概要

本稿は集合論の地質学に関する記事の第二回目です:

  1. 概観と基礎モデルの定義可能性

  2. マントルの構造と下方有向性原理(今回)

  3. Bukovskýの定理──強制拡大の特徴付け

  4. 下方有向性原理の証明

集合論の地質学は,与えられた集合論の宇宙VVの内部モデルがいかなる生成拡大になっているかを考える集合論の分野ですが,今回は地質学の基本定理である下方有向性原理の紹介と,そこから得られるマントルM\mathbb{M}に関する帰結,特にZFC\mathrm{ZFC}のモデルとなる事や生成多宇宙の構造に関する結果などを紹介します.

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マントルおよび生成マントルと下方有向性原理

前回はFuchs–Hamkins–Reitz  [1] による次の定理を示した:

ZFC\mathrm{ZFC}を満たす基礎モデルは一様に定義可能. 即ち,次を満たすような一階の論理式φ(x,y)\varphi(x, y)が存在する:

  1. 任意のrVr \in Vに対しWr:={xVundefinedφ(x,r)}W_r \mathrel{:=} \left\{\: x \in V \;\middle|\; \varphi(x, r) \:\right\}rWrr \in W_rなるVVZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデルであり,あるPW\mathbb{P} \in W(W,P)(W, \mathbb{P})-生成フィルターGVG \in Vが存在してV=W[G]V = W[G]となる.

  2. 逆にWWV=W[G]V = W[G]を満たすVVZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデルであれば,rWr \in WW=WrW = W_rとなるものが存在する.

これにより,マントル及び生成マントルという自然な内部モデルが定義できる.

  • 全ての基礎モデルの共通部分をマントルと呼び,M\mathbb{M}で表す. 即ちM:=rVWr\mathbb{M} \mathrel{:=} \bigcap_{r \in V} W_r.

  • 全ての強制拡大の基礎モデルの共通部分を生成マントルと呼び,gMg\mathbb{M}で表す. 即ち,gM:={xVundefinedPPxˇM˙}g\mathbb{M} \mathrel{:=} \left\{\: x \in V \;\middle|\; \forall \mathbb{P} \: {} \Vdash_{\mathbb{P}} \text{“}\check{x} \in \dot{\mathbb{M}}\text{”} \:\right\}.

生成マントルの構造論

まず,Fuchs–Hamkins–Reitz  [1] では生成マントルgMg\mathbb{M}ZF\mathrm{ZF}のモデルであり,強制法で不変となる事が示されている:

  1. gMg\mathbb{M}は強制法で不変なクラスである.

  2. gMg\mathbb{M}ZF\mathrm{ZF}を満たす内部モデル.

  1. PV\mathbb{P} \in Vを強制概念,GG(V,P)(V, \mathbb{P})-生成フィルターとしてgMV=gMV[G]g\mathbb{M}^V = g\mathbb{M}^{V[G]}となることを示す. 特にV[G]V[G]の強制拡大はVVの強制拡大でもあるので,gMVgMV[G]g\mathbb{M}^{V} \subseteq g\mathbb{M}^{V[G]}は明らか. 逆の包含関係を示そう. そこでxgMV[G]gMVx \in g\mathbb{M}^{V[G]} \setminus g\mathbb{M}^Vなるxxがあったとして矛盾を導く(背理法). xgMV[G]MV[G]Vx \in g\mathbb{M}^{V[G]} \subseteq \mathbb{M}^{V[G]} \subseteq VよりxVx \in Vとなる事に注意する. xgMVx \notin g\mathbb{M}^Vなので,あるQV\mathbb{Q} \in VqQq \in \mathbb{Q}およびr˙VQ\dot{r} \in V^{\mathbb{Q}}があって,qQxˇWr˙q \Vdash_{\mathbb{Q}} \check{x} \notin W_{\dot{r}}となる. そこでrHr \in Hなる(V[G],Q)(V[G], \mathbb{Q})-生成フィルターHHを取れば,V[G][H]xWrHV[G][H] \models x \notin W_{r}^{H}. 特に,V[G][H]V[G][H]の基礎モデルWWxWx \notin Wとなるものが取れる. しかし,仮定と定義よりxgMV[G]Wx \in g\mathbb{M}^{V[G]} \subseteq Wなのでこれは非合理.

  2. gMg\mathbb{M}がGödel演算で閉じ,概宇宙的である事が示せればよい. しかし,gMg\mathbb{M}ZF(C)\mathrm{ZF}(\mathrm{C})のモデルの共通部分なので,Gödel演算で閉じている事は自明.

    よって後は概宇宙的であること,即ち任意のxgMx \subseteq g\mathbb{M}に対しzgMz \in g\mathbb{M}xzx \subseteq zを満たすものが取れることを示せばよい. 特に,各α\alphaに対しgMVαgMg\mathbb{M} \cap V_\alpha \in g\mathbb{M}が言えれば十分である. まず次を示す:

    さて,再び (1)より今度はgMVαg\mathbb{M} \cap V_\alphaVVの任意の強制拡大V[G]V[G]でも不変である:gMVα=(gMVα)V[G]g\mathbb{M} \cap V_\alpha = (g\mathbb{M} \cap V_\alpha)^{V[G]}. すると,上の主張からV[G]gMV[G]V[G]αMV[G]V[G] \models g\mathbb{M}^{V[G]} \cap V[G]_\alpha \in \mathbb{M}^{V[G]}となる. いまV[G]V[G]は任意に取っていたので,結局gMVαgMg\mathbb{M} \cap V_\alpha \in g\mathbb{M}となる.

下方有向性原理とマントルの構造論

一方,M\mathbb{M}については,gMg\mathbb{M}と一致するのか,そもそもZF\mathrm{ZF}を満たすのか,強制法で不変なのか?という事はわかっていなかった. 例えば,下図のようにVVと「両立」しない基礎モデルWWを持つようなV[G]V[G]があれば,MV[G]MV\mathbb{M}^{V[G]} \subsetneq \mathbb{M}^Vとなることはわかる.

Diagram

逆に,このようなV[G]V[G]がなければ,特に,どんな二つの基礎モデルも共通の基礎モデルを持つなら,上M\mathbb{M}gMg\mathbb{M}と一致してくれる事がわかる. こうした事を念頭に定式化されたのが,次の下方有向性原理である:

  • 下方有向性原理Downward Directed Grounds, DDG\mathord{\mathrm{DDG}})とは次の言明である:

    任意の基礎モデルW,WVW, W' \subseteq Vに対し,共通の基礎モデルUWWU \subseteq W \cap W'が存在する.

  • 強い下方有向性原理strong Downward Directed Grounds, sDDG\mathord{\mathrm{sDDG}})とは次の言明である:

    任意の集合XXに対し,{WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}の共通の基礎モデルが存在する.

  1. ZFCDDG\mathrm{ZFC} \vdash \mathord{\mathrm{DDG}}ならM=gM\mathbb{M} = g\mathbb{M}で,M\mathbb{M}は強制法で不変な最大のクラス.

  2. ZFCsDDG\mathrm{ZFC} \vdash \mathord{\mathrm{sDDG}}ならMZFC\mathbb{M} \models \mathrm{ZFC}.

  1. 定義から強制拡大で不変なクラスは明らかにgMg\mathbb{M}の部分集合になり,上の補題2よりgMg\mathbb{M}は強制法で不変なので,あとはM=gM\mathbb{M} = g\mathbb{M}だけ示せればよい.

    ほぼ上の注意通り. gMMg\mathbb{M} \subseteq \mathbb{M}は明らかなので,MgM\mathbb{M} \subseteq g\mathbb{M}を示せばよい. もしxgMx \notin g\mathbb{M}ならある強制拡大V[G]VV[G] \supseteq VxMV[G]x \notin \mathbb{M}^{V[G]}を満たすものが取れる. 特にマントルの定義から,WV[G]W \subseteq V[G]xWx \notin Wを満たすものが取れる. すると,ZFCDDG\mathrm{ZFC} \vdash \mathord{\mathrm{DDG}}より特にV[G]DDGV[G] \models \mathord{\mathrm{DDG}}なので,VVWWの共通の基礎モデルUWVU \subseteq W \cap Vが取れ,xWx \notin Wとなる. よってxMx \notin \mathbb{M}.

  2. 補題 2と上の (1)よりMZF\mathbb{M} \models \mathrm{ZF}は良い. あとはMAC\mathbb{M} \models \mathrm{AC}だけ示せればよい.特に,M\mathbb{M}で整列可能定理が成り立つことを示そう. 任意にxMx \in \mathbb{M}を取りxxの整列順序が少なくともひとつM\mathbb{M}に属していることが言えればよい. そこでW:={:well-order on xundefinedM}\mathcal{W} \mathrel{:=} \left\{\: {\vartriangle} : \text{well-order on } x \;\middle|\; {\vartriangle} \notin \mathbb{M} \:\right\}とおく. xxが集合なので,明らかにW\mathcal{W}は集合である. マントルの定義より,各W{\vartriangle} \in \mathcal{W}に対しWr{\vartriangle} \notin W_{r_{\vartriangle}}となるようなrr_{\vartriangle}が定まる. すると,sDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}より{WrundefinedW}\left\{\: W_{r_{\vartriangle}} \;\middle|\; {\vartriangle} \in \mathcal{W} \:\right\}の共通の基礎モデルUUが取れる. すると,W\mathcal{W}rr_{\vartriangle}の取り方から,M\mathbb{M}に属さないxxの整列順序はUUにも属さないようになっている. 対偶を取れば,UUに属するxxの整列順序はM\mathbb{M}にも属するということである. いま,UU自体はZFC\mathrm{ZFC}のモデルなのでxxの整列順序を持つので,望み通りM\mathbb{M}xxの整列順序を持つ.

DDG\mathord{\mathrm{DDG}}sDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}は自然だがちょっと強すぎるようにも思える. しかし,薄葉  [2] はなんとsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}ZFC\mathrm{ZFC}の定理である事を示した.

ZFCsDDG\mathrm{ZFC} \vdash \mathord{\mathrm{sDDG}}.

よって系として次が得られる:

M\mathbb{M}は強制法で不変な最大のクラスで,ZFC\mathrm{ZFC}を満たす.

他にも「VVは極小・最小の基礎モデルを持つか?」というような基本的な疑問にもsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}は解を与える.

ZFC\mathrm{ZFC}のモデルは高々一つしか極小な基礎モデルを持たない.

原論文  [2] 前回の記事  [3] の定理4を参照.

DDG\mathord{\mathrm{DDG}}と生成多宇宙の構造論

集合論の地質学では,ある宇宙VVが与えられた時にその基礎モデル全体を考えた. 一方,基礎モデルだけではなく,その生成拡大,生成拡大の基礎モデル……という風に「強制法で閉じた」モデル全体を考えることがあり,これをVV生成的多宇宙generic multiverse)あるいは集合論的多宇宙set-theoretic multiverse)と呼ぶ. 可算推移的モデル全体を考えても良いし,「本物」の生成多宇宙を取り扱うための形式体系も幾つか提案されている(例えばFriedman–Fuchino–Sakai  [4] ,Woodin  [5] などを参照).

とりあえず本稿では,ラフに次のインフォーマルな定義を使う1

VV生成多宇宙MV\mathcal{M}_VとはVVから基礎モデルと生成拡大を取る操作で閉じたZFC\mathrm{ZFC}のモデルの最小の集まりである.

  • 任意のW,UMVW, U \in \mathcal{M}_Vに対し,WWから始めて基礎モデルと生成拡大を取る操作を有限回繰り返してUUに到達出来る. これをWWからUUへのpathと呼ぼう.

  • 生成多宇宙のpathにおいてWkW_{k}からWk+1W_{k+1}が生成拡大を取ることで得られる時WkWk+1W_k \nearrow W_{k+1},基礎モデルを取ることで得られる時WkWk+1W_k \searrow W_{k+1}と表す. また,pathにおいて\leadsto\nearrow\searrowのいずれかを表すものとする.

  • 有限反復強制法を使えば,複数回の基礎モデル・生成拡大を取る操作を一回に纏められる. 従って,WWからUUへのpathには基礎モデルを取る操作と生成拡大を取る操作が一回ずつ交互に現れるとしてよい.

こうした概念が定義された当初,以下のような未解決問題があった:

  1. MV\mathcal{M}_Vは下に有向か?つまり,どんなW,UMVW, U \in \mathcal{M}_Vに対しても共通の基礎モデルが取れるか2

  2. MV\mathcal{M}_Vにおける包含関係WUW \subseteq Uと「WWUUの基礎モデルである」という関係は一致するか?

DDG\mathord{\mathrm{DDG}}はこれらに対し,どちらも肯定的な解を与える.

  1. MV\mathcal{M}_Vは下に有向である.

  2. MV\mathcal{M}_Vにおいて包含関係と基礎モデル関係は一致する.

  1. W,UMVW, U \in \mathcal{M}_Vとし,WWからUUに至るpathの長さに関する帰納法で示す. W=W0W1Wn1=UW = W_0 \leadsto W_1 \leadsto \dots \leadsto W_{n-1} = UWWからUUに至るpathとする. n2n \leq 2の場合は明らか.

    そこで長さnnのpathで繋がれた任意の二つのモデルに下界が取れるとし,(n+1)(n+1)でも成り立つことを示す. WnWn+1=UW_n \nearrow W_{n+1} = Uが強制拡大によって得られている場合は,帰納法の仮定によってW0W_0WnW_nの下界WW'をとってくれば,WW'W0W_0の基礎モデルであると同時にWn+1W_{n+1}の基礎モデルになっている.

    WnWn+1W_n \searrow W_{n+1}が基礎モデルを取る操作で得られる場合を考えよう. このときは,まずWW'W0W_0WnW_nの共通の下界とする. 状況を整理するとW0WWnWn+1W_0 \searrow W' \nearrow W_n \searrow W_{n+1}で,WW'Wn+1W_{n+1}WnW_nの基礎モデルとなっているから,DDG\mathord{\mathrm{DDG}}により共通の下界WWWn+1W' \searrow W'' \nearrow W_{n+1}が取れる. このときWW''W0W_0Wn+1W_{n+1}の共通の下界である.

  2. WUW \subseteq Uとする. このときより上の(1)よりU,WU, W共通の基礎モデルWUWW' \subseteq U \cap Wが取れる. するとWWUW' \subseteq W \subseteq Uとなるが,UUWW'の生成拡大であることから,前回使った中間拡大補題からWWWW'の生成拡大であり,なおかつUUWWの生成拡大となる. これが言いたかったことである.

次回予告

次回はBukovskýによる生成拡大の組合せ論的特徴付けの現代的な証明を紹介します. この定理はsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}の証明の中で重要な役割を果し,またκ\kappa-c.c. 生成拡大に関するある種の一意性定理が従います.

参考文献

  • [1]G. Fuchs, J. D. Hamkins, and J. Reitz, “Set-Theoretic Geology,” 18-Nov-2014. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1107.4776. [Accessed: 31-Jul-2017].
  • [2]T. Usuba, “The downward directed grounds hypothesis and very large cardinals,” 17-Jul-2017. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1707.05132. [Accessed: 31-Jul-2017].
  • [3]石井大海, “集合論の地質学1:概観と基礎モデルの定義可能性,” 2017. [Online]. Available: http://konn-san.com/math/geology-ground-definability.html. [Accessed: 11-Nov-2017].
  • [4]S. D. Friedman, S. Fuchino, and H. Sakai, “On the set-generic multiverse,” 06-Jul-2016. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1607.01625. [Accessed: 07-Jul-2016].
  • [5]W. H. Woodin, “The continuum hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω\Omega conjecture,” Set theory, arithmetic, and foundations of mathematics: theorems, philosophies, vol. 36, pp. 13–42, 2011.
  • [6]J. Reitz, “The ground axiom,” J. Symbolic Logic, vol. 72, no. 4, pp. 1299–1317, Dec. 2007.
  • [7]J. D. Hamkins, “Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory,” 03-Nov-2015. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1511.01074. [Accessed: 25-Nov-2017].

  1. ZFC\mathrm{ZFC}でもNBG\mathord{\mathrm{NBG}}でも一般的な(定義可能とは限らない)クラスの集まり(!)などというものをオフィシャルに扱う方法はない,という意味でこれはインフォーマルな定義である

  2. 上に有向でないことは,例えばZFC\mathrm{ZFC}のモデルMMに対して,Cohen実数x,yx,yx,yx,y両方の情報があるとMMの順序数を可算に潰してしまうようなものが存在するのでわかる.


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