概要

@Awodey の演習問題を解いていたところ,選択公理と同値な 命題を見付けたので証明を試みました.手許の文献でこの同値性に言及している ものはなかったと思います.

準備

以下では,圏 Pos\mathbf{Pos} とは,半順序集合(partially ordered set,以下poset)を 対象,その間の単調写像を射とした圏であるとします. 恒等写像は明らかに単調ですし,単調写像と単調写像の合成が再び単調となるこ とからこれは実際に圏となります.

C{\bf C} の対象 PP射影的(projective)であるとは,任意の 対象 E,XCE, X \in {\bf C} と射 f:PXf: P \to X およびエピ射 e:EXe: E \twoheadrightarrow Xが与えら れたとき,次の図式を可換にする(一意とは限らない)射 f^:PE\hat{f}: P \to E が必ず存在することである.

\[ \begin{xy} \xymatrix{ & E \ar @{->>} [d]^{e} \\ P \ar @{.>} [ur]^{\hat{f}} \ar [r] _{f} & X } \end{xy} \]

射影的対象の概念を用いて,選択公理を言い換えたものが以下です.

以下の命題は選択公理と同値.

Sets\mathbf{Sets} の任意の対象は射影的である.

@alg-d さんのサイト [@alg-d]を参照.

Pos\mathbf{Pos} のエピ射は全射単調写像と完全に一致する.

ee がエピ射でないとすると,he=hehe = h'e かつ hhh \neq h' なる射が存在し, ee の定義域の外に h(x)h(x)h(x) \neq h'(x) なる xx が存在することになり全射となら ない.また,エピ射かつ全射でない単調写像 ee が存在したとすると,ee の定義域の 外から一点を取り,その行き先を上手く違えた h,hh, h' を取ってやることで矛 盾を導くことが出来る.

また,以下では次の事実を用いる.

通常の集合 SS は,離散poset,即ち,各元 xSx \in S についての反射律のみ を仮定して得られる poset と見做すことで Pos\mathbf{Pos} の対象と見做すことが出来る.

Pos\mathbf{Pos}Sets\mathbf{Sets} の関係

以下の命題は選択公理と同値.

集合を離散 poset と見做すことによって, Sets\mathbf{Sets}Pos\mathbf{Pos} の射影的対象 からなる充満部分圏となる.

  1. 集合の間の写像は,対応する離散 poset の間の単調写像と見做すこと が出来るので,結局は Pos\mathbf{Pos} の射影的対象と離散posetが一致すること を示せばよい.

    まず,任意の集合 SSPos\mathbf{Pos} で射影的であることを示そう.SS を集合, 即ち離散poset,E,XE, X を任意のposetとし,単調写像 f:SXf: S \to X およ びエピ射 e:EXe: E \twoheadrightarrow X が与えらえているとする. 今,poset AA に対応する台集合を A|A|,単調写像 ff の台写像を f|f| で表わすことにすると,定理 2 より Pos\mathbf{Pos} での エピ射は全射でもあることに注意すると,Sets\mathbf{Sets} で次の図式を可換に する射 f^:SE\hat{f}: |S| \to |E| が存在する.

    \[ \begin{xy} \xymatrix{ & \left|E \right| \ar @{->>} [d]^{e} \\ \left|P\right| \ar @{.>} [ur]^{\hat{\left|f\right|}} \ar [r] _{\left|f\right|} & \left|X\right| } \end{xy} \]

    あとは,f^|\hat{f}| が単調写像となっていることを示せばよい.SS は 離散posetより,成立する順序関係は反射律のみであるので,特に f^(a)f^(a)|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a) が云えればよい.しかるに,EE は posetであったので反射律が成立し,特に f^(a)f^(a)|\hat{f}|(a) \leq |\hat{f}|(a) が常に成立している.よって f^|\hat{f}| は単調写像. よって状況を Pos\mathbf{Pos} に引き戻して

    \[ \begin{xy} \xymatrix{ & E \ar @{->>} [d]^{e} \\ P \ar @{.>} [ur]^{\hat{f}} \ar [r] _{f} & X } \end{xy} \]

    が可換となる.よって任意の集合は Pos\mathbf{Pos} で射影的である.

    逆に,PPosP \in \mathbf{Pos} を射影的対象とする.PP の元からなる離散posetを dis(P)\mathrm{dis}(P) と書くことにする.写像 i:dis(P)Pi:\mathrm{dis}(P) \twoheadrightarrow Pi(a)=ai(a) = a で定めると,これはは明らかに全射単調写 像であり,従って Pos\mathbf{Pos} のエピ射である.よって,以下を可換にするよ うな 1^P:Pdis(P)\hat{1}_P: P \to \mathrm{dis}(P) が存在する.

    \[ \begin{xy} \xymatrix{ & \mathrm{dis}(P) \ar @{->>} [d]^{i} \\ P \ar @{.>} [ur]^{\hat{1_P}} \ar [r] _{1_P} & P } \end{xy} \]

    すなわち,i1^P=1Pi \circ \hat{1}_P = 1_P である.特に P=dis(P)|P| = |\mathrm{dis}(P)| であり,定義から i=1P=1dis(P)|i| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|} となる.すると,

    1^Pi=1^Pi=1^P1P=1^P=1P1^P=i1^P=i1^P=1P=1P=1dis(P)=1dis(P)1^Pi=1dis(P)in Pos\begin{aligned} | \hat{1}_P \circ i | &= |\hat{1}_P| \circ |i| = |\hat{1}_P| \circ 1_{|P|} = |\hat{1}_P|\\ &= 1_{|P|} \circ |\hat{1}_P| = |i| \circ |\hat{1}_P| = |i \circ \hat{1}_P| \\ &= |1_P| = 1_{|P|} = 1_{|\mathrm{dis}(P)|} = |1_{\mathrm{dis}(P)}|\\ \therefore \hat{1}_P \circ i &= 1_{\mathrm{dis}(P)}\;\;\text{in}\ \mathbf{Pos}\end{aligned}

    よって,1^P\hat{1}_PPos\mathbf{Pos} での同型射となる.今,dis(P)\mathrm{dis}(P) は離散 poset だったので,それと同型となる PP もまた離散posetとなる.

    以上より示された.

  2. Pos\mathbf{Pos} の射影的対象と離散posetが一致すると仮定する.今,Factより 任意の集合 AA は離散posetと同一視出来る.すると,A は Pos\mathbf{Pos} で射影 的であり.他の集合 E,XE, XPos\mathbf{Pos} の対象と見做せ,その間の全射 e:EXe: E \to X と写像 f:AXf: A \to X が存在すれば,それらはposetとして の A,E,XA, E, X 間の単調写像と同一視出来,とくに eePos\mathbf{Pos} でエピ射と なる.すると,それらに対して下の図式を可換にする f^:AE\hat{f}:A\to E が存在する.

    \[ \begin{xy} \xymatrix{ & E \ar @{->>} [d]^{e} \\ A \ar @{.>} [ur]^{\hat{f}} \ar [r] _{f} & X } \end{xy} \]

    再び Sets\mathbf{Sets} に戻って考えれば,これは任意の集合は射影的であると云 うことであり,定理 1 より選択公理が従う.

参考文献