強い選出原理としての強制公理 konn-san.com

Krullの定理の証明. $(R, {+}, {\cdot}, 0, 1)$を単位的可換環とし，$\mathfrak{I}$を$R$の真のイデアル全体とする． $(0) \in \mathfrak{I}$なので$\mathfrak{I}$は空ではないことに注意する． Zornの補題を使いたいので，$(\mathfrak{I}, {\subseteq})$が帰納的順序集合となることを示そう． 実際，$\left\langle\: I_\lambda \; \middle|\; \lambda \in \Lambda \:\right\rangle$を$\mathfrak{I}$の全順序部分集合とするとき，$I^* \mathrel{:=} \bigcup_\lambda I_\lambda$は$R$の真のイデアルとなっている． $1 \notin I^*$であるのは$1 \notin I_\lambda$が任意の$\lambda \in \Lambda$について成り立つことから明らか． また，$a, b \in I^*$とすると，$a \in I_{\lambda_a}$, $b \in I_{\lambda_b}$となる$\lambda_a, \lambda_b \in \Lambda$が取れるが，全順序性より$I_{\lambda_a} \subseteq I_{\lambda_b}$として一般性を失わない． すると，$I_{\lambda_b}$がイデアルであることから$a - b \in I_{\lambda_b} \subseteq I^*$となるのである． $R I^* \subseteq I^*$も明らか．よって$I^* \in \mathfrak{I}$であるから，$\mathfrak{I}$は帰納的である． よって$\mathfrak{I}$は$\subseteq$-極大元$J \in \mathfrak{I}$を持つが，これは$J$が真の極大イデアルであるということである．

Proof. $\mathbb{S}$を次で定める： $$\begin{gathered} \mathbb{S} \mathrel{:=} \left\{\: \sigma : X\text{の有限列} \;\middle|\; \sigma_n \mathrel{R} \sigma_{n+1} \;(\forall n < \mathop{\mathrm{length}}(\sigma)), \sigma_0 = x_0 \:\right\}\\ \end{gathered}$$ $X$が$R$-極大元を持たないことから，$(\mathbb{S}, \subsetneq)$が極大元を持たないことは明らか． そこで$\mathbb{S}$の無限昇鎖$\left\langle\: \sigma^n \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangle$を取る． このとき$\sigma \mathrel{:=} \bigcup_n \sigma^n$とおけば，$\sigma_n \mathrel{R} \sigma_{n+1}$であり，$\sigma_0 = x_0$となっている．

Proof. $(X, d)$を完備距離空間とし，$\left\langle\: D_n \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$を稠密開集合の可算列とする． $X$は距離空間なので，任意の$x \in X$と$r \in \mathbb{Q}$に対して，$B(x; r) \cap \bigcap_n X_n \neq \emptyset$を示せればよい． 適宜$x, r$を取り直せば，以下$B(x; r) \subseteq D_0$であるとして一般性を失わない． そこで，$(x_n, r_n)_{n \in \mathbb{N}}$を次を満たすように取る：

1. $x_0 \mathrel{:=} x$, $r_0 \mathrel{:=} r, r_{n+1}< r_n/2$,

2. $d(x_n, x_{n+1}) < r_n/4$,

3. $B(x_n, r_n) \subseteq D_n$.

こうした$\left\langle\: x_n \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$は明らかにCauchy列であり，$d(x^*, x_n) \leq r_n / 2$を満たすので任意の$n$について$x^* \in B(x_n; r_n) D_n$であり更に$x^* \in B(x; r) = B(x_0; r_0)$も言える． よって$x^* \in \bigcap_n D_n \cap B(x; r)$を得る．

後は実際に上の3条件を満たす$(x_n, r_n)_n$が取れることを見ればよい． 普通にやろうとすると，まず$n = 0$の場合を満たす$x_0, r_0$を取るのは$D_0$の稠密開性から自明で，次に$(x_n, r_n)$まで取れたとすると……という形で帰納法により議論を進める．

これは本質的に$\mathrm{DC}$を使った議論になっている． これを見るため，$\mathbb{P}$とその上の関係$\lhd$を次で定める： $$\begin{gathered} \mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{\: (n, z, q) \in \mathbb{N} \times X \times \mathbb{Q} \;\middle|\; B(z, q) \subseteq D_{n} \:\right\},\\ (n, z, q) \lhd (n', z', q') \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} n' = n + 1 \land q' < \frac{q}{2} \land d(z, z') < \frac{q}{4}. \end{gathered}$$ このとき$(0, x, r) \in \mathbb{P}$なので，$\mathbb{P}$は空ではない． 極大元を持たないことを示すため，適当な$(n, z, q) \in \mathbb{P}$を取り，$(n, z, q) \lhd (n+1, z', q')$となる$(n', q')$を探そう． このとき$D_{n+1}$の稠密開性より$U \mathrel{:=} B(z, q/4) \cap D_{n+1}$は空でない開集合である． そこで適当な$z' \in U$を取る． $U$は開なので，十分小さな$q' < q/2$で$B(z', q') \subseteq U \subseteq D_{n+1}$を満たすものが取れる． すると，取り方から明らかに$(n, z, q) \lhd (n', z', q')$となる．

よって$\mathbb{P}$の$\lhd$-無限昇鎖$\left\langle\: x_n, r_n \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$で$(0, x, r)$から始まるものが取れ，これこそ求めるものである．

Proof.

1. $(\mathrm{DC} \implies \mathrm{FA}_{\aleph_0})$： $(\mathbb{P}, \leq)$を任意の擬順序とし，$\mathcal{D} = \left\{\: D_n \subseteq \mathbb{P} \;\middle|\; n < \omega \:\right\}$を$\mathbb{P}$の稠密集合の族とする． 以下を満たすような$\left\langle\: p_n \in \mathbb{P} \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$を取ればよい： $$p_0 \mathrel{:=} 1_{\mathbb{P}},\; p_n \geq p_{n+1} \in D_n.$$ これが取れれば，$G \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} \;\middle|\; \exists n \: q \geq p_n \:\right\}$が求めるものとなる． 実際，定義から$G$は上に閉じており，$q, r \in G$なら$p_n \leq q$かつ$p_m \leq r$となる$n, m$が取れる． このとき$n \leq m$として一般性を失わず，$p_n \leq p_m$より$p_n \leq q, r$を得る． 従って$G$はフィルターを成す． 更に$p_{n+1} \in D_n \cap G$より$\mathcal{D}$-生成的にもなっている．

   こうした$\left\langle\: p_n \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$は$\mathrm{DC}$を認めれば簡単に取れる． 実際，$p_n$が出来ていれば，$D_n$の稠密性から$p_{n+1} \leq p_n$となる$p_{n+1} \in D_n$は常に存在する． これに$\mathrm{DC}$を適用すれば，求める可算列$\left\langle\: p_n \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \:\right\rangle$が取れるのは，上のBaireの範疇定理の証明と同様である．

   $(\mathrm{FA}_{\aleph_0} \implies \mathrm{DC})$：$X$を$\lhd$-極大元を持たない集合とする． $(\mathbb{P}, {\leq})$を次で定める： $$\begin{aligned} \sigma \in \mathbb{P} &\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}\exists n \in N \begin{cases} \sigma : n \to X,\\ \forall i < n - 1\: \left[\sigma(i) \lhd \sigma(i+1)\right], \end{cases}\\ \sigma \leq \tau &\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \tau \supseteq \sigma. \end{aligned}$$ このとき，各$n \in \mathbb{N}$に対して，$D_n \mathrel{:=} \left\{\: \sigma \in \mathbb{P} \;\middle|\; \mathop{\mathrm{length}}(\sigma) > n \:\right\}$は$\mathbb{P}$で稠密である． 実際，$\lhd$が極大元を持たないことから，任意の$\sigma \in \mathbb{P}$について，$\sigma$の長さが$n$よりも小さければ，$\sigma$の最後の元よりも$\lhd$の意味で大きな元を付け足す作業を任意有限回繰り返せば，$n$よりも長さが$n$より大きな有限列に拡張出来る．

   いま$\mathrm{FA}_{\aleph_0}(\mathbb{P})$を使えば，フィルター$G$で任意の$n$に対し$D_n \cap G \neq \emptyset$を満たすものが取れる． そこで$f \mathrel{:=} \bigcup G$とおけば，$G$がフィルターであることから$f$は関数であり，特に$D_n \cap G \neq \emptyset$より任意の$n \in \mathbb{N}$について$n \in \mathrm{dom}(f)$となっている． よって$f: \mathbb{N} \to X$であり，$\mathbb{P}$の定義から$f(n) \lhd f(n+1)$が任意の$n$について言える． これが求めるものであった．

2. $(\mathrm{Zorn} \implies \forall \kappa\: \mathrm{FA}_\kappa(\text{半分離}\mathrm{Zorn}))$： $\mathrm{Zorn}$の補題を仮定し，Zorn的順序集合$(\mathbb{P}, {\leq})$を固定する． この時，$\mathbb{P}$は$\leq$-極小元$p \in \mathbb{P}$を持つ． ここで$G \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} \;\middle|\; q \geq p \:\right\}$とおく． $G$がフィルターであることは明らか． あとは$G$が$\mathbb{P}$の任意の稠密集合$D$と交わる事を示せばよいが，$D$の稠密性により$d \leq p$となるものを取ると，$p$の極小性から$d = p$となり$p \in D \cap G$となる． よって$G$は任意の稠密集合と交わるので，$\mathrm{FA}_\kappa(\mathbb{P})$が任意の$\kappa$について成り立つ．

   $(\forall \kappa\: \mathrm{FA}_\kappa(\text{半分離}\mathrm{Zorn}) \implies \mathrm{Zorn})$： $(\mathbb{P}, \leq)$をZorn的順序集合として，$\mathbb{P}$が$\leq$-極小元を持つことを示せばよい． そこで，$\mathbb{P}$が極小元を持たなかったとして矛盾を導く（背理法）． $\mathrm{FA}_{2^{\lvert\mathbb{P}\rvert}}(\mathbb{P})$により，$\mathbb{P}$の任意の稠密集合と交わるフィルター$G \subseteq \mathbb{P}$が取れる． このとき，$D \mathrel{:=} \mathbb{P} \setminus G$が稠密集合になってしまうことが示せれば，$G \cap D = \emptyset$なので矛盾が言える． そこで任意に$p \in \mathbb{P}$を取れば，仮定より極小元ではなく，半分離性より$q, r \leq p$で$q \perp r$となるものが取れる． $G$はフィルターなので，$q, r$の少なくとも一方は$G$に属さない． よって$D$は稠密となり，$G$は生成的では有り得ない．

Proof of Restricted Hahn–Banach Theorem. $\mathbb{P}$とその上の順序$\leq$を次で定める： $$\begin{gathered} \mathbb{P} \mathrel{:=} \left\{\: g : W' \to \mathbb{R} \;\middle|\; W \subseteq W' \subseteq V, g \supseteq f, g \leq_{W'} p \:\right\}\\ g \leq h \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} g \supseteq h. \end{gathered}$$ $V$の可算な稠密集合を$\left\langle\: \mathbf{e}_n \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangle$とおく． すると，各$D_n \mathrel{:=} \left\{\: g \in \mathbb{P} \;\middle|\; d_n \in \mathrm{dom}(g) \:\right\}$は$\mathbb{P}$で稠密である． 実際，$\mathbb{e}_n \notin \mathrm{dom}(g) \mathrel{=:} W_g$となるような$g \in \mathbb{P}$があれば，上の補題から$W' \mathrel{:=} W + \mathbb{R}\mathbf{e}_n$上定義された$h \supseteq g$で$h \upharpoonright W = g$かつ$h \leq_{W'} p$を満たすものが取れる． よって$h \leq_{\mathbb{P}} g$かつ$h \in D_n$となる．

そこで$\mathrm{FA}_{\aleph_0}(\mathbb{P})$により，フィルター$G \subseteq \mathbb{P}$で任意の$n < \omega$に対し$G \cap D_n \neq \emptyset$となるものを取る． $f' \mathrel{:=} \bigcup G$, $U \mathrel{:=} \mathrm{dom}(f')$とおくと，$W \subseteq U \subseteq V$であり，$\bar{f}$は$U$上で定義された線型汎関数となる． 特に$G \cap D_n \neq \emptyset$より$\mathbf{e}_n \in U$となっているから，$f'$は$V$の稠密部分空間上で定義された線型汎関数である．

いま，稠密性より任意の$\mathbf{x} \in V$はある$\left\langle\: \mathbf{x}_n \in U \; \middle|\; n < \omega \:\right\rangle$によって$\mathbf{x} = \lim_{n \to \infty} \mathbf{x}_n$の形で書けている． そこで$\bar{f}(\mathbf{x}) \mathrel{:=} \lim_n f'(\mathbf{x}_n)$により$\bar{f}: V \to \mathbb{R}$を定める． まず個別の$\vec{\mathbf{x}}$について$\lim_n f'(\mathbf{x}_n)$は収束列である． 実際，$p$が原点で連続なので， $$f'(\mathbf{x}_n) - f'(\mathbf{x}_m) = f'(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}_m) \leq p(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}_m) \to 0\quad (\text{as } n, m \to \infty).$$ 次いでwell-defined性を確かめる．$\mathbf{x}_n \to \mathbf{x}$かつ$\mathbf{x}'_n \to \mathbf{x}$なる二つの列を取れば，再び$p$の原点での連続性から $$f'(\mathbf{x}_n) - f'(\mathbf{x}'_n) \leq p(\mathbf{x}_n - \mathbf{x}) + p(\mathbf{x} - \mathbf{x}'_n) \to 0 \quad (\text{as } n, m \to \infty).$$ 線型性と$p$で上から押さえられる事は明らか．

Proof. $\mathbb{C} \mathrel{:=} {}^{<\omega} {2} \mathrel{:=} (0, 1\text{の無限列の全体})$とする． $\neg \mathrm{FA}_{2^{\aleph_0}}(\mathbb{C})$を示す． $|\mathbb{C}| = \aleph_0$なので，どんな順序を入れようが自明にc.c.c.を満たす． この時$\mathbb{C}$に逆向きの包含関係で順序を入れたものを考えると，次は$\mathbb{C}$で稠密となる： $$\begin{gathered} D_n \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{C} \;\middle|\; \mathrm{dom}(p) > n \:\right\} \;(n \in \mathbb{N}),\\ E_x \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{C} \;\middle|\; x \upharpoonright \mathrm{dom}(p) \neq p \:\right\}\; (x \in \mathbb{R}). \end{gathered}$$ 但し，ここでは実数を$2 = \left\{ 0, 1 \right\}$の無限列と同一視している． $D_n$は「$n$桁目まで伸びること」，$E_x$は「$x \in \mathbb{R}$とはどこかの桁で異なっていること」を意味する． すると，$\left\{\: D_n \;\middle|\; n < \omega \:\right\} \cup \left\{\: E_x \;\middle|\; x \in \mathbb{R} \:\right\}$の全体は高々濃度$2^{\aleph_0}$なので，$\mathrm{FA}_{2^{\aleph_0}}(\mathbb{C})$より全ての$D_n$, $E_x$と交わるフィルター$G \subseteq \mathbb{C}$が取れる． このとき$x_G \mathrel{:=} \bigcup G$とおけば$x_G: \omega \to 2$である． よって生成性から$G \cap E_{x_G} \neq \emptyset$を得，$x_G \upharpoonright \mathrm{dom}(p) \neq p$となる$p \in G$が取れるが，定義より$p \subseteq x_G$なのでこれは$x_G \neq x_G$を意味し矛盾．

Proof. $\mathbb{P} \mathrel{:=} \mathrm{Col}(\omega, \omega_1) \mathrel{:=} ({}^{<\omega} {\omega_1}, {\supseteq})$とする． 即ち，$\mathbb{P}$は$\omega_1$の元の有限列に逆向きの包含関係で順序を入れた集合である． このとき，$n < \omega$および$\alpha < \omega_1$に対して次は$\mathbb{P}$で稠密である： $$D_n \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; n \in \mathrm{dom}(p) \:\right\}, \quad E_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; \alpha \in \mathop{\mathrm{ran}}(p) \:\right\}.$$ 実際，$p \in \mathbb{P}$は有限列なので，長さが$n$以下だったら適当に延ばしてやればいいし，像に$\alpha < \omega_1$が入っていなかったら後ろに$\alpha$を付け足してやればいいだけだ． ここでもし$\mathrm{FA}_{\aleph_1}(\mathbb{P})$が成り立つなら，フィルター$G \subseteq \mathbb{P}$で全ての$D_n$および$E_\alpha$と交わるものが取れる． $f \mathrel{:=} \bigcup G$と置けば$G \cap D_n \neq \emptyset$より$f: \omega \to \omega_1$である． 更に，各$\alpha < \omega_1$について$G \cap E_\alpha \neq \emptyset$となるから，任意の$\alpha < \omega_1$について$f(n) = \alpha$となる$n < \omega$が取れる． よって$f: \omega \to \omega_1$は全射となる．しかし$\omega_1$は定義上$\omega$から全射が存在しない最小の順序数なのでこれは矛盾．

$\mathbb{P}$がc.c.c.を満たさないことは，例えば$\left\{\: \left\langle \alpha \right\rangle \;\middle|\; \alpha < \omega_1 \:\right\}$は互いに両立しない濃度$\aleph_1$の集合になっている事から明らか．

Proof. $X$に関する後半の仮定は，空でない開集合全体の族$\mathcal{O}_X$に包含関係で順序を入れた擬順序がc.c.c.を持つという条件と同値である事に注意する． $\left\langle\: U_\alpha \subseteq X \; \middle|\; \alpha < \kappa \:\right\rangle$を$X$の稠密開集合の列とする． このとき，$D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: O \in \mathcal{O}_X \;\middle|\; \bar{O} \subseteq U_\alpha \:\right\}$は$\mathcal{O}_X$で稠密となる（ここで$\bar{O}$は$O$の位相的な閉包）． 実際，適当に空でない開集合$O \in \mathcal{O}_X$を取れば，各$U_\alpha$の稠密開性より$\emptyset \neq O' \mathrel{:=} O \cap U_\alpha \subseteq O$． いまコンパクトHausdorff空間は正則空間なので，$O'$を適宜取り直せば$\bar{O}' \subseteq U_\alpha$であるとしてよく，よって各$D_\alpha$たちは稠密となる．

そこで，$\mathrm{MA}_\kappa(\mathcal{O}_X)$により各$D_\alpha$たちと交わるフィルター$G \subseteq \mathcal{O}_X$を取る． 特に$G$は有限交叉性を持つ開集合の族なので，コンパクト性の特徴付けから$G$は集積点$x \in \bigcap \bar{G}$を持つ． $G \cap D_\alpha \neq \emptyset$より任意の$\alpha < \kappa$に対し$x \in U_\alpha$が成り立つので，望み通り$\bigcap_\alpha U_\alpha \neq \emptyset$を得る．

Proof. $(\mathbb{P}, {\leq})$および$D_\alpha \subseteq \mathbb{P}\; (\alpha < \kappa)$が$\mathrm{MA}_\kappa(\mathbb{P})$の反例となっているとする． このとき，$\mathbb{P}$に下に閉じた集合を開集合とする位相を入れる． 即ち$U \subseteq \mathbb{P}$が開$\iff$任意の$p \in U, q \leq p$について$q \in U$とする． 各$\alpha$につき$U_\alpha \mathrel{:=} {\downarrow}D_\alpha \mathrel{:=} \left\{\: q \in \mathbb{P} \;\middle|\; \exists p \in D_\alpha \: q \leq p \:\right\}$と定めれば，開集合の定義から各$U_\alpha$は位相的な意味でも稠密開集合になっている． ここでもし$q \in \bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha$となるような$q$が取れれば，$G \mathrel{:=} \left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; q \leq p \:\right\}$は$\mathbb{P}$のフィルターとなり，更に任意の$D_\alpha$と交わる． これは$D_\alpha$たちの取り方に反する．