は c.c.c. だが σ\sigma-centered でない順序集合の例になっている.

OX\mathbb{O}_X では centered 性と有限交叉性は同値であったので,centered 集合から生成されるフィルターを考えれば (2)(3)(2) \Leftrightarrow (3) は OK.そこで (1)(3)(1) \Leftrightarrow (3) を示す.

()(\Rightarrow) を示そう.D={dn:n<ω}XD = \left\{ d_n : n < \omega \right\} \subseteq XXX の可算な稠密集合とする.この時 Un:={pOX:dnp}\mathcal{U}_n \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{O}_X : d_n \in p \right\} とおけば,各 Un\mathcal{U}_n はフィルターとなる.この時 DD の稠密性より空でない開集合は did_i のいずれかを元にもつので,OX=nUn\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{U}_n となる.

()(\Leftarrow) を示す.フィルター Fn\mathcal{F}_n により OX=nFn\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{F}_n と書けているとする.この時超フィルターの補題によって各フィルターを超フィルター FnUn\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{U}_n に拡張する.XX はコンパクトなので各 Un\mathcal{U}_n は必ず収束点を持ち,Hausdorff 性よりその収束先は一意に来まる.そこで, D={dn=limUn:n<ω}D = \left\{ d_n = \lim \mathcal{U}_n : n < \omega \right\} と置き,DDXX の稠密集合であることを示す.UOXU \in \mathbb{O}_X を任意にとれば,XX はコンパクト Hausdorff 空間なので正則空間となり,VOXV \in \mathbb{O}_XVˉU\bar{V} \subseteq U を満たすものが取れる.すると仮定より VUnV \in \mathcal{U}_n となるような n<ωn < \omega が存在する.今 Un\mathcal{U}_ndnd_n に収束するので,位相空間の一般論より dnVˉUd_n \in \bar{V} \subseteq U となる.よって UDU \cap D \neq \emptyset

κ>c\kappa > \mathfrak{c} の時 X=κ2X = {}^{\kappa} {2}σ\sigma-centered でない c.c.c. poset の例になっていることは次のようにしてわかる.まず 22 は可分なので,教科書の系 III.2.10 よりその直積 κ2{}^{\kappa} {2} は c.c.c. となり,OX\mathbb{O}_{X} も c.c.c. となる.ところで,教科書の補題 III.2.11 によれば,XiX_i が二点以上持つ Hausdorff 空間で I>c|I| > \mathfrak{c} の時,iIXi\prod_{i \in I} X_i は可分ではない.よって κ2{}^{\kappa} {2} は可分ではない.Tychonoff の定理より XX はコンパクトであり,Hausdorff 性も明らか.よって上の結果より,OX\mathbb{O}_Xσ\sigma-centered ではない.

参考文献


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