集合論の地質学2：マントルの構造と下方有向性原理 konn-san.com

Proof.

1. $\mathbb{P} \in V$を強制概念，$G$を$(V, \mathbb{P})$-生成フィルターとして$g\mathbb{M}^V = g\mathbb{M}^{V[G]}$となることを示す． 特に$V[G]$の強制拡大は$V$の強制拡大でもあるので，$g\mathbb{M}^{V} \subseteq g\mathbb{M}^{V[G]}$は明らか． 逆の包含関係を示そう． そこで$x \in g\mathbb{M}^{V[G]} \setminus g\mathbb{M}^V$なる$x$があったとして矛盾を導く（背理法）． $x \in g\mathbb{M}^{V[G]} \subseteq \mathbb{M}^{V[G]} \subseteq V$より$x \in V$となる事に注意する． $x \notin g\mathbb{M}^V$なので，ある$\mathbb{Q} \in V$，$q \in \mathbb{Q}$および$\dot{r} \in V^{\mathbb{Q}}$があって，$q \Vdash_{\mathbb{Q}} \check{x} \notin W_{\dot{r}}$となる． そこで$r \in H$なる$(V[G], \mathbb{Q})$-生成フィルター$H$を取れば，$V[G][H] \models x \notin W_{r}^{H}$. 特に，$V[G][H]$の基礎モデル$W$で$x \notin W$となるものが取れる． しかし，仮定と定義より$x \in g\mathbb{M}^{V[G]} \subseteq W$なのでこれは非合理．

2. $g\mathbb{M}$がGödel演算で閉じ，概宇宙的である事が示せればよい． しかし，$g\mathbb{M}$は$\mathrm{ZF}(\mathrm{C})$のモデルの共通部分なので，Gödel演算で閉じている事は自明．

   よって後は概宇宙的であること，即ち任意の$x \subseteq g\mathbb{M}$に対し$z \in g\mathbb{M}$で$x \subseteq z$を満たすものが取れることを示せばよい． 特に，各$\alpha$に対し$g\mathbb{M} \cap V_\alpha \in g\mathbb{M}$が言えれば十分である． まず次を示す：

   Proof. 上の (1)より，$V$の任意の基礎モデル$W$に対して$g\mathbb{M}^W = g\mathbb{M}^V$であり，他方ランク関数の絶対性より$V_\alpha^W \subseteq V_\alpha^V$なので，$g\mathbb{M} \cap V_\alpha = g\mathbb{M}^W \cap V_\alpha = (g\mathbb{M} \cap V_\alpha)^W \in W$. $W$は$V$の任意の基礎モデルだったから，$g\mathbb{M} \cap V_\alpha \in\mathbb{M}$. ◻

   さて，再び (1)より今度は$g\mathbb{M} \cap V_\alpha$は$V$の任意の強制拡大$V[G]$でも不変である：$g\mathbb{M} \cap V_\alpha = (g\mathbb{M} \cap V_\alpha)^{V[G]}$. すると，上の主張から$V[G] \models g\mathbb{M}^{V[G]} \cap V[G]_\alpha \in \mathbb{M}^{V[G]}$となる． いま$V[G]$は任意に取っていたので，結局$g\mathbb{M} \cap V_\alpha \in g\mathbb{M}$となる．

Proof.

1. 定義から強制拡大で不変なクラスは明らかに$g\mathbb{M}$の部分集合になり，上の補題2より$g\mathbb{M}$は強制法で不変なので，あとは$\mathbb{M} = g\mathbb{M}$だけ示せればよい．

   ほぼ上の注意通り． $g\mathbb{M} \subseteq \mathbb{M}$は明らかなので，$\mathbb{M} \subseteq g\mathbb{M}$を示せばよい． もし$x \notin g\mathbb{M}$ならある強制拡大$V[G] \supseteq V$で$x \notin \mathbb{M}^{V[G]}$を満たすものが取れる． 特にマントルの定義から，$W \subseteq V[G]$で$x \notin W$を満たすものが取れる． すると，$\mathrm{ZFC} \vdash \mathord{\mathrm{DDG}}$より特に$V[G] \models \mathord{\mathrm{DDG}}$なので，$V$と$W$の共通の基礎モデル$U \subseteq W \cap V$が取れ，$x \notin W$となる． よって$x \notin \mathbb{M}$.

2. 補題 2と上の (1)より$\mathbb{M} \models \mathrm{ZF}$は良い． あとは$\mathbb{M} \models \mathrm{AC}$だけ示せればよい．特に，$\mathbb{M}$で整列可能定理が成り立つことを示そう． 任意に$x \in \mathbb{M}$を取り$x$の整列順序が少なくともひとつ$\mathbb{M}$に属していることが言えればよい． そこで$\mathcal{W} \mathrel{:=} \left\{\: {\vartriangle} : \text{well-order on } x \;\middle|\; {\vartriangle} \notin \mathbb{M} \:\right\}$とおく． $x$が集合なので，明らかに$\mathcal{W}$は集合である． マントルの定義より，各${\vartriangle} \in \mathcal{W}$に対し${\vartriangle} \notin W_{r_{\vartriangle}}$となるような$r_{\vartriangle}$が定まる． すると，$\mathord{\mathrm{sDDG}}$より$\left\{\: W_{r_{\vartriangle}} \;\middle|\; {\vartriangle} \in \mathcal{W} \:\right\}$の共通の基礎モデル$U$が取れる． すると，$\mathcal{W}$や$r_{\vartriangle}$の取り方から，$\mathbb{M}$に属さない$x$の整列順序は$U$にも属さないようになっている． 対偶を取れば，$U$に属する$x$の整列順序は$\mathbb{M}$にも属するということである． いま，$U$自体は$\mathrm{ZFC}$のモデルなので$x$の整列順序を持つので，望み通り$\mathbb{M}$も$x$の整列順序を持つ．

Proof. 原論文  [2]か前回の記事  [3]の定理4を参照．

Proof.

1. $W, U \in \mathcal{M}_V$とし，$W$から$U$に至るpathの長さに関する帰納法で示す． $W = W_0 \leadsto W_1 \leadsto \dots \leadsto W_{n-1} = U$を$W$から$U$に至るpathとする． $n \leq 2$の場合は明らか．

   そこで長さ$n$のpathで繋がれた任意の二つのモデルに下界が取れるとし，$(n+1)$でも成り立つことを示す． $W_n \nearrow W_{n+1} = U$が強制拡大によって得られている場合は，帰納法の仮定によって$W_0$と$W_n$の下界$W'$をとってくれば，$W'$は$W_0$の基礎モデルであると同時に$W_{n+1}$の基礎モデルになっている．

   $W_n \searrow W_{n+1}$が基礎モデルを取る操作で得られる場合を考えよう． このときは，まず$W'$を$W_0$と$W_n$の共通の下界とする． 状況を整理すると$W_0 \searrow W' \nearrow W_n \searrow W_{n+1}$で，$W'$と$W_{n+1}$は$W_n$の基礎モデルとなっているから，$\mathord{\mathrm{DDG}}$により共通の下界$W' \searrow W'' \nearrow W_{n+1}$が取れる． このとき$W''$は$W_0$と$W_{n+1}$の共通の下界である．

2. $W \subseteq U$とする． このときより上の(1)より$U, W$共通の基礎モデル$W' \subseteq U \cap W$が取れる． すると$W' \subseteq W \subseteq U$となるが，$U$が$W'$の生成拡大であることから，前回使った中間拡大補題から$W$は$W'$の生成拡大であり，なおかつ$U$は$W$の生成拡大となる． これが言いたかったことである．