可算推移的モデルの存在について konn-san.com

典型的な誤解とそれが誤解である手短な説明

「$\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZF})$を仮定しているのだから集合モデルが存在するので，Löwenheim-Skolemの定理で可算な初等部分構造を取ってMostwski崩壊で$(M, \in)$の形にすればよい」というのがよくある誤解です．

具体的にどの部分が誤解なのかというと，「Mostwski崩壊で」の所が間違っています．Mostwski崩壊の主張をよく思い出してみましょう：

$\mathop{\mathrm{Con}}(ZF)$から存在する可算モデルを$(M, E)$としましょう．$=$は論理記号だと思ってしまえば，外延性の公理から$(M, E)$が外延的であることは良いでしょう．基礎の公理（正則性の公理）が成り立つから$E$は$M$上整礎なので，条件が成立して……と進めたくなりますが，実はここが間違っています．基礎の公理が$(M, E)$で成り立つ，ということは次の論理式が成り立つということです：

$$\forall A \in M\, [\exists x \in M\,(x \mathrel{E} A) \rightarrow \exists x \mathrel{E} A \, \forall y \mathrel{E} A\, (y \not\mathrel{E} x)]$$

対して，$(M, E)$が整礎構造である，というのは， $$\forall A \subseteq M\, [\exists x \in M\,(x \in A) \rightarrow \exists x \in A \, \forall y \in A\, (y \not\mathrel{E} x)]$$ ということでした．これを見比べてみれば，Mostwski崩壊定理が求めているのはいわば「$(M, E)$が$\in$-整礎である」という条件であるのに対し，「$(M, E)$が基礎の公理を満たす」というのは「$(M, E)$が$E$-整礎である」ことを主張していることになります²．したがって，完全性定理とLöwenheim-Skolemの定理により得られた可算モデルにMostwski崩壊定理を適用することは出来ない訳です．

真に強いことの証明

以上の議論により，Mostwski崩壊による常套手段を$\mathrm{ZFC}$全体のモデルに適用してc.t.m.を得ることは出来ないということがわかりました．

しかし，それでも他の方法で取れる可能性はあるのではないか？と云う疑問が湧いてきます．そこで，以下では，c.t.m.の存在が$\mathop{\mathrm{Con}}(ZF)$よりも強いことを示します． 以下の議論については，くるるさん（@kururu_goedel）から本質的な示唆³を頂きました．ありがとうございます．

そこで，$\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) \rightarrow \exists \text{c.t.m.}$を仮定して矛盾を導きましょう．そもそも$\mathrm{ZFC} + \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC})$が矛盾する場合はつぶれてしまって考える意味がないので，$\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC} + \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}))$としましょう．するとGödelの第二不完全性定理および完全性定理から，$M \models \mathrm{ZFC} + \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) + \neg \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC} + \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}))$を満たすモデル$M$が存在します．今，$\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) \rightarrow \exists \text{c.t.m.}$を仮定しているので，$M$の中で$\mathrm{ZFC}$の可算推移的モデル$N \subseteq M$が取れます．ここで，「可算」「推移的」「$\subseteq$」はいずれも$M$をユニヴァースと見た時のものであることに注意しましょう．とはいえ，これ以後$M$の外に出ることはないので，$M$をユニヴァースだと思ってしまって，以下$\in$は$M$における$\epsilon$-関係であるとして議論を進めることにします．

すると，$N \models \mathrm{ZFC}$かつ$\neg \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC} + \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}))$より$N \models \neg \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC})$となります．すると，$\mathrm{ZFC}$の有限個の公理$\varphi_1, \dots, \varphi_n$があってそこから矛盾が出ます：

$$N \models \neg \mathop{\mathrm{Con}}(\varphi_1 \wedge \dots \wedge \varphi_n)$$

この時，「論理式」「有限」「$\mathrm{ZFC}$の公理」「矛盾」の概念はそれぞれ推移的モデルについて絶対なので⁴，外側の$M$でも同じことが成立します：

$$M \models \neg \mathop{\mathrm{Con}}(\varphi_1 \wedge \dots \wedge \varphi_n)$$

しかし，他方で$M \models \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC})$でしたから，当然$M \models \mathop{\mathrm{Con}}(\varphi_1 \wedge \dots \wedge \varphi_n)$でなくてはなりません．これは矛盾です．