概要

Shelah は実数の集合の性質に関する記念碑的論文   [1] において滅茶苦茶いろいろな事を示していて本当にヤバいんですが,その中で一節割いて「Cohen 実数を付加すると Suslin 木も足される」という事を示しています. 原論文における構成は結構煩雑に見えますが,後に Todorčević  [2] は彼の発明したminimal walkの手法を用いて自然で比較的簡単な構成を与えました. minimal walk の手法は Aronszajn 木の構成にも使えますが,これと Cohen 実数を単に合成してやる事で Suslin 木が得られるのです. 本講演では,まず背景となる話題を紹介した後,これまでにやってきた強制法の応用例としてこの手法を紹介します.

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背景:直線の姿を予想する──Suslin 予想

現代的な一般位相空間論では,よく可分性が問題になりますが,初期にそれと並んでよく採り上げられていたのが可算鎖条件 (countable chain condition; c.c.c.) でした:

  • 位相空間 XX可分def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} XX は稠密な可算部分集合 DD を持つ.

  • 位相空間 XX可算鎖条件(countable chain condition; c.c.c.) を持つ def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} XX の互いに交わらない開集合の族の濃度は高々可算. 言い換えれば,XX の非可算個の開集合から成る任意の族 Uα undefined α<ω1\left\langle U_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle に対し,UαUβU_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset となる α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1 が必ず存在する.

任意の擬順序集合 P\mathbb{P} はその開集合代数 OP\mathcal{O}_{\mathbb{P}} に稠密に埋め込めるので,擬順序に関する c.c.c. は位相空間の c.c.c. の特別な場合になっています.

位相空間が可分であれば c.c.c. を持つことはすぐにわかります:

位相空間 XX が可分なら c.c.c. を持つ.

D={dnX undefined n<ω}D = \left\{ d_n \in X \ \middle|\ n < \omega \right\}XX の可算稠密部分集合とし,Uα undefined α<ω1\left\langle U_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangleXX の開集合から成る族とする. このとき,DD の稠密性から各 α<ω1\alpha < \omega_1 に対し,dnUαd_n \in U_\alpha となる n<ωn < \omega が取れる. そこで Dn:={α<ω1 undefined dnUα}D_n \mathrel{:=} \left\{ \alpha < \omega_1 \ \middle|\ d_n \in U_\alpha \right\} とおけば,ω1\omega_1 の正則性から少なくとも一つの nn について DnD_n は非可算でなくてはならない. よってそこから α<βDn\alpha< \beta \in D_n を取れば dnUαUβd_n \in U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset.

では逆はどうか?というと,2κ2^\kappa に積位相を入れたものが反例になります:

κ>2ω\kappa > 2^\omega とするとき,2κ2^\kappa に直積位相を入れた空間は c.c.c. だが可分ではない.

まず c.c.c. を示そう. 基本開集合から成る任意の族 Uα undefined α<ω1\left\langle U_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle を適当に取ってきて, 交わりを持つ二元が取り出せれば良い. まず,各 UαU_\alphaSα[κ]<0S_\alpha \in [\kappa]^{<\aleph_0}Uβα2U^\alpha_\beta \subsetneq 2 があって,Uα=βSαUβα×κSα2U_\alpha = \prod_{\beta \in S_\alpha} U^\alpha_\beta \times \prod_{\kappa \setminus S_\alpha} 2 の形で書けていました. この SαS_\alphaUαU_\alpha(support) と呼びましょう. 各 UαU_\alpha はその台 SαS_\alpha 上での所属関係だけしか気にしない,という訳です. また,直積成分 22 には離散位相が入っているので,各 UαU_\alpha は関数 hα:Sα3h_\alpha : S_\alpha \to 3 と同一視出来ることに注意しましょう.

そこで ω1\omega_1 の部分集合の族 Sα undefined α<ω1\left\langle S_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle を取ると,Δ\Delta- システム補題から X[ω1]1X \in [\omega_1]^{\aleph_1}Sα undefined αX\left\langle S_\alpha \ \middle|\ \alpha \in X \right\rangleΔ\Delta- システムを成すものが取れます. 即ち,S[ω1]<0S \in [\omega_1]^{<\aleph_0} があって,どんな {α,β}[X]1\left\{ \alpha, \beta \right\} \in [X]^{\aleph_1} に対しても,SαSβ=SS_\alpha \cap S_\beta = S となるようなものが取れます. これはどういう事かというと,XX から相異なる α,β\alpha, \beta を取ってきた時に,条件が競合する場所は SS 上だけになっている,という事です. この時,SS 上での基本開集合の組み合わせは高々 3S<03^{|S|} < \aleph_0 通りしかないのに対し,SαS_\alpha たちは ω1\omega_1 個もありますから,正則性から適当な Y[X]1Y \in [X]^{\aleph_1} が取れて,α,βY\alpha, \beta \in Y なら Uξα=Uξβ(ξS)U^\alpha_\xi = U^\beta_\xi \;(\xi \in S) となるように出来ます. よって,α,βY\alpha, \beta \in Y とすれば,UαUβU_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset となります. 以上より 2κ2^\kappa は c.c.c. を満たします.

最後に可分でない事を見ましょう. 可算列 xn2κ undefined n<ω\left\langle x_n \in 2^\kappa \ \middle|\ n < \omega \right\rangle を任意に取って,これと交わらない空でない開集合を与えれば良いでしょう. この時,ξ<κ\xi < \kappa に対して,列 xn(ξ) undefined n<ω\left\langle x_n(\xi) \ \middle|\ n < \omega \right\rangle の総数は高々 2ω2^\omega 個ですから,2ω<κ2^\omega < \kappa なので鳩ノ巣原理から ξ<η<κ\xi < \eta < \kappa で任意の n<ωn < \omega に対して xn(ξ)=xn(η)x_n(\xi) = x_n(\eta) となるものが取れます. そこで,W:={x2κ undefined x(ξ)=0,x(η)=1}W \mathrel{:=} \left\{ x \in 2^\kappa \ \middle|\ x(\xi) = 0, x(\eta) = 1 \right\} とおけば,WW は空でない開集合です. すると,ξ,η\xi, \eta の取り方から任意の n<ωn < \omega に対し xn(ξ)=xn(η)x_n(\xi) = x_n(\eta) が成り立つので,xnWx_n \in W となります.

では順序位相に限定した場合はどうでしょうか? 実数直線 R\mathbb{R} は可分な全順序位相空間として有名です:

(X,<)(X, <) を次を満たす全順序位相空間(i.e. x,yX{±}x, y \in X \cup \left\{ \pm \infty \right\} に対し区間 (x,y)(x, y) が生成する位相)とする:

  1. (X,<)(X, <) は端点を持たない稠密全順序,

  2. (X,<)(X, <) は位相空間として連結で可分.

この時,(X,<)(R,<)(X, <) \simeq (\mathbb{R}, <).

Suslin は「可分を c.c.c. で置き換えても同じ事が言える」と予想しました:

c.c.c. だが可分でない全順序位相空間(Suslin 直線)は存在しない.

連結とか稠密とかが落ちていますが,適当に完備化とかを取れば同値になります.

これはまだ位相空間論的な概念ですが,木の概念を使うことで集合論的に言い換えることが出来ます:

  • T<αXT \subseteq {}^{<\alpha} {X}(tree) def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TT は始切片について閉じている:tTn<lh(t)tnT\forall t \in T \: \forall n < \mathop{\mathrm{lh}}(t)\: t\upharpoonright n \in T.

  • CTC \subseteq Tdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} CC(T,)(T, \subseteq) の全順序部分集合.

  • ATA \subseteq T反鎖def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} 任意の s,tAs, t \in A, sts \neq t に対し sts \nsubseteq t かつ tst \nsubseteq s

  • xTx \in T に対し,rankT(x):=sup{rankT(y)+1 undefined yT,yx}\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) \mathrel{:=} \sup\left\{ \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(y) + 1 \ \middle|\ y \in T, y \subsetneq x \right\}xxTT におけるランクと言う.

  • height(T):=supxT(rankT(x)+1)\mathop{\mathrm{height}}(T) \mathrel{:=} \sup_{x \in T} (\mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) + 1)TT高さと呼ぶ.

  • Tα:={xT undefined rankT(x)=α}T_\alpha \mathrel{:=} \left\{ x \in T \ \middle|\ \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(x) = \alpha \right\}.

  • CTC \subseteq T共終鎖def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} CCTT の鎖で,α<height(T)TαC\forall \alpha < \mathop{\mathrm{height}}(T)\: T_\alpha \cap C \neq \emptyset.

  • TTκ\kappa- 木def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} height(T)=κ\mathop{\mathrm{height}}(T) = \kappa かつ任意の α<κ\alpha < \kappa に対し Tα<κ|T_\alpha| < \kappa.

  • TTκ\kappa-Aronszajnアロンシャインdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TTκ\kappa- 木で鎖は全て濃度 κ\kappa 未満. ω1\omega_1-Aronszajn 木をAronszajn 木と呼ぶ.

  • TT(κ\kappa-)Suslin 木(またはSouslin 木def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} TT は (κ\kappa-)Aronszajn 木で,TT の反鎖は濃度 κ\kappa 未満.

Suslin 直線の存在と Suslin 木の存在は同値

See §III.5 of Kunen  [3] .

よって SH{\mathrm{SH}} は Suslin 木があるかないか,という問題に帰着されます. 実は SH{\mathrm{SH}}ZFC\mathrm{ZFC} 上独立であることがわかっています. 今回扱うのは特に ZFC+¬SH\mathrm{ZFC}+\neg {\mathrm{SH}} の無矛盾性,つまり「Suslin 木がある」方向の結果です.

Cohen 実数は Suslin 木を付加する

Cohen 強制法 C\mathbf{C} は Suslin 木を付加する.

まず次の補題を認める:

次を満たす列 eα undefined α<ω1\left\langle e_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle が存在する:

  1. 有限対一:各 α\alpha について eα:αωe_\alpha : \alpha \to \omega は有限対一 (i.e. {β<α undefined eα(β)=n}\left\{ \beta < \alpha \ \middle|\ e_\alpha(\beta) = n \right\} は有限),

  2. 斉一性:各 α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1 に対し,{ξ<α undefined eα(ξ)eβ(ξ)}<0\left|\left\{ \xi < \alpha \ \middle|\ e_\alpha(\xi) \neq e_\beta(\xi) \right\}\right| < \aleph_0.

これを認めた上で先に定理 1 を示す. まず,このような列から Aronszajn 木が作れることを見ておく:

補題 1 のような eα undefined α<ω1\left\langle e_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle に対し,T:={eαβ undefined βα<ω1}T \mathrel{:=} \left\{ e_\alpha \upharpoonright \beta \ \middle|\ \beta \leq \alpha < \omega_1 \right\} は Aronszajn 木となる.

まず TTω1\omega_1- 木となることを見る. TT の第 α\alpha レベルは Tα:={eβα undefined β[α,ω1)}T_\alpha \mathrel{:=} \left\{ e_\beta \upharpoonright \alpha \ \middle|\ \beta \in [\alpha, \omega_1) \right\} と書け,明らかに eαTαe_\alpha \in T_\alpha なので,ht(T)=ω1\mathop{\mathrm{ht}}(T) = \omega_1 は良い. また,条件  (2)から tTαt \in T_\alpha なら {ξ<α undefined t(ξ)eα(ξ)}<0|\left\{ \xi < \alpha \ \middle|\ t(\xi) \neq e_\alpha(\xi) \right\}| < \aleph_0 なので,結局 Tα[α]<0×ω=0|T_\alpha| \leq [\alpha]^{<\aleph_0} \times \omega = \aleph_0 より TαT_\alpha は可算. 以上より TTω1\omega_1- 木である.

最後に TT が非可算鎖を持たないことを示そう. そこで CTC \subseteq T が非可算鎖だったとすると,共終性から C:ω1ω\bigcup C: \omega_1 \to \omega となる. しかし,条件  (1)より CC の各元は有限対一写像なので,その貼り合わせである C\bigcup Cω1\omega_1 から ω\omega への有限対一写像となってしまうので矛盾.

VV で補題 1 の性質を満たす eα undefined α<ω1\left\langle e_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle を取り,rrVV 上の Cohen 実数とする. この時,Cohen 強制法は c.c.c. を満たすので eαe_\alpha たちは V[r]V[r] 上でも依然として補題の条件を満たすことに注意する. この時,T(r):={reαβ undefined β<α<ω1}T(r) \mathrel{:=} \left\{ r \circ e_\alpha \upharpoonright \beta \ \middle|\ \beta < \alpha < \omega_1 \right\}V[r]V[r] で Suslin 木となる事を示そう.

まず,上と同様に Tα(r)={reβα undefined β[α,ω1)}T_\alpha(r) = \left\{ r \circ e_\beta \upharpoonright \alpha \ \middle|\ \beta \in [\alpha, \omega_1) \right\} であり,前の補題と同様にして T(r)T(r)ω1\omega_1- 木になることが従う.

次に T(r)T(r) は非可算反鎖も可算反鎖も持たないことを示そう. V[r]V[r]A={rtα undefined α<ω1}[T(r)]1\mathcal{A} = \left\{ r \circ t_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\} \in [T(r)]^{\aleph_1} を任意に取り,これが両立する二元も両立しない二元も含むことを示せばよい. 簡単の為,以下 α<βlh(tα)lh(tβ)\alpha < \beta \mathrel{\Longrightarrow} \mathop{\mathrm{lh}}(t_\alpha) \leq \mathop{\mathrm{lh}}(t_\beta) であるとしよう. のちほど稠密集合を使った議論をしたいので,まずは tα undefined α<ω1\left\langle t_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangleVV に列として入っているとして良いことを見よう. そこで Xp:={tα undefined pCVr˙tαA˙}X_p \mathrel{:=} \left\{ t_\alpha \ \middle|\ p \Vdash^{V}_{\mathbf{C}} \text{“}\dot{r} \circ t_\alpha \in \dot{\mathcal{A}}\text{”} \right\} とおけば,各 pCp \in \mathbf{C} について XpVX_p \in V が成り立つ. このとき,{tα undefined α<ω1}=prXp\left\{ t_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\} = \bigcup_{p \subset r} X_p であり,prp \subset r なる pp は可算個しかないので,少なくとも一つの XpX_p は非可算となる. よって,最初からこの XpX_p の元に範囲を取り直せば,{tα undefined α<ω1}V\left\{ t_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\} \in V であるとしてよい.

斉一性の条件  (2)より,各 tαt_\alpha が両立するか否かは,その有限桁だけ見てやればよい. そこで,tβ,tβt_\beta, t_{\beta'} の値が一致する範囲を表す記号を導入する: Δ(β,β):=min{n<ω undefined ξ<β[tβ(ξ),tβ(ξ)ntβ(ξ)=tβ(ξ)]}.\Delta(\beta, \beta') \mathrel{:=} \min\left\{ n < \omega \ \middle|\ \forall \xi < \beta \: [t_\beta(\xi), t_{\beta'}(\xi) \geq n \mathrel{\Longrightarrow} t_\beta(\xi) = t_{\beta'}(\xi)] \right\}. この記号を使えば,A\mathcal{A} が反鎖でも鎖でもない事を示すには,以下の二つの集合がそれぞれ C\mathbf{C} で稠密となることが示せればよい: E:={pC undefined β<β<ω1[ptβ=ptββ,Δ(β,β)lh(p)]},D:={pC undefined β<β<ω1[ptβptββ,Δ(β,β)lh(p)]}.\begin{aligned} E &\mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbf{C} \ \middle|\ \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \right\},\\ D &\mathrel{:=} \left\{ p \in \mathbf{C} \ \middle|\ \exists \beta < \beta' < \omega_1 \: [p \circ t_\beta \neq p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta, \Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p)] \right\}. \end{aligned} 実際,EEC\mathbf{C} で稠密なら,V[r]V[r] において prp \subset rpEp \in E となるものが取れ, 証拠となる β<β<ω1\beta < \beta' < \omega_1 を取れば ptβ=ptββp \circ t_\beta = p \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta であり,Δ(β,β)lh(p)\Delta(\beta, \beta') \leq \mathop{\mathrm{lh}}(p) より rtβ=rtββr \circ t_\beta = r \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta となり,これが A\mathcal{A} の両立する二元となる. 同様に DD に属す prp \subseteq r が取れれば,証拠となる β<β\beta < \beta' について rtβrtβr \circ t_{\beta} \perp r \circ t_{\beta'} となるので,これら二元は両立しない.

あとは EE, DD がそれぞれ稠密となる事がわかればよい. そこで pnωp \in {}^{n} {\omega} を固定する. 適当な tα,tβt_\alpha, t_\beta をとってきてしまうと,pp で決まっている範囲で既に ptαp \circ t_\alphaptβp \circ t_\beta が異なってしまうかもしれない. そうした場合を排除するために tαt_\alpha たちを取り直そう. まず,nn 未満の値を取る ξ<ω1\xi < \omega_1tα,tβt_\alpha, t_\beta とで一致するような α<β\alpha < \beta が非可算個とれることを見よう.

そこで Xα:={ξ<α undefined tα(ξ)<n(=lh(p))}X_\alpha \mathrel{:=} \left\{ \xi < \alpha \ \middle|\ t_{\alpha}(\xi) < n\; (= \mathop{\mathrm{lh}}(p)) \right\} と置けば,各 tαt_\alpha が有限対一写像である事より XαX_\alpha は有限集合となる. よって Δ\Delta- システム補題を {Xα[ω1]<0 undefined α<ω1}\left\{ X_\alpha \in [\omega_1]^{<\aleph_0} \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\} に適用すれば,Z[ω1]1Z \in [\omega_1]^{\aleph_1}S[ω1]<0S \in [\omega_1]^{<\aleph_0}{α,α}[Z]2XαXα=S\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2\: X_\alpha \cap X_{\alpha'} = S となる物が取れる. この時,tαSt_\alpha \upharpoonright S の候補は可算個しかないので,鳩ノ巣原理から {α,α}[Z]2tαS=tαS\forall \left\{ \alpha, \alpha' \right\} \in [Z]^2 \: t_\alpha \upharpoonright S = t_{\alpha'} \upharpoonright S となるように ZZ を取り直せる. 一々 ZZ と書くのは面倒なので,そもそも始めから A\mathcal{A} はこのように取れているとして以下議論を進めていく. そこで,α1<α2<ω1\alpha_1 < \alpha_2 < \omega_1 を取り,pp を長さ m:=Δ(α1,α2)m \mathrel{:=} \Delta(\alpha_1, \alpha_2) まで拡張する事を考えよう.

まず EE に属する元を取りたい. k=tα1(ξ)tα2(ξ)=k = t_{\alpha_1}(\xi) \neq t_{\alpha_2}(\xi) = \ell となるような k,k, \ell が共に nn 以上であれば, q(k)=0q(k) = 0 によって潰せば良い. もし少なくとも一方が nn 未満であれば,同じ行き先に行くように潰してやればよい. q(k):={p()ξ<α1k=tαi(ξ)=tα1i(ξ)<n0otherwise.q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(\ell) & \exists \xi < \alpha_1 \: k = t_{\alpha_i}(\xi) \wedge \ell = t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}tαt_\alpha たちが単射である事に注意すれば,定義から qtα1=qtα2α1q \circ t_{\alpha_1} = q \circ t_{\alpha_2} \upharpoonright \alpha_1 であり qpq \leq p, lh(q)=Δ(p,q)\mathop{\mathrm{lh}}(q) = \Delta(p, q) である.

最後に DD に入るように延ばせる事を見る. この時,相異なる α<α<ω1\alpha < \alpha' < \omega_1nΔ(α,α)n \leq \Delta(\alpha, \alpha') を満たすものが取れる. なぜなら,もし仮に任意の α,αZ\alpha, \alpha' \in Z に対し Δ(α,α)<n\Delta(\alpha, \alpha') < n となるのであれば,適当な α0<ω1\alpha_0 < \omega_1 を取って, eβ(α)(ξ):={eβ(α0)(ξ)eβ(α)(ξ)<neβ(α)(ξ)otherwisee'_{\beta(\alpha)}(\xi) \mathrel{:=} \begin{cases} e_{\beta(\alpha_0)}(\xi) & e_{\beta(\alpha)}(\xi) < n\\ e_{\beta(\alpha)}(\xi) & \text{otherwise} \end{cases} と定めてやれば,族 eα undefined α<ω1\left\langle e'_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle は依然として仮定  (1), (2)を満たす. しかし,この時 {eβ(α)α undefined αW}\left\{ e'_{\beta(\alpha)} \upharpoonright \alpha \ \middle|\ \alpha \in W \right\}{eαβ undefined α,β<ω1}\left\{ e'_\alpha \upharpoonright \beta \ \middle|\ \alpha, \beta < \omega_1 \right\} の鎖となり,補題 2 に反する. よって,Δ(α0,α1)n\Delta(\alpha_0, \alpha_1) \geq n を満たす α0<α1<ω1\alpha_0 < \alpha_1 < \omega_1 が存在する. そこで tαi(ξ)t_{\alpha_i}(\xi) の少なくとも一方が nn 以上となるような ξ<β\xi < \beta を取る. この時,k[n,Δ(α0,α1)]k \in [n, \Delta(\alpha_0, \alpha_1)] に対し, q(k):={p(tα1i(ξ))+1(tαi(ξ)=k,tα1i(ξ)<n)k(otherwise)q(k) \mathrel{:=} \begin{cases} p(t_{\alpha_{1-i}}(\xi)) + 1 & (t_{\alpha_i}(\xi) = k, t_{\alpha_{1-i}}(\xi) < n)\\ k & (\text{otherwise}) \end{cases} とおけば qtβqtββq \circ t_\beta \neq q \circ t_{\beta'} \upharpoonright \beta.

以上より DD, EEC\mathbf{C} で稠密となり,V[r]Tr:SuslinV[r] \models \text{“}T_r: \text{Suslin}\text{”} が言えた.

斉一列 eαe_\alpha の構成

最後に補題 1 を満たす eα undefined α<ω1\left\langle e_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle を Todorčević による walk の手法を用いて構成する.

  • 以下を満たす Cα undefined α<ω1\left\langle C_\alpha \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangleCC- 列と呼ぶ:

    1. Cα+1:={α}C_{\alpha + 1} \mathrel{:=} \left\{ \alpha \right\},

    2. CγγC_\gamma \subseteq \gamma : cofinal in γ\gamma, otp(Cγ)=ω\mathop{\mathrm{otp}}(C_\gamma) = \omega.

    CC- 列は明らかに存在するので,以下一つ固定する.

  • α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1 に対し,β\beta から α\alpha へのstepとは min(Cβα)<β\min(C_\beta \setminus \alpha) < \beta の事.

  • β\beta から α\alpha へのwalkとは次で定まる sαβ(i) undefined i<ω\left\langle s^\beta_\alpha(i) \ \middle|\ i < \omega \right\rangle の事: s0β,α:=β,si+1β,α:=min(Csiβ,αα).s^{\beta,\alpha}_0 \mathrel{:=} \beta,\qquad s^{\beta,\alpha}_{i+1} \mathrel{:=} \min(C_{s^{\beta,\alpha}_i} \setminus \alpha). walk は順序数の真の減少列なので有限長で止まる. 定義より isiβ,αα\forall i \: s^{\beta,\alpha}_i \geq \alpha であり,CC- 列の取り方より siβ,α>αs^{\beta,\alpha}_i > \alpha なら si+1β,αs^{\beta,\alpha}_{i+1} は必ず定まるので,特に最終的に α\alpha と一致する.

  • ρ1(α,α)=0,ρ1(α,β):=max{ Cβα,ρ1(α,s1β,α) }\rho_1(\alpha, \alpha) = 0, \rho_1(\alpha, \beta) \mathrel{:=} \max\{\ |C_\beta \cap \alpha|, \rho_1(\alpha, s^{\beta,\alpha}_1)\ \} により関数 ρ1\rho_1 を定める.ρ1(α,β)\rho_1(\alpha, \beta)β\beta から α\alpha への walk の最大重み (maximal weight)と呼ぶ.

定義だけだとわかりづらいと思うので,α<β<ω1\alpha < \beta < \omega_1 を固定しよう. 記号が重いので,βi:=siβ,α\beta_i \mathrel{:=} s^{\beta,\alpha}_i と略記することにすれば,以下のように図示出来る:

Diagram

β\beta から α\alpha に向けて Cξ undefined ξ<ω1\left\langle C_\xi \ \middle|\ \xi < \omega_1 \right\rangle を梯子に使って降りていくようなイメージである. 特に,各 CξC_\xiω\omega- 型に取ってあるので,途中の α\alpha で切ったら必ず有限で切れるようになっている. ρ1\rho_1 はこの α\alpha 未満の有限の端数の所に注目して,一番長い所の長さを持ってきた物である. そして,この ρ1\rho_1 が補題 1 の列を作る本質的な素になっている.

  1. ρ1(,β)\rho_1(-, \beta) は有限対一写像:任意の n<ωn < \omega に対し {ξ<β undefined ρ1(ξ,β)=n}<0|\left\{ \xi < \beta \ \middle|\ \rho_1(\xi, \beta) = n \right\}| < \aleph_0,

  2. ρ1\rho_1 は斉一的 (coherent):任意の β<α<ω1\beta < \alpha < \omega_1 に対し {ξ<β undefined ρ1(ξ,β)ρ1(ξ,α)}<0|\left\{ \xi < \beta \ \middle|\ \rho_1(\xi, \beta) \neq \rho_1(\xi, \alpha) \right\}| < \aleph_0.

  1. 任意の A[β]0A \in [\beta]^{\aleph_0}n<ωn < \omega に対し n<ρ1(ξ,β)n < \rho_1(\xi, \beta) を満たす ξA\xi \in A の存在を示せば良い. 特に,Cαξ>n|C_\alpha \cap \xi| > n を満たす ξA\xi \in A が取れるのなら自明なので,ξACξn\forall \xi \in A \: |C \cap \xi| \leq n としよう.

    β\beta について帰納法で示す.

    α:=supA\alpha \mathrel{:=} \sup A と置く. α=β\alpha = \beta ならば,十分大きな ξA\xi \in Aρ1(ξ,β)Cβξ>n\rho_1(\xi, \beta) \geq |C_\beta \cap \xi| > n を満たすものがある.

    そこで α<β\alpha < \beta の場合を考える. ω\omega の正則性から,特に Cβξ=n|C_\beta \cap \xi| = n が任意の ξA\xi \in A に対して成立しているとして良く,この時 η:=sξβ(1)=min(Cβξ)\eta \mathrel{:=} s^{\beta}_\xi(1) = \min(C_\beta \setminus \xi)ξA\xi \in A に依らず常に一定の値を取り,特に α=supAη\alpha = \sup A \leq \eta が成り立つ. この時,各 ξA\xi \in A に対し, ρ1(ξ,β)=max{n,ρ1(ξ,η)}\rho_1(\xi, \beta) = \max \left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\} そこで帰納法の仮定を η\etaAηA \subseteq \eta に適用すれば,ξA\xi \in An<ρ1(ξ,η)n < \rho_1(\xi, \eta) を満たすものが取れる.すると, ρ1(ξ,β)=max{n,ρ1(ξ,η)}>n.\rho_1(\xi, \beta) = \max\left\{ n, \rho_1(\xi, \eta) \right\} > n.

    よって ρ1\rho_1 は有限対一.

  2. α\alpha についての帰納法で示す.

    β<α\beta < \alphaA[β]0A \in [\beta]^{\aleph_0} を任意に取って,ξA\xi \in Aρ1(ξ,β)=ρ1(ξ,α)\rho_1(\xi, \beta) = \rho_1(\xi, \alpha) を満たすものを取れれば良い. 適切に AA を縮めれば,otpA=ω\mathop{\mathrm{otp}} A = \omega としても一般性を失わない. γ:=supAβ\gamma \mathrel{:=} \sup A \leq \beta, η:=s1α,γ\eta \mathrel{:=} s^{\alpha,\gamma}_1, n:=Cαγn \mathrel{:=} |C_\alpha \cap \gamma| とおく. 上の結果から ρ1\rho_1 は有限対一なので, B:={ξA undefined ξ>max(Cαγ),ρ1(ξ,η)>n}B \mathrel{:=} \left\{ \xi \in A \ \middle|\ \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma), \rho_1(\xi, \eta) > n \right\} とおけば AB<0|A \setminus B| < \aleph_0. ξBA\xi \in B \subseteq A をとれば,supA=γξ>max(Cαγ)\sup A = \gamma \geq \xi > \max(C_\alpha \cap \gamma) より Cαξ=CαγC_\alpha \cap \xi = C_\alpha \cap \gamma および Cαξ=CαγC_\alpha \setminus \xi = C_\alpha \setminus \gamma. 以上を踏まえれば, ρ1(ξ,α)=max{ Cαξ,ρ1(ξ,s1α,ξ) }=max{ Cαγ=n,ρ1(ξ,η)>n }=ρ1(ξ,η).\begin{aligned} \rho_1(\xi, \alpha) &= \max \{\ |C_\alpha \cap \xi|, \rho_1(\xi, s^{\alpha,\xi}_1) \ \}\\ &= \max \{\ \underbrace{|C_\alpha \cap \gamma |}_{= n}, \underbrace{\rho_1(\xi, \eta)}_{> n} \ \} = \rho_1(\xi, \eta). \end{aligned} ここで,η=β\eta = \beta なら ρ1(ξ,α)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta) となるので適当に ξB\xi \in B を取ればそれが求めるものである. もし η<β\eta < \beta であれば,BB に帰納法の仮定が使え,ξB\xi \in Bρ1(ξ,η)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \eta) = \rho_1(\xi, \beta) を満たすものが取れ,上の議論と合わせて ρ1(ξ,α)=ρ1(ξ,β)\rho_1(\xi, \alpha) = \rho_1(\xi, \beta) となる.

折角なので SH{\mathrm{SH}} の無矛盾性の概要を

こうして Suslin 予想を打ち砕く方向の構成は出来ました. では逆に SH{\mathrm{SH}} を成り立たせる,つまり「Suslin 木がない」状況を実現するにはどうすればいいでしょうか? まず,Suslin 木のうち性質の良い木だけ考えればよい,ということを見ましょう:

κ\kappa- 木 TTwell-pruned def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} どんな sTs \in T に対しても tst \supsetneq s となる tTt \in Tκ\kappa- 個存在.

κ\kappa-Suslin 木が存在するなら,well-pruned な κ\kappa-Suslin 木も存在.

そういう頂点だけ集めてくればいいだけ.

例えば,一つ Suslin 木が与えられた時に,それを壊すだけなら簡単です:

TT を well-pruned な κ\kappa- 木とする.この時,stdefsts \leq t \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} s \supseteq t により (T,)(T, \supseteq) を擬順序と見做す. この時,GGVV 上の TT- ジェネリックフィルターとすると,GGTT の濃度 κ\kappa の鎖.

特に,TT が Aronszajn 木(Suslin)なら V[G]V[G] において TT は Aronszajn(Suslin)ではない.

TTκ\kappa- 木で,しかも well-pruned なので,各 α<κ\alpha < \kappa に対し,Dα:={sT undefined rankT(s)>α}D_\alpha \mathrel{:=} \left\{ s \in T \ \middle|\ \mathop{\mathrm{rank}}\nolimits_T(s) > \alpha \right\}TT で稠密. よって,GG は任意の α<κ\alpha < \kappa に対して GDαG \cap D_\alpha \neq \emptyset. また,GG の任意の二元は両立し,GX<αG \subseteq X^{<\alpha} なので GG は鎖. よって GG は濃度 κ\kappaTT の鎖.

よって一つ具体的に TT が与えられていれば,TT で強制する事によって TT の Suslin 性を壊すことが出来ます.

なので,Suslin 木を全部一列に並べておいて順に強制してやれば……という発想に至るのは自然な事です. しかし,問題となるのは,Suslin 木で強制した事によって別の Suslin 木が付加されている可能性がある,ということです. そういった状況下で,「途中で増えるかもしれない物の帳尻を最終的に合わせる」手法をbookkeeping 論法といい,集合論では常套手段になっています. まず,Suslin 木は強制法として c.c.c. 持ち,特に任意の基数を保つことに注意しましょう.

これを踏まえて,全ての Suslin 木を殺す強制法を考えましょう. そのためには,「いちど強制拡大した後に追加される強制法で頑張る」という方法が必要になります. これを定式化したものが反復強制法です:

P\mathbb{P} を擬順序とする.

  • Q˙=(Q˙,˙Q,1˙Q)\dot{\mathbb{Q}} = (\dot{\mathbb{Q}}, \dot{\leq}_{\mathbb{Q}}, \dot{\mathbb{1}}_{\mathbb{Q}})擬順序の P\mathbb{P}- 名称def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} PQ˙:擬順序\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}} : \text{擬順序}\text{”}.

  • Q˙\dot{\mathbb{Q}} を擬順序の P\mathbb{P}- 名称とする. このとき,P\mathbb{P}Q˙\dot{\mathbb{Q}}二段階反復PQ˙\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} を次で定める: PQ˙:={(p,q˙) undefined pP,1Pq˙Q˙}1PQ˙:=(1P,1˙Q)(p,q˙)PQ˙(p,q˙)defpPp&pq˙˙Qq˙\begin{gathered} \mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} \mathrel{:=} \left\{ (p, \dot{q}) \ \middle|\ p \in \mathbb{P}, \mathbb{1} \Vdash_{\mathbb{P}} \text{“}\dot{q} \in \dot{\mathbb{Q}}\text{”} \right\}\\ \mathbb{1}_{\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}} \mathrel{:=} (\mathbb{1}_{\mathbb{P}}, \dot{\mathbb{1}}_{\mathbb{Q}})\\ (p, \dot{q}) \leq_{\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}}} (p', \dot{q}') \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \leq_{\mathbb{P}} p' \mathbin{\&} p \Vdash \text{“}\dot{q} \mathrel{\dot{\leq}_{\mathbb{Q}}} \dot{q}'\text{”} \end{gathered}

直ちに次が言えます:

P\mathbb{P} を擬順序,Q˙\dot{\mathbb{Q}} を擬順序の P\mathbb{P}- 名称とする. 次は同値:

  1. P\mathbb{P} が c.c.c. で PQ˙:c.c.c.\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”}

  2. PQ˙\mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} が c.c.c.

P\mathbb{P} を c.c.c.,PQ˙:c.c.c.\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”} とする.A=(pα,q˙α)PQ˙ undefined α<ω1A = \left\langle (p_\alpha , \dot{q}_\alpha) \in \mathbb{P} \ast \dot{\mathbb{Q}} \ \middle|\ \alpha < \omega_1 \right\rangle が反鎖であるとして矛盾を導こう(背理法). VPV^{\mathbb{P}} において Z:={α<ω1 undefined pαGP}Z \mathrel{:=} \left\{ \alpha < \omega_1 \ \middle|\ p_\alpha \in G_{\mathbb{P}} \right\} とおく. ここで相異なる α,βZ\alpha, \beta \in Z を取ると,pαpβp_\alpha \mathrel{\|} p_\beta かつ AA が反鎖であることから,VPV^{\mathbb{P}} においては q˙αGq˙βG\dot{q}_\alpha^G \perp \dot{q}_\beta^G となっている. すると,VPQ˙:c.c.c.V^{\mathbb{P}} \models \text{“}\dot{\mathbb{Q}}: \text{c.c.c.}\text{”} なので,Z<ω1|Z| < \omega_1 でなくてはならない. ZZ に対応する P\mathbb{P}- 名称を Z˙\dot{Z} とすれば,PZ<ω1\mathbb{P} \Vdash \text{“}|Z| < \omega_1\text{”} である.

そこで VV に戻り,WWZ˙\dot{Z} の上界 γ<ω1\gamma < \omega_1 を決定するような P\mathbb{P} の反鎖の中で極大なものとする. 即ち,各 pWp \in WpZ˙γˇpp \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}_p\text{”} となるような γp<ω1\gamma_p < \omega_1 が存在するような pp からなる反鎖の中で極大の物である. P\mathbb{P} の c.c.c. 性から W<ω1|W| < \omega_1 なので,γ:=suppWγp\gamma \mathrel{:=} \sup_{p \in W} \gamma_p とおけば γ<ω1\gamma < \omega_1 である. すると定め方から PZ˙γˇ\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{Z} \subseteq \check{\gamma}\text{”}. しかし,pγγˇZ˙p_\gamma \Vdash \text{“}\check{\gamma} \in \dot{Z}\text{”} となるのでこれは矛盾.

逆向きは完備埋め込みを考えれば自明.

これによって,「これを壊して,次にこれを壊して……」というのを有限回繰り返すのは出来,各段階で使う擬順序が c.c.c. なら基数を保つようにもできます. しかし,Suslin 木は無限個あるので,繰り返しは超限回になる必要性があります. 後続段階では単に二段階の反復をすれば良いので,極限回目の反復をどうするかが問題になります. この部分で幾つか亜種がありますが,我々はその中で最も単純な有限台反復を用います:

Pα undefined ακ\left\langle \mathbb{P}_\alpha \ \middle|\ \alpha \leq \kappa \right\rangle が次の条件を満たすとき,Q˙α undefined α<κ\left\langle \dot{\mathbb{Q}}_\alpha \ \middle|\ \alpha < \kappa \right\rangle有限台反復強制法であると呼ぶ:

  1. P0:={1}\mathbb{P}_0 \mathrel{:=} \left\{ \mathbb{1} \right\},

  2. 各元 pPγp \in \mathbb{P}_\gamma は長さ γ\gamma の列で,任意の β<γ\beta < \gamma に対し pβPβ&Pβpˇ(βˇ)Q˙βp \upharpoonright \beta \in \mathbb{P}_\beta \mathbin{\&} \mathbb{P}_\beta \Vdash \text{“}\check{p}(\check{\beta}) \in \dot{\mathbb{Q}}_\beta\text{”},

  3. pPβ+1p \in \mathbb{P}_{\beta + 1} なら , pβ+1qdefpββqβpββp(β)˙Qβq(β)p \leq_{\beta+1} q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \upharpoonright \beta \leq_\beta q \upharpoonright \beta \wedge p \upharpoonright \beta \Vdash_\beta \text{“}p(\beta) \mathrel{\dot{\leq}_{\mathbb{Q}_\beta}} q(\beta)\text{”},

  4. γ\gamma が極限なら pPγp \in \mathbb{P}_\gammasuptp={α<γ undefined Pβpˇ(βˇ)=1}\mathop{\mathrm{supt}}{p} = \left\{ \alpha < \gamma \ \middle|\ \mathbb{P}_\beta \nVdash \text{“}\check{p}(\check{\beta}) = \mathbb{1}\text{”} \right\} は有限. pγqdefα<γ[pααqα]p \leq_\gamma q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall \alpha < \gamma \: [p\upharpoonright \alpha \leq_\alpha q \upharpoonright \alpha].

α<γ[PααQ˙α:c.c.c.]\forall \alpha < \gamma \: [\mathbb{P}_\alpha \Vdash_\alpha \text{“}\dot{\mathbb{Q}}_\alpha: \text{c.c.c.}\text{”}] なら Q˙α undefined α<γ\left\langle \dot{\mathbb{Q}}_\alpha \ \middle|\ \alpha < \gamma \right\rangle の有限台反復 Pγ\mathbb{P}_\gamma も c.c.c.

極限ステップでがんばればわかる.

以上を踏まえて Suslin 木を全部ブッ壊してみましょう. 面倒臭いので,以下 GCH\mathrm{GCH} を仮定して,宇宙に ω1\omega_1- 木が幾つあるかを数えましょう. まず,ω1\omega_1- 木 TT は「高さ ω1\omega_1 で各段階が高々可算」という木でしたから, 濃度は高々 1×0=1\aleph_1 \times \aleph_0 = \aleph_1 という事になります. なので,台集合は 1\aleph_1 だと思ってしまって,その上に X<αX^{<\alpha} と同型になるような順序が入っているとして良いでしょう. 1\aleph_1 上の二項関係全体の濃度は高々 21×1=212^{\aleph_1 \times \aleph_1} = 2^{\aleph_1} ですから,GCH\mathrm{GCH} を使えば,結局宇宙には高々 2\aleph_2- 個の Suslin 木があることがわかります.

なので,帳尻を合わせるには ω2\omega_2- 回の反復をすれば良さそうです. 反復強制法をやるに当たっては,単に Suslin 木の全数だでけでなく,Suslin 木になり得る P\mathbb{P}- 名称全てをリストする必要がありますが,それを見積もるには以前使った次の補題が使えるでしょう:

P\mathbb{P}λ\lambda-c.c. を満たし P=ν|\mathbb{P}| = \nu とする. 基数 μ\mu に対して θ:=(ν<λ)μ\theta \mathrel{:=} (\nu^{<\lambda})^\mu とすると P2μˇθˇ\mathbb{P} \Vdash 2^{\check{\mu}} \leq \check{\theta}.

今回の場合,各後続段階で反復する擬順序の濃度は高々 1\aleph_1 で,反復の回数は ω2\omega_2- 回なので,ν=1\nu = \aleph_1 です. 各 Qγ\mathbb{Q}_\gamma は c.c.c. を持ち,欲しいのは 1×1\aleph_1 \times \aleph_1 の部分集合の上限ですから,λ:=ω1\lambda \mathrel{:=} \omega_1, μ:=1\mu \mathrel{:=} \aleph_1 とおけば,θ=(10)1=11=GCH2\theta = ({\aleph_1}^{\aleph_0})^{\aleph_1} = {\aleph_1}^{\aleph_1} \stackrel{\mathrm{GCH}}{=} \aleph_2 となります. よって,結局各段階の強制拡大の途中で考慮する必要のある Suslin 木の個数の上限は 2\aleph_2 となります.

Con(ZFC)Con(ZFC+SH)\mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}) \mathrel{\Longrightarrow} \mathop{\mathrm{Con}}(\mathrm{ZFC}+{\mathrm{SH}})

いよいよ Bookkeeping をしていきます. 「α\alpha- 回目の宇宙にある β\beta- 番目の Suslin 木」を二次元的に格子状に並べて,それを端っこから縫うように見ていくことで最終的に帳尻を合わせる論法です.

そこで,まず全単射 h:ω2ω2×ω2h: \omega_2 \to \omega_2 \times \omega_2 で,h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma) なら βα\beta \leq \alpha となるようなものを固定します. h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma) の時に Pβ\mathbb{P}_\beta によって追加される γ\gamma- 番目の Suslin 木で強制してやるようにします.

具体的には以下のようにします. α<2\alpha < \aleph_2 に関する帰納法で,Q˙α\dot{\mathbb{Q}}_\alphaT˙γα undefined γ<2\left\langle \dot{T}^\alpha_\gamma \ \middle|\ \gamma < \aleph_2 \right\rangle を構成していきます:

  1. Pα\mathbb{P}_\alpha が決まった時, {T˙γα undefined γ<ω2}\left\{ \dot{T}^\alpha_\gamma \ \middle|\ \gamma < \omega_2 \right\}ω1\omega_1- 木の Pγ\mathbb{P}_\gamma- 名称の(重複を許した)列挙とする.

  2. h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma) の時,T˙γβ\dot{T}^\beta_\gamma が well-pruned な Suslin 木なら Q˙α:=T˙γβ\dot{\mathbb{Q}}_\alpha \mathrel{:=} \dot{T}^\beta_\gamma,そうでないなら {1}\left\{ \mathbb{1} \right\} とする.

ここで,h(α)=(β,γ)h(\alpha) = (\beta, \gamma) のとき,T˙γβ\dot{T}^\beta_\gammaPβ\mathbb{P}_\beta- 名称であって Pα\mathbb{P}_\alpha- 名称ではありませんが,仮定より βα\beta \leq \alphaPβ\mathbb{P}_\betaPα\mathbb{P}_\alpha に完備に埋め込めるので,ちゃんと名称を書き換えてやることが出来る訳です.

このようにして,P:=Pω2\mathbb{P} \mathrel{:=} \mathbb{P}_{\omega_2}Qα\mathbb{Q}_\alpha たちの ω2\omega_2- 段階有限台反復とします. VPV^{\mathbb{P}} には Suslin 木がない,ということを見ましょう. まず,P\mathbb{P} は前の補題より c.c.c. なので全ての基数を保ち,特に ω1,ω2\omega_1, \omega_2 などは VVVPαV^{\mathbb{P}_\alpha} で絶対である事に注意しましょう. 特に,この事から「ω1\omega_1- 木であること」や「ω1\omega_1- 木 TT が Aronszajn であること」が VVVPαV^{\mathbb{P}_\alpha} で絶対的になります.

構成法から,途中の α<ω2\alpha < \omega_2 で追加される Suslin 木については全て壊せていそうです. ただ,最終的に ω2\omega_2 の段階で何か木が追加されているのではないか?という不安が残ります. そこで,V[G]V[G]P\mathbb{P}- 強制拡大として,TV[G]T \in V[G] を台集合を ω1\omega_1 とする well-pruned な ω1\omega_1- 木とし,T˙\dot{T} を対応する P\mathbb{P}- 名称とします. この時,各 α,β<ω1\alpha, \beta < \omega_1 に対し,Aα,βA_{\alpha,\beta}{pP undefined p(αˇ,βˇ)T˙p(αˇ,βˇ)T˙}\left\{ p \in \mathbb{P} \ \middle|\ p \Vdash \text{“}(\check{\alpha}, \check{\beta}) \in \dot{T}\text{”} \lor p \Vdash \text{“}(\check{\alpha}, \check{\beta}) \in \dot{T}\text{”} \right\} の中で極大な反鎖とします. すると,T˙=α,β<ω1{(α,β)ˇ}×Aα,β\dot{T} = \bigcup_{\alpha, \beta < \omega_1} \left\{ \check{(\alpha, \beta)} \right\} \times A_{\alpha,\beta} と書けているとして良いでしょう. この時,上の補題から P\mathbb{P} は c.c.c. ですので,各 Aα,βA_{\alpha,\beta} は高々可算です. α,β\alpha, \beta の組合せは全部で 1\aleph_1- 通りあるので,T˙\dot{T} に現れる P\mathbb{P} の元は高々 1\aleph_1- 個としてよいです. また,P\mathbb{P} は有限台反復なので,γ:=suppran(T˙)maxsupt(p)\gamma \mathrel{:=} \sup_{p \in \mathop{\mathrm{ran}}(\dot{T})} \max \mathop{\mathrm{supt}}(p) とおけば,γ<ω2\gamma < \omega_2 であり,T˙\dot{T}Pγ\mathbb{P}_\gamma- 名称と見做すことが出来,何らかの β<ω2\beta < \omega_2 があって PγT˙=T˙βγ\mathbb{P}_\gamma \Vdash \text{“}\dot{T} = \dot{T}^\gamma_\beta\text{”} となります. よって,途中の段階で T˙\dot{T} に対する共終路が付加されていますから,T˙\dot{T} は Suslin ではありません.

「木」の定義について

一番一般的な「木」の定義は次の通りです:

半順序集合 (T,<)(T, <)def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} 任意の xTx \in T に対し x:={yT undefined y<x}\mathord{x\downarrow} \mathrel{:=} \left\{ y \in T \ \middle|\ y < x \right\} は整列集合.

鎖や反鎖の概念も適切に定義出来,同様に κ\kappa- 木や κ\kappa-Aronszajn, κ\kappa-Suslin 木の概念も定義出来ます.

必ずしも全ての木がここで定義したような X<αX^{<\alpha} の部分木の形で表せるとは限りません. しかし,次の性質を満たす木は全て我々の使った方法で表現出来ます:

  • (T,<)(T, <)Hausdorff def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} 任意の x,yTx, y \in T に対し,x=y\mathord{x\downarrow} = \mathord{y \downarrow} なら x=yx = y が成立.

  • (T,<)(T, <)根つき木 def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} T0=1|T_0| = 1.

任意の Hausdorff な根つき木 TT は適当な α\alphaκ\kappa について κ<α\kappa^{<\alpha} の部分木として表現出来る.

α:=height(T),κ:=supβ<height(T)Tβ\alpha \mathrel{:=} \mathop{\mathrm{height}}(T), \kappa \mathrel{:=} \sup_{\beta < \mathop{\mathrm{height}}(T)} |T_\beta| とおく. この時 (T,<)(T,)(T, <) \simeq (T', \subsetneq) となるような κ<α\kappa^{<\alpha} の部分木を定義したい. 以下,β<α\beta < \alpha の帰納法により各 xTβx \in T_\beta に対し sxβκs_x \in {}^{\beta} {\kappa} を定める.

まず xT0x \in T_0 に対しては sx=s_x = \emptyset とすれば TT が根つき木であることから良い. TαT_\alpha までの行き先が定まったとして,Tα+1T_{\alpha+1} の各元の行き先を定めよう. 任意の xTαx \in T_{\alpha} に対して,仮定より適当な ξκ\xi \leq \kappa があって xTα+1={xα undefined α<ξ}\mathord{x \uparrow} \cap T_{\alpha+1} = \left\{ x_\alpha \ \middle|\ \alpha < \xi \right\} の形に整列出来るので,各 xαx_\alpha に対して sxα:=sxαs_{x_\alpha} \mathrel{:=} s_x \mathbin{{}^\frown} \alpha と定める. Tα+1T_{\alpha+1} の任意の元は必ず TαT_\alpha に直前の元を持つので,これにより Tα+1T_{\alpha+1} から κ<α+1\kappa^{<\alpha+1} の中への順序単射が定まっている.

最後に α\alpha が極限の場合を考える. この時 xTαx \in T_\alpha を取れば,任意の β<α\beta < \alpha に対し xTβ=1|\mathord{x \downarrow} \cap T_\beta| = 1 が成り立つので xβx_\betaxTβ\mathord{x \downarrow} \cap T_\beta の唯一の元とする. この時,sx:=β<αsxβs_x \mathrel{:=} \bigcup_{\beta < \alpha} s_{x_\beta} により sxs_x を定める. xx\downarrow が整列集合であることと s()s_{(-)}TβT_\beta から βκ{}^{\leq\beta} {\kappa} の中への順序単射となっていることから,sxακs_x \in {}^{\alpha} {\kappa} となる. また,x,yTαx, y \in T_\alpha に対して sx=sys_x = s_y が成り立てば,x=y\mathord{x \downarrow} = \mathord{y \downarrow} となるので,Hausdorff 性から x=yx = y が得られる. よって TαT_\alpha における ss の対応も well-defined である.

そこで T:={sx undefined xT}T' \mathrel{:=} \left\{ s_x \ \middle|\ x \in T \right\} とおけば,定め方から明らかに TT'<ακ{}^{<\alpha} {\kappa} の部分木であり (T,<)(T,)(T, <) \simeq (T', \subsetneq).

任意の木 TT が根つきの Hausdorff 木とは限らないが,Suslin 木や Aronszajn 木 TT が与えられたとき,れらを根付きの Hausdorff 木にするのは容易い. それらを well-pruned にした後に,ランク最小の元から生えてるのを一つ選んできて,極限ステップで同じ道を持つ元がいれば,その下にワンステップ追加してやればいいだけである.

参考文献

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