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Martinの公理と範疇定理

MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)は「任意のc.c.c. poset P\mathbb{P}に対しMAP(κ)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\kappa)」という主張だった.この「c.c.c.」というのは落とせない,というのが次の補題:

¬MAP(1)\neg \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\aleph_1)となるような non-c.c.c. poset P\mathbb{P}が存在する.

前回のゼミの際にFn(I,J)\mathrm{Fn}(I, J)がc.c.c.を持つこととI=J0I = \emptyset \vee |J| \leq \aleph_0 であることが同値なことを見た.そこで,I=ω,J=ω1I = \omega, J = \omega_1の場合を考えれば,P=Fn(ω,ω1)\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega_1)はc.c.c.を持たない.ここで,次の集合を考える: Dn:={pPundefinedndom(p)}(n<ω)Eα:={pPundefinedαrng(p)}(α<ω1)\begin{aligned} D_n \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; n \in \mathrm{dom}(p) \:\right\} & \;(n < \omega) & \quad E_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; \alpha \in \mathrm{rng}(p) \:\right\} & \; (\alpha < \omega_1) \end{aligned} pPp \in \mathbb{P}が有限であることから,各En,DnE_n, D_nP\mathbb{P}で稠密.そこでMAP(ω1)\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\omega_1)とすれば,{Dn,Eα}\left\{ D_n, E_\alpha \right\}-ジェネリックなフィルターGPG \subseteq \mathbb{P}が取れる.特に,fG=Gf_G = \bigcup GとおくとfG:ωontoω1f_G : \omega \xrightarrow{\text{onto}} \omega_1となる.これはω<ω1\omega < \omega_1に反する.

ここでのP\mathbb{P}はc.c.c.でないposetの一例に過ぎない.c.c.c.よりも弱い条件しか満たしていなくても,MAP(1)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\aleph_1)は成り立ちうる.例えば「c.c.c.」という条件を「proper」という条件に弱めたPFAという公理はZFCと無矛盾で,MA(1)\mathrm{MA}(\aleph_1)から独立な多くの命題を導くことが知られている.

まず初めに見るMAの応用は,Baireの範疇定理の一般化:

MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)を仮定する.XX:c.c.c.コンパクトHausdorff空間,XαXX_\alpha \subseteq X:閉疎集合(α<κ)(\alpha < \kappa)

α<κXαX\Longrightarrow \bigcup_{\alpha < \kappa} X_\alpha \neq X

XXはc.c.c.を満たすので,空でない開集合の成すposet OX\mathbb{O}_Xもc.c.c.を満たすことに注意する.

補集合を取れば,結局示すべき事は次と同値である: Uα:稠密開集合(α<κ)α<κUαU_\alpha : \text{稠密開集合}\, (\alpha < \kappa) \Rightarrow \bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \neq \emptyset GOXG \subseteq \mathbb{O}_Xをフィルターとすると,GGは有限交叉性を持つ.ここで,FG:=pGpˉF_G \mathrel{:=} \bigcap_{p \in G} \bar{p}とおけば,FGF_Gは空でない.もしFG=F_G = \emptysetだったとすると,pGpe=X\bigcup_{p \in G} p^e = XXXの開被覆である.よってXXのコンパクト性より,p0,,pnGp_0, \dots, p_n \in GがあってX=p0epneX = p_0^e \cup \dots \cup p_n^eと出来る.すると,p0pnp0ˉpnˉ=p_0 \cap \dots \cap p_n \subseteq \bar{p_0} \cap \dots \bar{p_n} = \emptysetとなり,piGp_i \in Gに反する.

ここで,Dα:={pOXundefinedpˉUα}(α<κ)D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{O}_X \;\middle|\; \bar{p} \subseteq U_\alpha \:\right\} \quad (\alpha < \kappa)と置くと,各DαD_\alphaは稠密である.それを示すため,pOXp \in \mathbb{O}_Xを取ろう.UαU_\alphaは稠密開集合なので,pUαOXp \cap U_\alpha \in \mathbb{O}_Xである.今,XXはコンパクトHausdorff空間なので特に正則空間となり,qˉpUα\bar{q} \subseteq p \cap U_\alphaとなるような空でない開集合qOXq \in \mathbb{O}_Xを取ることが出来る.この時取り方から明らかにqpq \leq pかつqDαq \in D_\alpha.よって各DαD_\alphaOX\mathbb{O}_Xで稠密である.

そこで,MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)により,{Dα}\left\{ D_\alpha \right\}-ジェネリックなフィルターGOXG \subseteq \mathbb{O}_Xを取る.先程の議論よりFG=pGpˉF_G = \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptysetである.特に,GUαG \cap U_\alpha \neq \emptysetより各α\alphaについてppˉpˉUα\bigcap_p \bar{p} \subseteq \bar{p} \subseteq U_\alphaとなるようなpGp \in Gが存在する.よって, α<κUαpGpˉ\bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \supseteq \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset

ジェネリックフィルターの補題よりκ=ω\kappa = \omegaの場合はc.c.c.性を落として,一般のコンパクトHausdorff空間について成り立つことになる.最初にも述べたように,これはBaireの範疇定理の拡張になっていて,ここでMA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)を使ってジェネリックフィルターを取っている部分が通常の証明で開集合のω\omega-列を取る所と対応している.実際にはこの形の命題はMA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)と同値である事が後の節でわかる.

この定理は,もしXXが孤立点を持つならMA(κ)MA(\kappa)など仮定しなくても自明に成立する(孤立点は一点で開集合になるので).これは,P\mathbb{P}アトムを持つ時にMAP(κ)\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\kappa)が自明に成立するのと似ている.

rPr \in \mathbb{P}P\mathbb{P}アトムdefp,qr[pq]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall p, q \leq r \, [p \mathrel{\|} q]

特に,Hausdorff空間の場合,rOXr\in \mathbb{O}_Xがアトムr=1\Leftrightarrow |r| = 1である.

  • rPr \in \mathbb{P}がアトムなら,κMAP(κ)\forall \kappa \, \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\kappa)

  • P\mathbb{P}がアトムを持たないなら,¬MAP(2P)\neg \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(2^{|\mathbb{P}|})

証明は前回やったのでもうやらない.

もしもP\mathbb{P}がアトムを持たないなら,任意のrPr \in \mathbb{P}について,それより下に少なくとも可算濃度の反鎖が存在することがわかる:

P\mathbb{P}がアトムを持たないrPAr[A0A は反鎖]\Rightarrow \forall r \in \mathbb{P} \exists A \subseteq \mathop{\downarrow} r \, [|A| \geq \aleph_0 \wedge A\ \text{は反鎖}]

下図の通り:

Diagram

Martinの公理と小さな基数

m\mathfrak{m}¬MA(κ)\neg \mathrm{MA}(\kappa)となる最小のκ\kappaとする.

今までの結果を纏めると,1mc\aleph_1 \leq \mathfrak{m} \leq \mathfrak{c}となるこれは第一節で議論した小さな基数たちの範囲と同じだが,特にm\mathfrak{m}は今まで議論した中で最小なことがわかる.この記号を使えばMAm=c\mathrm{MA} \Leftrightarrow \mathfrak{m} = \mathfrak{c}だから,MA\mathrm{MA}の下ではこれらの基数は全てc\mathfrak{c}と一致することになる.今回は特にmp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}を示す.

  • 集合族E\mathcal{E}強有限交叉性(Strong Finite Intersection Property; SFIP)を持つ

    defF[E]<ωF0\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \mathcal{F} \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \, |\bigcap \mathcal{F}| \geq \aleph_0

  • KKE[ω]ω\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega擬共通部分(pseudointersecion)である defK=0ZE[KZ]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} |K| = \aleph_0 \wedge \forall Z \in \mathcal{E} \,[ K \mathrel{\mathord{\subseteq}^*} Z]

  • p=\mathfrak{p} =SFIPを持つが擬共通部分を持たないような[ω]ω[\omega]^\omegaの部分集合の最小濃度

第一節で議論した髭文字系の小さな基数の中でp\mathfrak{p}は最小だった.以下ではmp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}を示す:

mp\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}

κ<mκ<p\kappa < \mathfrak{m} \rightarrow \kappa < \mathfrak{p}を示そう.即ち,MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)を仮定し,E[ω]ω\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omegaをSFIPを持つ濃度κ\kappaの族とした時,E\mathcal{E}は擬共通部分KKを持つことを示す.

P:={p=sp,Wp:sp[ω]<ωWp[E]<ω}\mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{ p = \langle s_p, \mathcal{W}_p \rangle : s_p \in [\omega]^{<\omega} \wedge \mathcal{W}_p \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \right\}と置く.気持ちとしては各sps_pKKの下からの有限近似であり,Wp\mathcal{W}_psps_pの差を除いてKKを含むことが保証されたE\mathcal{E}の元の一覧になっている.その気持ちを念頭において,P\mathbb{P}上に次のように順序を定める: pqdef{spsq(sp は sqよりよい近似)WpWq(Wp は Wq より沢山保証)ZWq[spsqZ](p は q の約束を破らない)\begin{aligned} p \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \begin{cases} s_p \supseteq s_q & (s_p\text{ は }s_q\text{よりよい近似})\\ \mathcal{W}_p \supseteq \mathcal{W}_q & (\mathcal{W}_p\text{ は }\mathcal{W}_q\text{ より沢山保証})\\ \forall Z \in \mathcal{W}_q\, [s_p \setminus s_q \subseteq Z] & (p\text{ は }q\text{ の約束を破らない}) \end{cases} \end{aligned} これにより,P,,,\langle \mathbb{P}, \leq, \langle \emptyset, \emptyset \rangle \rangleがforcing posetとなるのは明らか.MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)を使いたいので,P\mathbb{P}がc.c.c.を満たすことを示さなくてはならない.ここで, sp=sqspsq()\begin{aligned} s_p = s_q \longrightarrow s_p \mathrel{\|} s_q \qquad\qquad (*) \end{aligned} が成立する.なぜならこの時,r=sp,WpWqr = \langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \mathcal{W}_q \rangleとおけば明らかにrp,qr \leq p, qとなるからである.特に各s[ω]<ωs \in [\omega]^{<\omega}は可算個しかないから,もしAPA \subseteq \mathbb{P}が非可算集合であったとすると,必ずsp=sqs_p = s_qとなるp,qAp, q \in Aがありspsqs_p \mathrel{\|} s_qとなるので,AAは反鎖ではない.よってP\mathbb{P}はc.c.c.を満たす.

GPG \subseteq \mathbb{P}をフィルターとするとき,KG:=pspK_G \mathrel{:=} \bigcup_p s_pによりKGωK_G \subseteq \omegaを定める.この時,KGK_GE\mathcal{E}の擬共通部分となるようにしたい.より具体的には,次の二条件を満たすようにしたい:

  1. KG0|K_G| \geq \aleph_0

  2. ZEs[ω]<ω[KGsZ]\forall Z \in \mathcal{E}\,\exists s \in [\omega]^{<\omega}\; [K_G \setminus s \subseteq Z]

まず(1)を成立させるには,GGを次の各集合と交わるように取ればよいことがわかる: Dn:={qP:undefinedqn}(n<ω)D_n \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} : \;\middle|\; q| \geq n \:\right\}\;(n < \omega) ここで,E\mathcal{E}がSFIPを持つことから各DnD_nは稠密集合となる事がわかる.これを示すため,pPp \in \mathbb{P}を任意に取る.この時Wp\mathcal{W}_pE\mathcal{E}の元からなる有限集合であり,E\mathcal{E}がSFIPを持つことからWp\bigcap \mathcal{W}_pは無限集合となる.よってt[Wp]nt \in [\bigcap \mathcal{W}_p]^nが取れ,r=spt,Wpr = \langle s_p \cup t, \mathcal{W}_p \rangleとおけば,DnrpD_n \ni r \leq pとなる.よってDnD_nの全体は可算個しかないので,GDnG \cap D_n \neq \emptyset となるようにできる.

次に(2)を成り立たせたい.各ZEZ \in \mathcal{E}に対しEZ:={qP:ZWq}E_Z \mathrel{:=} \left\{ q \in \mathbb{P} : Z \in \mathcal{W}_q \right\}の形の集合を考えると,これはP\mathbb{P}の稠密集合である.これは,pPp \in \mathbb{P}に対しr=sp,Wp{Z}r = \langle s_p, \mathcal{W}_p \cup \left\{ Z \right\} \rangleとおけばrpr \leq pかつrEZr \in E_Zとなることから明らかである.このようなEZE_ZE=κ|\mathcal{E}| = \kappa個しかなく,今MA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)を仮定しているので,フィルターGGを各EZE_Zと交わるように取ることが出来る.この時(2)が成立することは,次のようにしてわかる.適当なZEZ \in \mathcal{E}を取れば,GEZG \cap E_Z \neq \emptysetよりZWpZ \in \mathcal{W}_pを満たすようなpGp \in Gが存在する.この時,任意のqGq \in Gに対しsqspZs_q \setminus s_p \subseteq Zとなることが示せれば十分である.何故ならこのときKGsp=q(sqsp)ZK_G \setminus s_p = \bigcup_q (s_q \setminus s_p) \subseteq Zとなるからである.GGはフィルターなので,rp,qr \leq p, qとなるようなrGr \in Gが存在する.特に順序の定義からsrsqs_r \supseteq s_qかつsrspZWps_r \setminus s_p \subseteq Z \in \mathcal{W}_pとなっているので,sqspZs_q \setminus s_p \subseteq Zが云える.以上よりKGK_GE\mathcal{E}の擬共通部分である.

上の議論では ()(\star) の条件が本質的な役割を果している.MA\mathrm{MA}を用いた議論ではしばしばこれに類似の論法が使われるので,それをちょっと詳しく見てみよう:

  • CPC \subseteq \mathbb{P}centered defp0,,pnCqPi[qpi]\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall p_0, \dots, p_n \in C\, \exists q \in \mathbb{P}\, \forall i\, [q \leq p_i]

  • P\mathbb{P}σ\sigma-centereddefP\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \mathbb{P}は可算個のcentered部分集合の和である.

CPC \subseteq \mathbb{P}がcenteredであるというのは,有限交叉性の一般化になっている.例えば,位相空間XXに対しOX\mathbb{O}_Xを考えると,COXC \subseteq \mathbb{O}_XがcenteredであることとCCが有限交叉的であることは同値である.

実際,上の補題が実際に使っているのはMA(κ)\mathrm{MA}(\kappa)σ\sigma-centeredな集合に制限したものである.より強く,次が成り立つ:

補題 5で用いたposetは可算個のフィルターの和で表せる.特にσ\sigma-centeredである.

s[ω]<ωs \in [\omega]^{<\omega}に対し,Cs:={pP:sp=s}C_s \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{P} : s_p = s \right\}とおけばP=sCs\mathbb{P} = \bigcup_s C_sである.特に,p,qCsp, q \in C_sならばrCsr \in C_sの範囲でrp,qr \leq p, qとなるものが取れる.よってCsC_sはフィルター基になっており,Fs=Cs\mathcal{F}_s = \mathop{\uparrow} C_sとおけばFs\mathcal{F}_sはフィルターとなり,P=sCs=sFs\mathbb{P} = \bigcup_s C_s = \bigcup_s \mathcal{F}_sとなる.

上の証明では,各CsC_sを拡張する際に各pip_iの下界が再びCsC_sに属することを使っているが,一般のσ\sigma-centered集合でそうなっている訳ではない.実用上殆んどの場合はσ\sigma-centered なposetはフィルターの可算和で書けるが,そうでないような例も知られている. また,これも後で見ることだが,κ<p\kappa < \mathfrak{p}であることと,MAP(κ)\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\kappa)σ\sigma-centeredな物について成立することは同値となる.

centeredな集合の二元は両立してしまうため,反鎖は各centered集合の元を高々一つしか持たないことがわかる.これは,正しく先程の証明の論法を一般化したものになっている:

P\mathbb{P}σ\sigma-centered P\Rightarrow \mathbb{P}はc.c.c.を持つ

一般に逆は不成立である:

XXをコンパクトHausdorff空間とすると,次は同値:

  1. XXは可分

  2. OX\mathbb{O}_Xσ\sigma-centered

  3. OX\mathbb{O}_Xはフィルターの可算和

特に,κ>c,X=κ2\kappa > \mathfrak{c}, X = {}^{\kappa} {2}とすると,OX\mathbb{O}_Xはc.c.c.だがσ\sigma-centeredでない順序集合の例になっている.

OX\mathbb{O}_Xではcentered性と有限交叉性は同値であったので,centered集合から生成されるフィルターを考えれば(2)(3)(2) \Leftrightarrow (3)はOK.そこで(1)(3)(1) \Leftrightarrow (3)を示す.

()(\Rightarrow)を示そう.D={dn:n<ω}XD = \left\{ d_n : n < \omega \right\} \subseteq XXXの可算な稠密集合とする.この時Un:={pOX:dnp}\mathcal{U}_n \mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbb{O}_X : d_n \in p \right\}とおけば,各Un\mathcal{U}_nはフィルターとなる.この時DDの稠密性より空でない開集合はdid_iのいずれかを元にもつので,OX=nUn\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{U}_nとなる.

()(\Leftarrow)を示す.フィルターFn\mathcal{F}_nによりOX=nFn\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{F}_nと書けているとする.この時超フィルターの補題によって各フィルターを超フィルターFnUn\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{U}_nに拡張する.XXはコンパクトなので各Un\mathcal{U}_nは必ず収束点を持ち,Hausdorff性よりその収束先は一意に来まる.そこで, D={dn=limUn:n<ω}D = \left\{ d_n = \lim \mathcal{U}_n : n < \omega \right\} と置き,DDXXの稠密集合であることを示す.UOXU \in \mathbb{O}_Xを任意にとれば,XXはコンパクトHausdorff空間なので正則空間となり,VOXV \in \mathbb{O}_XVˉU\bar{V} \subseteq Uを満たすものが取れる.すると仮定よりVUnV \in \mathcal{U}_nとなるようなn<ωn < \omegaが存在する.今Un\mathcal{U}_ndnd_nに収束するので,位相空間の一般論よりdnVˉUd_n \in \bar{V} \subseteq Uとなる.よってUDU \cap D \neq \emptyset

κ>c\kappa > \mathfrak{c}の時X=κ2X = {}^{\kappa} {2}σ\sigma-centeredでないc.c.c. posetの例になっていることは次のようにしてわかる.まず22は可分なので,教科書の系III.2.10よりその直積κ2{}^{\kappa} {2}はc.c.c.となり,OX\mathbb{O}_{X}もc.c.c.となる.ところで,教科書の補題III.2.11によれば,XiX_iが二点以上持つHausdorff空間でI>c|I| > \mathfrak{c}の時,iIXi\prod_{i \in I} X_iは可分ではない.よってκ2{}^{\kappa} {2}は可分ではない.Tychonoffの定理よりXXはコンパクトであり,Hausdorff性も明らか.よって上の結果より,OX\mathbb{O}_Xσ\sigma-centeredではない.

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