Martinの公理，範疇定理，小さな基数 konn-san.com

Proof. 前回のゼミの際に$\mathrm{Fn}(I, J)$がc.c.c.を持つことと$I = \emptyset \vee |J| \leq \aleph_0$ であることが同値なことを見た．そこで，$I = \omega, J = \omega_1$の場合を考えれば，$\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega_1)$はc.c.c.を持たない．ここで，次の集合を考える： $$\begin{aligned} D_n \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; n \in \mathrm{dom}(p) \:\right\} & \;(n < \omega) & \quad E_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; \alpha \in \mathrm{rng}(p) \:\right\} & \; (\alpha < \omega_1) \end{aligned}$$ $p \in \mathbb{P}$が有限であることから，各$E_n, D_n$は$\mathbb{P}$で稠密．そこで$\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\omega_1)$とすれば，$\left\{ D_n, E_\alpha \right\}$-ジェネリックなフィルター$G \subseteq \mathbb{P}$が取れる．特に，$f_G = \bigcup G$とおくと$f_G : \omega \xrightarrow{\text{onto}} \omega_1$となる．これは$\omega < \omega_1$に反する．

Proof. $X$はc.c.c.を満たすので，空でない開集合の成すposet $\mathbb{O}_X$もc.c.c.を満たすことに注意する．

補集合を取れば，結局示すべき事は次と同値である： $$U_\alpha : \text{稠密開集合}\, (\alpha < \kappa) \Rightarrow \bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \neq \emptyset$$ $G \subseteq \mathbb{O}_X$をフィルターとすると，$G$は有限交叉性を持つ．ここで，$F_G \mathrel{:=} \bigcap_{p \in G} \bar{p}$とおけば，$F_G$は空でない．もし$F_G = \emptyset$だったとすると，$\bigcup_{p \in G} p^e = X$は$X$の開被覆である．よって$X$のコンパクト性より，$p_0, \dots, p_n \in G$があって$X = p_0^e \cup \dots \cup p_n^e$と出来る．すると，$p_0 \cap \dots \cap p_n \subseteq \bar{p_0} \cap \dots \bar{p_n} = \emptyset$となり，$p_i \in G$に反する．

ここで，$D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{O}_X \;\middle|\; \bar{p} \subseteq U_\alpha \:\right\} \quad (\alpha < \kappa)$と置くと，各$D_\alpha$は稠密である．それを示すため，$p \in \mathbb{O}_X$を取ろう．$U_\alpha$は稠密開集合なので，$p \cap U_\alpha \in \mathbb{O}_X$である．今，$X$はコンパクトHausdorff空間なので特に正則空間となり，$\bar{q} \subseteq p \cap U_\alpha$となるような空でない開集合$q \in \mathbb{O}_X$を取ることが出来る．この時取り方から明らかに$q \leq p$かつ$q \in D_\alpha$．よって各$D_\alpha$は$\mathbb{O}_X$で稠密である．

そこで，$\mathrm{MA}(\kappa)$により，$\left\{ D_\alpha \right\}$-ジェネリックなフィルター$G \subseteq \mathbb{O}_X$を取る．先程の議論より$F_G = \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset$である．特に，$G \cap U_\alpha \neq \emptyset$より各$\alpha$について$\bigcap_p \bar{p} \subseteq \bar{p} \subseteq U_\alpha$となるような$p \in G$が存在する．よって， $$\bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \supseteq \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset$$

Proof. 証明は前回やったのでもうやらない．

Proof. 下図の通り：

Proof. $\kappa < \mathfrak{m} \rightarrow \kappa < \mathfrak{p}$を示そう．即ち，$\mathrm{MA}(\kappa)$を仮定し，$\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega$をSFIPを持つ濃度$\kappa$の族とした時，$\mathcal{E}$は擬共通部分$K$を持つことを示す．

$\mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{ p = \left\langle s_p, \mathcal{W}_p \right\rangle : s_p \in [\omega]^{<\omega} \wedge \mathcal{W}_p \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \right\}$と置く．気持ちとしては各$s_p$が$K$の下からの有限近似であり，$\mathcal{W}_p$は$s_p$の差を除いて$K$を含むことが保証された$\mathcal{E}$の元の一覧になっている．その気持ちを念頭において，$\mathbb{P}$上に次のように順序を定める： $$\begin{aligned} p \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \begin{cases} s_p \supseteq s_q & (s_p\text{ は }s_q\text{よりよい近似})\\ \mathcal{W}_p \supseteq \mathcal{W}_q & (\mathcal{W}_p\text{ は }\mathcal{W}_q\text{ より沢山保証})\\ \forall Z \in \mathcal{W}_q\, [s_p \setminus s_q \subseteq Z] & (p\text{ は }q\text{ の約束を破らない}) \end{cases} \end{aligned}$$ これにより，$\left\langle \mathbb{P}, \leq, \left\langle \emptyset, \emptyset \right\rangle \right\rangle$がforcing posetとなるのは明らか．$\mathrm{MA}(\kappa)$を使いたいので，$\mathbb{P}$がc.c.c.を満たすことを示さなくてはならない．ここで， $$\begin{aligned} s_p = s_q \longrightarrow s_p \mathrel{\|} s_q \qquad\qquad (*) \end{aligned}$$ が成立する．なぜならこの時，$r = \left\langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \mathcal{W}_q \right\rangle$とおけば明らかに$r \leq p, q$となるからである．特に各$s \in [\omega]^{<\omega}$は可算個しかないから，もし$A \subseteq \mathbb{P}$が非可算集合であったとすると，必ず$s_p = s_q$となる$p, q \in A$があり$s_p \mathrel{\|} s_q$となるので，$A$は反鎖ではない．よって$\mathbb{P}$はc.c.c.を満たす．

$G \subseteq \mathbb{P}$をフィルターとするとき，$K_G \mathrel{:=} \bigcup_p s_p$により$K_G \subseteq \omega$を定める．この時，$K_G$が$\mathcal{E}$の擬共通部分となるようにしたい．より具体的には，次の二条件を満たすようにしたい：

1. $|K_G| \geq \aleph_0$

2. $\forall Z \in \mathcal{E}\,\exists s \in [\omega]^{<\omega}\; [K_G \setminus s \subseteq Z]$

まず(1)を成立させるには，$G$を次の各集合と交わるように取ればよいことがわかる： $$D_n \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} : \;\middle|\; q| \geq n \:\right\}\;(n < \omega)$$ ここで，$\mathcal{E}$がSFIPを持つことから各$D_n$は稠密集合となる事がわかる．これを示すため，$p \in \mathbb{P}$を任意に取る．この時$\mathcal{W}_p$は$\mathcal{E}$の元からなる有限集合であり，$\mathcal{E}$がSFIPを持つことから$\bigcap \mathcal{W}_p$は無限集合となる．よって$t \in [\bigcap \mathcal{W}_p]^n$が取れ，$r = \left\langle s_p \cup t, \mathcal{W}_p \right\rangle$とおけば，$D_n \ni r \leq p$となる．よって$D_n$の全体は可算個しかないので，$G \cap D_n \neq \emptyset$ となるようにできる．

次に(2)を成り立たせたい．各$Z \in \mathcal{E}$に対し$E_Z \mathrel{:=} \left\{ q \in \mathbb{P} : Z \in \mathcal{W}_q \right\}$の形の集合を考えると，これは$\mathbb{P}$の稠密集合である．これは，$p \in \mathbb{P}$に対し$r = \left\langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \left\{ Z \right\} \right\rangle$とおけば$r \leq p$かつ$r \in E_Z$となることから明らかである．このような$E_Z$は$|\mathcal{E}| = \kappa$個しかなく，今$\mathrm{MA}(\kappa)$を仮定しているので，フィルター$G$を各$E_Z$と交わるように取ることが出来る．この時(2)が成立することは，次のようにしてわかる．適当な$Z \in \mathcal{E}$を取れば，$G \cap E_Z \neq \emptyset$より$Z \in \mathcal{W}_p$を満たすような$p \in G$が存在する．この時，任意の$q \in G$に対し$s_q \setminus s_p \subseteq Z$となることが示せれば十分である．何故ならこのとき$K_G \setminus s_p = \bigcup_q (s_q \setminus s_p) \subseteq Z$となるからである．$G$はフィルターなので，$r \leq p, q$となるような$r \in G$が存在する．特に順序の定義から$s_r \supseteq s_q$かつ$s_r \setminus s_p \subseteq Z \in \mathcal{W}_p$となっているので，$s_q \setminus s_p \subseteq Z$が云える．以上より$K_G$は$\mathcal{E}$の擬共通部分である．

Proof. 各$s \in [\omega]^{<\omega}$に対し，$C_s \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{P} : s_p = s \right\}$とおけば$\mathbb{P} = \bigcup_s C_s$である．特に，$p, q \in C_s$ならば$r \in C_s$の範囲で$r \leq p, q$となるものが取れる．よって$C_s$はフィルター基になっており，$\mathcal{F}_s = \mathop{\uparrow} C_s$とおけば$\mathcal{F}_s$はフィルターとなり，$\mathbb{P} = \bigcup_s C_s = \bigcup_s \mathcal{F}_s$となる．

Proof. $\mathbb{O}_X$ではcentered性と有限交叉性は同値であったので，centered集合から生成されるフィルターを考えれば$(2) \Leftrightarrow (3)$はOK．そこで$(1) \Leftrightarrow (3)$を示す．

$(\Rightarrow)$を示そう．$D = \left\{ d_n : n < \omega \right\} \subseteq X$を$X$の可算な稠密集合とする．この時$\mathcal{U}_n \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{O}_X : d_n \in p \right\}$とおけば，各$\mathcal{U}_n$はフィルターとなる．この時$D$の稠密性より空でない開集合は$d_i$のいずれかを元にもつので，$\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{U}_n$となる．

$(\Leftarrow)$を示す．フィルター$\mathcal{F}_n$により$\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{F}_n$と書けているとする．この時超フィルターの補題によって各フィルターを超フィルター$\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{U}_n$に拡張する．$X$はコンパクトなので各$\mathcal{U}_n$は必ず収束点を持ち，Hausdorff性よりその収束先は一意に来まる．そこで， $$D = \left\{ d_n = \lim \mathcal{U}_n : n < \omega \right\}$$ と置き，$D$が$X$の稠密集合であることを示す．$U \in \mathbb{O}_X$を任意にとれば，$X$はコンパクトHausdorff空間なので正則空間となり，$V \in \mathbb{O}_X$で$\bar{V} \subseteq U$を満たすものが取れる．すると仮定より$V \in \mathcal{U}_n$となるような$n < \omega$が存在する．今$\mathcal{U}_n$は$d_n$に収束するので，位相空間の一般論より$d_n \in \bar{V} \subseteq U$となる．よって$U \cap D \neq \emptyset$．