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Martin の公理と範疇定理

\(\mathrm{MA}(\kappa)\) は「任意の c.c.c. poset \(\mathbb{P}\) に対し \(\mathrm{MA}_\mathbb{P}(\kappa)\)」という主張だった.この「c.c.c.」というのは落とせない,というのが次の補題:

\(\neg \mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\aleph_1)\) となるような non-c.c.c. poset \(\mathbb{P}\) が存在する.

前回のゼミの際に \(\mathrm{Fn}(I, J)\) が c.c.c. を持つことと \(I = \emptyset \vee |J| \leq \aleph_0\) であることが同値なことを見た.そこで,\(I = \omega, J = \omega_1\) の場合を考えれば,\(\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega_1)\) は c.c.c. を持たない.ここで,次の集合を考える: \[\begin{aligned} D_n \defeq \Set{ p \in \mathbb{P} }{ n \in \dom(p)} & \;(n < \omega) & \quad E_\alpha \defeq \Set{ p \in \mathbb{P} }{ \alpha \in \rng(p)} & \; (\alpha < \omega_1) \end{aligned}\] \(p \in \mathbb{P}\) が有限であることから,各 \(E_n, D_n\)\(\mathbb{P}\) で稠密.そこで \(\mathrm{MA}_{\mathbb{P}}(\omega_1)\) とすれば,\(\set{D_n, E_\alpha}\)- ジェネリックなフィルター \(G \subseteq \mathbb{P}\) が取れる.特に,\(f_G = \bigcup G\) とおくと \(f_G : \omega \xrightarrow{\text{onto}} \omega_1\) となる.これは \(\omega < \omega_1\) に反する.{}

ここでの \(\mathbb{P}\) は c.c.c. でない poset の一例に過ぎない.c.c.c. よりも弱い条件しか満たしていなくても,\(\MA_\mathbb{P}(\aleph_1)\) は成り立ちうる.例えば「c.c.c.」という条件を「proper」という条件に弱めた PFA という公理は ZFC と無矛盾で,\(\MA(\aleph_1)\) から独立な多くの命題を導くことが知られている.

まず初めに見る MA の応用は,Baire の範疇定理の一般化:

\(\MA(\kappa)\) を仮定する.\(X\):c.c.c. コンパクト Hausdorff 空間,\(X_\alpha \subseteq X\):閉疎集合 \((\alpha < \kappa)\)

\[\Longrightarrow \bigcup_{\alpha < \kappa} X_\alpha \neq X\]

\(X\) は c.c.c. を満たすので,空でない開集合の成す poset \(\mathbb{O}_X\) も c.c.c. を満たすことに注意する.

補集合を取れば,結局示すべき事は次と同値である: \[U_\alpha : \text{稠密開集合}\, (\alpha < \kappa) \Rightarrow \bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \neq \emptyset\] \(G \subseteq \mathbb{O}_X\) をフィルターとすると,\(G\) は有限交叉性を持つ.ここで,\(F_G \defeq \bigcap_{p \in G} \bar{p}\) とおけば,\(F_G\) は空でない.もし \(F_G = \emptyset\) だったとすると,\(\bigcup_{p \in G} p^e = X\)\(X\) の開被覆である.よって \(X\) のコンパクト性より,\(p_0, \dots, p_n \in G\) があって \(X = p_0^e \cup \dots \cup p_n^e\) と出来る.すると,\(p_0 \cap \dots \cap p_n \subseteq \bar{p_0} \cap \dots \bar{p_n} = \emptyset\) となり,\(p_i \in G\) に反する.

ここで,\(D_\alpha \defeq \Set{ p \in \mathbb{O}_X }{ \bar{p} \subseteq U_\alpha } \quad (\alpha < \kappa)\) と置くと,各 \(D_\alpha\) は稠密である.それを示すため,\(p \in \mathbb{O}_X\) を取ろう.\(U_\alpha\) は稠密開集合なので,\(p \cap U_\alpha \in \mathbb{O}_X\) である.今,\(X\) はコンパクト Hausdorff 空間なので特に正則空間となり,\(\bar{q} \subseteq p \cap U_\alpha\) となるような空でない開集合 \(q \in \mathbb{O}_X\) を取ることが出来る.この時取り方から明らかに \(q \leq p\) かつ \(q \in D_\alpha\).よって各 \(D_\alpha\)\(\mathbb{O}_X\) で稠密である.

そこで,\(\MA(\kappa)\) により,\(\set{D_\alpha}\)- ジェネリックなフィルター \(G \subseteq \mathbb{O}_X\) を取る.先程の議論より \(F_G = \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset\) である.特に,\(G \cap U_\alpha \neq \emptyset\) より各 \(\alpha\) について \(\bigcap_p \bar{p} \subseteq \bar{p} \subseteq U_\alpha\) となるような \(p \in G\) が存在する.よって, \[\bigcap_{\alpha < \kappa} U_\alpha \supseteq \bigcap_{p \in G} \bar{p} \neq \emptyset\] {}

ジェネリックフィルターの補題より \(\kappa = \omega\) の場合は c.c.c. 性を落として,一般のコンパクト Hausdorff 空間について成り立つことになる.最初にも述べたように,これは Baire の範疇定理の拡張になっていて,ここで \(\MA(\kappa)\) を使ってジェネリックフィルターを取っている部分が通常の証明で開集合の \(\omega\)- 列を取る所と対応している.実際にはこの形の命題は \(\MA(\kappa)\) と同値である事が後の節でわかる.

この定理は,もし \(X\) が孤立点を持つなら \(MA(\kappa)\) など仮定しなくても自明に成立する(孤立点は一点で開集合になるので).これは,\(\mathbb{P}\)アトムを持つ時に \(\MA_{\mathbb{P}}(\kappa)\) が自明に成立するのと似ている.

\(r \in \mathbb{P}\)\(\mathbb{P}\)アトム\(\defs \forall p, q \leq r \, [p \not \perp q]\)

特に,Hausdorff 空間の場合,\(r\in \mathbb{O}_X\) がアトム \(\Leftrightarrow |r| = 1\) である.

  • \(r \in \mathbb{P}\) がアトムなら,\(\forall \kappa \, \MA_{\mathbb{P}}(\kappa)\)

  • \(\mathbb{P}\) がアトムを持たないなら,\(\neg \MA_{\mathbb{P}}(2^{|\mathbb{P}|})\)

証明は前回やったのでもうやらない.{}

もしも \(\mathbb{P}\) がアトムを持たないなら,任意の \(r \in \mathbb{P}\) について,それより下に少なくとも可算濃度の反鎖が存在することがわかる:

\(\mathbb{P}\) がアトムを持たない \( \Rightarrow \forall r \in \mathbb{P} \exists A \subseteq \mathop{\downarrow} r \, [|A| \geq \aleph_0 \wedge A\ \text{は反鎖}]\)

下図の通り:

Diagram

Martin の公理と小さな基数

\(\mathfrak{m}\)\(\neg \MA(\kappa)\) となる最小の \(\kappa\) とする.

今までの結果を纏めると,\(\aleph_1 \leq \mathfrak{m} \leq \mathfrak{c}\) となるこれは第一節で議論した小さな基数たちの範囲と同じだが,特に \(\mathfrak{m}\) は今まで議論した中で最小なことがわかる.この記号を使えば \(\MA \Leftrightarrow \mathfrak{m} = \mathfrak{c}\) だから,\(\MA\) の下ではこれらの基数は全て \(\mathfrak{c}\) と一致することになる.今回は特に \(\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}\) を示す.

  • 集合族 \(\mathcal{E}\)強有限交叉性(Strong Finite Intersection Property; SFIP) を持つ

    \(\defs \forall \mathcal{F} \in [\mathcal{E}]^{<\omega} \, |\bigcap \mathcal{F}| \geq \aleph_0\)

  • \(K\)\(\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega\)擬共通部分(pseudointersecion) である \(\defs |K| = \aleph_0 \wedge \forall Z \in \mathcal{E} \,[ K \mathrel{\mathord{\subseteq}^*} Z]\)

  • \(\mathfrak{p} = \)SFIP を持つが擬共通部分を持たないような \([\omega]^\omega\) の部分集合の最小濃度

第一節で議論した髭文字系の小さな基数の中で \(\mathfrak{p}\) は最小だった.以下では \(\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}\) を示す:

\(\mathfrak{m} \leq \mathfrak{p}\)

\(\kappa < \mathfrak{m} \rightarrow \kappa < \mathfrak{p}\) を示そう.即ち,\(\MA(\kappa)\) を仮定し,\(\mathcal{E} \subseteq [\omega]^\omega\) を SFIP を持つ濃度 \(\kappa\) の族とした時,\(\mathcal{E}\) は擬共通部分 \(K\) を持つことを示す.

\(\mathbb{P} \defeq \set{ p = \braket{s_p, \mathcal{W}_p} : s_p \in [\omega]^{<\omega} \wedge \mathcal{W}_p \in [\mathcal{E}]^{<\omega}}\) と置く.気持ちとしては各 \(s_p\)\(K\) の下からの有限近似であり,\(\mathcal{W}_p\)\(s_p\) の差を除いて \(K\) を含むことが保証された \(\mathcal{E}\) の元の一覧になっている.その気持ちを念頭において,\(\mathbb{P}\) 上に次のように順序を定める:

これにより,\(\braket{\mathbb{P}, \leq, \braket{\emptyset, \emptyset}}\) が forcing poset となるのは明らか.\(\MA(\kappa)\) を使いたいので,\(\mathbb{P}\) が c.c.c. を満たすことを示さなくてはならない.ここで, \[s_p = s_q \longrightarrow s_p \not\perp s_q \tag{*}\label{cond:cented}\] が成立する.なぜならこの時,\(r = \braket{s_p, \mathcal{W}_p \cup \mathcal{W}_q}\) とおけば明らかに \(r \leq p, q\) となるからである.特に各 \(s \in [\omega]^{<\omega}\) は可算個しかないから,もし \(A \subseteq \mathbb{P}\) が非可算集合であったとすると,必ず \(s_p = s_q\) となる \(p, q \in A\) があり \(s_p \not\perp s_q\) となるので,\(A\) は反鎖ではない.よって \(\mathbb{P}\) は c.c.c. を満たす.

\(G \subseteq \mathbb{P}\) をフィルターとするとき,\(K_G \defeq \bigcup_p s_p\) により \(K_G \subseteq \omega\) を定める.この時,\(K_G\)\(\mathcal{E}\) の擬共通部分となるようにしたい.より具体的には,次の二条件を満たすようにしたい:

  1. \(|K_G| \geq \aleph_0\)

  2. \(\forall Z \in \mathcal{E}\,\exists s \in [\omega]^{<\omega}\; [K_G \setminus s \subseteq Z]\)

まず(1)を成立させるには,\(G\) を次の各集合と交わるように取ればよいことがわかる: \[D_n \defeq \Set{ q \in \mathbb{P} : }{q| \geq n}\;(n < \omega)\] ここで,\(\mathcal{E}\) が SFIP を持つことから各 \(D_n\) は稠密集合となる事がわかる.これを示すため,\(p \in \mathbb{P}\) を任意に取る.この時 \(\mathcal{W}_p\)\(\mathcal{E}\) の元からなる有限集合であり,\(\mathcal{E}\) が SFIP を持つことから \(\bigcap \mathcal{W}_p\) は無限集合となる.よって \(t \in [\bigcap \mathcal{W}_p]^n\) が取れ,\(r = \braket{s_p \cup t, \mathcal{W}_p}\) とおけば,\(D_n \ni r \leq p\) となる.よって \(D_n\) の全体は可算個しかないので,\(G \cap D_n \neq \emptyset\) となるようにできる.

次に(2)を成り立たせたい.各 \(Z \in \mathcal{E}\) に対し \(E_Z \defeq \set{ q \in \mathbb{P} : Z \in \mathcal{W}_q}\) の形の集合を考えると,これは \(\mathbb{P}\) の稠密集合である.これは,\(p \in \mathbb{P}\) に対し \(r = \braket{s_p, \mathcal{W}_p \cup \set{Z}}\) とおけば \(r \leq p\) かつ \(r \in E_Z\) となることから明らかである.このような \(E_Z\)\(|\mathcal{E}| = \kappa\) 個しかなく,今 \(\MA(\kappa)\) を仮定しているので,フィルター \(G\) を各 \(E_Z\) と交わるように取ることが出来る.この時(2)が成立することは,次のようにしてわかる.適当な \(Z \in \mathcal{E}\) を取れば,\(G \cap E_Z \neq \emptyset\) より \(Z \in \mathcal{W}_p\) を満たすような \(p \in G\) が存在する.この時,任意の \(q \in G\) に対し \(s_q \setminus s_p \subseteq Z\) となることが示せれば十分である.何故ならこのとき \(K_G \setminus s_p = \bigcup_q (s_q \setminus s_p) \subseteq Z\) となるからである.\(G\) はフィルターなので,\(r \leq p, q\) となるような \(r \in G\) が存在する.特に順序の定義から \(s_r \supseteq s_q\) かつ \(s_r \setminus s_p \subseteq Z \in \mathcal{W}_p\) となっているので,\(s_q \setminus s_p \subseteq Z\) が云える.以上より \(K_G\)\(\mathcal{E}\) の擬共通部分である.{}

上の議論では \((*)\) の条件が本質的な役割を果している.\(\MA\) を用いた議論ではしばしばこれに類似の論法が使われるので,それをちょっと詳しく見てみよう:

  • \(C \subseteq \mathbb{P}\)centered \(\defs \forall p_0, \dots, p_n \in C\, \exists q \in \mathbb{P}\, \forall i\, [q \leq p_i]\)

  • \(\mathbb{P}\)\(\sigma\)-centered\(\defs \mathbb{P}\) は可算個の centered 部分集合の和である.

\(C \subseteq \mathbb{P}\) が centered であるというのは,有限交叉性の一般化になっている.例えば,位相空間 \(X\) に対し \(\mathbb{O}_X\) を考えると,\(C \subseteq \mathbb{O}_X\) が centered であることと \(C\) が有限交叉的であることは同値である.

実際,上の補題が実際に使っているのは \(\MA(\kappa)\)\(\sigma\)-centered な集合に制限したものである.より強く,次が成り立つ:

補題  5で用いた poset は可算個のフィルターの和で表せる.特に \(\sigma\)-centered である.

\(s \in [\omega]^{<\omega}\) に対し,\(C_s \defeq \set{p \in \mathbb{P} : s_p = s}\) とおけば \(\mathbb{P} = \bigcup_s C_s\) である.特に,\(p, q \in C_s\) ならば \(r \in C_s\) の範囲で \(r \leq p, q\) となるものが取れる.よって \(C_s\) はフィルター基になっており,\(\mathcal{F}_s = \mathop{\uparrow} C_s\) とおけば \(\mathcal{F}_s\) はフィルターとなり,\(\mathbb{P} = \bigcup_s C_s = \bigcup_s \mathcal{F}_s\) となる.{}

上の証明では,各 \(C_s\) を拡張する際に各 \(p_i\) の下界が再び \(C_s\) に属することを使っているが,一般の \(\sigma\)-centered 集合でそうなっている訳ではない.実用上殆んどの場合は \(\sigma\)-centered な poset はフィルターの可算和で書けるが,そうでないような例も知られている. また,これも後で見ることだが,\(\kappa < \mathfrak{p}\) であることと,\(\MA_\mathbb{P}(\kappa)\)\(\sigma\)-centered な物について成立することは同値となる.

centered な集合の二元は両立してしまうため,反鎖は各 centered 集合の元を高々一つしか持たないことがわかる.これは,正しく先程の証明の論法を一般化したものになっている:

\(\mathbb{P}\)\(\sigma\)-centered \(\Rightarrow \mathbb{P}\) は c.c.c. を持つ

一般に逆は不成立である:

\(X\) をコンパクト Hausdorff 空間とすると,次は同値:

  1. \(X\) は可分

  2. \(\mathbb{O}_X\)\(\sigma\)-centered

  3. \(\mathbb{O}_X\) はフィルターの可算和

特に,\(\kappa > \mathfrak{c}, X = \power{\kappa}{2}\) とすると,\(\mathbb{O}_X\) は c.c.c. だが \(\sigma\)-centered でない順序集合の例になっている.

\(\mathbb{O}_X\) では centered 性と有限交叉性は同値であったので,centered 集合から生成されるフィルターを考えれば \((2) \Leftrightarrow (3)\) は OK.そこで \((1) \Leftrightarrow (3)\) を示す.

\((\Rightarrow)\) を示そう.\(D = \set{d_n : n < \omega} \subseteq X\)\(X\) の可算な稠密集合とする.この時 \(\mathcal{U}_n \defeq \set{ p \in \mathbb{O}_X : d_n \in p }\) とおけば,各 \(\mathcal{U}_n\) はフィルターとなる.この時 \(D\) の稠密性より空でない開集合は \(d_i\) のいずれかを元にもつので,\(\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{U}_n\) となる.

\((\Leftarrow)\) を示す.フィルター \(\mathcal{F}_n\) により \(\mathbb{O}_X = \bigcup_n \mathcal{F}_n\) と書けているとする.この時超フィルターの補題によって各フィルターを超フィルター \(\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{U}_n\) に拡張する.\(X\) はコンパクトなので各 \(\mathcal{U}_n\) は必ず収束点を持ち,Hausdorff 性よりその収束先は一意に来まる.そこで, \[D = \set{ d_n = \lim \mathcal{U}_n : n < \omega}\] と置き,\(D\)\(X\) の稠密集合であることを示す.\(U \in \mathbb{O}_X\) を任意にとれば,\(X\) はコンパクト Hausdorff 空間なので正則空間となり,\(V \in \mathbb{O}_X\)\(\bar{V} \subseteq U\) を満たすものが取れる.すると仮定より \(V \in \mathcal{U}_n\) となるような \(n < \omega\) が存在する.今 \(\mathcal{U}_n\)\(d_n\) に収束するので,位相空間の一般論より \(d_n \in \bar{V} \subseteq U\) となる.よって \(U \cap D \neq \emptyset\).{}

\(\kappa > \mathfrak{c}\) の時 \(X = \power{\kappa}{2}\)\(\sigma\)-centered でない c.c.c. poset の例になっていることは次のようにしてわかる.まず \(2\) は可分なので,教科書の系 III.2.10 よりその直積 \(\power{\kappa}{2}\) は c.c.c. となり,\(\mathbb{O}_{X}\) も c.c.c. となる.ところで,教科書の補題 III.2.11 によれば,\(X_i\) が二点以上持つ Hausdorff 空間で \(|I| > \mathfrak{c}\) の時,\(\prod_{i \in I} X_i\) は可分ではない.よって \(\power{\kappa}{2}\) は可分ではない.Tychonoff の定理より \(X\) はコンパクトであり,Hausdorff 性も明らか.よって上の結果より,\(\mathbb{O}_X\)\(\sigma\)-centered ではない.

参考文献

[1] K. Kunen, Set theory, vol. 34. College Publications, 2011.

[2] 松坂和夫, 集合・位相入門. 岩波書店, 1986.

[3] 酒井克郎, “位相空間の基礎概念,” 2012. [Online]. Available: https://sites.google.com/site/ksakaiidtopology/ri-ben-yunopeji/basic-topology.