概要

本稿は集合論の地質学に関する記事の第三回目です:

  1. 概観と基礎モデルの定義可能性

  2. マントルの構造と下方有向性原理

  3. Bukovskýの定理──強制拡大の特徴付け(今回)

  4. 下方有向性原理の証明

集合論の地質学は,与えられた集合論の宇宙VVの内部モデルがいかなる生成拡大になっているかを考える集合論の分野です. 薄葉  [1] を種本にその基本定理である下方有向性原理を示すのがこのシリーズの目標ですが,今回はその中で大きな役割を果す,Bukovskyによる強制拡大の特徴付けを証明します.

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Bukovskýの定理:大域被覆性質による特徴付け

前回までの結果により,与えられた宇宙VVの基礎モデルすべてを一様に列挙出来るようになり,マントルという構造を定義出来るようになった.

  • マントルM\mathbb{M}とはVVの基礎モデルすべての共通部分である.

  • 生成マントルgMg\mathbb{M}とはVVのすべての生成拡大のマントルの共通部分である.

gMg\mathbb{M}M\mathbb{M}は一致するのか?これらはZFC\mathrm{ZFC}のモデルになるのか?といった問題が自然と浮かんでくるが,そうした問題は薄葉  [1] によって証明された次の基礎モデルの強い下方有向性定理によって一挙に解決されたのだった:

任意の集合XXに対し,{WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}の共通の基礎モデルが存在する. 但し,WrW_rrrによって決定されるVVの基礎モデルを表す.

M=gM\mathbb{M} = g\mathbb{M}であり,M\mathbb{M}ZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデル.

いよいよこの定理を示していきたいが,その中では次の古典的なBukovskýの定理が重要な役割を果す:

MVM \subseteq Vを共にZFC\mathrm{ZFC}のモデルとする. (M,V)(M, V)κ\kappa-大域被覆性質κ\kappa-global covering property; κ\kappa-GCP)を持つdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}任意の順序数αOn\alpha \in \mathord{\mathrm{On}}VVの関数f:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}に対して,F:α[On]<κF: \alpha \to [\mathord{\mathrm{On}}]^{<\kappa}FMF \in Mかつf(α)F(α)f(\alpha) \in F(\alpha)を満たすものが取れる.

MVM \subseteq VZFC\mathrm{ZFC}の内部モデルとし,κ\kappaMMで正則基数であるとする. このとき,次は同値:

  1. κ\kappa-c.c.擬順序PM\mathbb{P} \in M(M,P)(M, \mathbb{P})-生成フィルターGVG \in VがあってV=M[G]V = M[G].

  2. (M,V)(M, V)κ\kappa-大域被覆性を持つ.

任意の擬順序集合P\mathbb{P}について,P\mathbb{P}P|\mathbb{P}|-c.c. を持つので,上のBukovskýの定理はあらゆる強制法1による強制拡大の特徴付けを与えている.

そこで,今回はFriedman–Fuchino–Sakai  [2] とSchindler  [3] を参考にBukovskýの定理の現代的な証明を与える.

強制法の一般論から,κ\kappa-c.c. 拡大ならκ\kappa-大域被覆性質を持つことはわかる:

P\mathbb{P}κ\kappa-c.c. 強制概念,GG(V,P)(V, \mathbb{P})-生成フィルターの時,(V,V[G])(V, V[G])κ\kappa-大域被覆性質を持つ.

V[G]V[G]においてf:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}を固定し,f˙G=f\dot{f}^G = fとなるP\mathbb{P}-名称f˙VP\dot{f} \in V^{\mathbb{P}}をとる. このとき,各ξ<α\xi < \alphaに対しAξ\mathcal{A}_\xi{pPundefinedβpf˙(ξˇ)=βˇ}\left\{\: p \in \mathbb{P} \;\middle|\; \exists \beta \: p \Vdash \text{“}\dot{f}(\check{\xi}) = \check{\beta}\text{”} \:\right\}に含まれる中で極大な反鎖とする. P\mathbb{P}κ\kappa-c.c. を満たすので,各ξ\xiにつきAξ<κ|\mathcal{A}_\xi| < \kappaとなる. そこでF(ξ):={βundefinedpAξpf˙(ξˇ)=βˇ}F(\xi) \mathrel{:=} \left\{\: \beta \;\middle|\; \exists p \in \mathcal{A}_\xi \: p \Vdash \text{“}\dot{f}(\check{\xi}) = \check{\beta}\text{”} \:\right\}とおけば,各F(ξ)F(\xi)の候補は高々κ\kappa個未満しかないので,F:α[On]<κF: \alpha \to [\mathord{\mathrm{On}}]^{<\kappa}かつFVF \in Vとなる. また,定義より明らかにf(ξ)F(ξ)f(\xi) \in F(\xi)が成り立つ.

大域被覆性質からκ\kappa-c.c. 強制拡大の特徴付け

よって,後は逆向きの命題,即ち「(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を持つならVVWWκ\kappa-c.c. 生成拡大となる」を示していけばよい. つまり,(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を満たすとして,WWにおいてκ\kappa-c.c. を満たすPW\mathbb{P} \in W(W,P)(W, \mathbb{P})-生成的なGVG \in VV=W[G]V = W[G]を満たすようなものを見付けてこなくてはいけない.

これは次のような戦略で示される:

  1. (W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を持つなら,VVの任意の集合はκ\kappa-c.c. 強制法でWWに付け加えることが出来る.

  2. また,非自明なκ\kappa-c.c. 強制法は必ず2<κ2^{<\kappa}の部分集合を付け加える.

    • つまり,P(2<κ)\mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa})を変えないκ\kappa-c.c. 強制法は自明で,宇宙に何の影響を与えないことになる.

  3. そこでκ\kappa-c.c. 強制法でA=PV(2<κ)A = \mathop{\mathcal{P}}^{V}(2^{<\kappa})WWに付け加えW[A]W[A]とする. W[A]=VW[A] = Vとなっていることを示せばよい.

  4. このとき(W[A],V)(W[A], V)κ\kappa-大域被覆性質を持ち,κ\kappa-c.c. 拡大によってVVの任意の集合xVx \in Vを付け加えられる.

  5. しかし,W[A]W[A]の時点でP(2<κ)\mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa})はめいっぱいに取れているので,W[A]W[A]W[A][x]W[A][x]P(2<κ)\mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa})の値は一致する.

  6. よってxW[A][x]=W[A]x \in W[A][x] = W[A]となり,xVx \in Vは任意だったからV=W[A]V = W[A]となる.

非自明なκ\kappa-c.c. 強制法は2<κ2^{<\kappa}の部分集合を足す

まずは上の (2)を示そう. これは次のようにして示せる:

P\mathbb{P}が非自明なκ\kappa-c.c. 強制概念ならP\mathbb{P}は新たな2<κ2^{<\kappa}の部分集合を足す.

T˙\dot{T}VVに属さない順序数の集合の名前とする:PT˙P(On)Vˇ\Vdash_{\mathbb{P}} \text{“}\dot{T} \in \mathop{\mathcal{P}}(\mathord{\mathrm{On}}) \setminus \check{V}\text{”}. 十分大きなθ\thetaをとり,次を満たすMHθM \prec \mathcal{H}_\thetaをとる:

  1. M2<κ|M| \leq 2^{<\kappa},

  2. <κMM{}^{<\kappa} {M} \subseteq M,

  3. T˙,P,κM\dot{T}, \mathbb{P}, \kappa \in M.

S˙\dot{S}PS˙=T˙Mˇ{}\Vdash_{\mathbb{P}} \dot{S} = \dot{T} \cap \check{M}なるP\mathbb{P}-名称とする. このときPS˙Vˇ\Vdash_{\mathbb{P}} \text{“}\dot{S} \notin \check{V}\text{”}が示せれば良い. そこでpPp \in \mathbb{P}SP(2<κ)VS \in \mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa}) \cap VpS˙=Sˇp \Vdash \text{“}\dot{S} = \check{S}\text{”}となるものがあったとして矛盾を導く. 簡単のためP\mathbb{P}は完備Boole代数だとして,p:=[[S˙=Sˇ]]>0p \mathrel{:=} {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right]}}_{} > 0とならP\mathbb{P}が濃度κ\kappaの反鎖を持つことを示せばよい(背理法).

発想としては,S˙\dot{S}の値がSˇ\check{S}と途中の桁までは一致するが,ある点で食い違うように強制する条件の列が求めるものになる. 具体的には,以下を満たすようにξαMOn\xi_\alpha \in M \cap \mathord{\mathrm{On}}およびpα,qαPMp_\alpha, q_\alpha \in \mathbb{P} \cap Mをとっていく:

  1. 0<pβ,qβpα0 < p_\beta, q_\beta \leq p_\alpha and ppαp \leq p_\alpha if α<β<κ\alpha < \beta < \kappa,

  2. ξαS\xi_\alpha \in SならpαξˇαT˙p_\alpha \Vdash \check{\xi}_\alpha \in \dot{T} and qαξˇT˙q_\alpha \Vdash \check{\xi} \notin \dot{T}ξαS\xi_\alpha \notin Sならpαp_\alphaqαq_\alphaの役割を逆にする.

Diagram

こうすれば,A={qαundefinedα<κ}\mathcal{A} = \left\{\: q_\alpha \;\middle|\; \alpha < \kappa \:\right\}が濃度κ\kappaの反鎖となるのは明らかである.

では実際にとっていく. γ<κ\gamma < \kappaに対して,pα,qβundefinedβ<γ\left\langle\: p_\alpha, q_\beta \; \middle|\; \beta < \gamma \:\right\rangleまで上記を満たすように取れているとする. MM<κ{<}\kappa-列で閉じていることからpαundefinedα<γM\left\langle\: p_\alpha \; \middle|\; \alpha < \gamma \:\right\rangle \in Mとなり,特にp:=α<γpαMp' \mathrel{:=} \prod_{\alpha < \gamma} p_\alpha \in Mである. 特に,pαp_\alphaたちはSˇ\check{S}を近似するようにとれているから,p=[[S˙=Sˇ]]p = {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\dot{S} = \check{S}\right]\!\!\right]}}_{}より0<pp0 < p \leq p'となる事に注意する. 一方,初等性よりMPT˙VˇM \models \text{“}{} \Vdash_{\mathbb{P}} \dot{T} \notin \check{V}\text{”}なので,ξγMOn\xi_\gamma \in M \cap \mathord{\mathrm{On}}p[[ξγT˙]],p[[ξγT˙]]p' \cdot {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right]}}_{} , p' \cdot {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right]}}_{}が共に正となるものが取れる. そこでξγS\xi_\gamma \in Sならpγ:=p[[ξγT˙]]p_\gamma \mathrel{:=} p' \cdot {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \in \dot{T}\right]\!\!\right]}}_{}, qγ:=p[[ξγT˙]]q_\gamma \mathrel{:=} p' \cdot {\mathchoice{% \left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right] }{\left[\!\!\left[\xi_\gamma \notin \dot{T}\right]\!\!\right]}}_{}とし,そうでなければ逆になるようにpγ,qγp_\gamma, q_\gammaを定めれば,上記の条件を満たすように取れる.

よって望み通りA={qαundefinedα<κ}\mathcal{A} = \left\{\: q_\alpha \;\middle|\; \alpha < \kappa \:\right\}が取れた. ここでもしα<β\alpha < \betaならqαq_\alphaqβq_\betaξα\xi_\alphaT˙\dot{T}への所属の可否で互いに食い違っているので両立しないから,A\mathcal{A}は濃度κ\kappaP\mathbb{P}の反鎖となる.

P\mathbb{P}κ\kappa-c.c. 強制概念,GG(V,P)(V, \mathbb{P})-生成的でP(2<κ)V=P(2<κ)V[G]\mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa}) \cap V = \mathop{\mathcal{P}}(2^{<\kappa}) \cap V[G]なら,V=V[G]V = V[G].

大域被覆性からκ\kappa-c.c. 強制法を得る

よって,後は上の (1),つまり(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を持つなら,VVの任意の元をκ\kappa-c.c. 強制法で付け加えられる事を示そう. より強く,任意のxVx \in Vが何らかのκ\kappa-c.c. 強制法PxW\mathbb{P}_x \in Wの生成フィルターGxG_xと一対一に対応しており,V[Gx]V[G_x]xxを含む最小のVVの拡大となることを示す.

いま,我々が考えているのはZFC\mathrm{ZFC}のモデルだけであり,任意の集合は順序数の集合でコードできる. よって,特にVVの順序数の集合についてだけ考えれば良い.

そこで,ある特定の順序数の部分集合の情報を記述するのに十分な無限論理の体系を考えよう.

κμ\kappa \leq \muを無限基数とする. 無限論理L:=Lκ(μ)\mathcal{L} \mathrel{:=} \mathcal{L}_\kappa(\mu)を次で定める:

述語記号

ξ<μ\xi < \muに対しξˇa˙\check{\xi} \in \dot{a}をゼロ項述語記号(述語定数)とする.

論理式
  1. 原子論理式ξˇa˙\text{“}\check{\xi} \in \dot{a}\text{”}は論理式である.

  2. φ\varphiが論理式なら¬φ\neg \varphiも論理式.

  3. ΓL\Gamma \subseteq \mathcal{L}κ\kappa個未満の論理式の集合なら,Γ\mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \Gammaも論理式.

  • Lκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)の論理式の集合は,考えるモデルによって変わる. 実際,WWの中では濃度κ\kappa以上だった集合Γ\GammaVVの中ではκ\kappa未満になっている場合があり,この場合Γ\mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \GammaWWでは定義されないがVVでは定義される.

  • Lκ(μ)\mathcal{L}_{\kappa}(\mu)の論理式の個数はμ<κ\mu^{<\kappa}個である.

適当な集合AμA \subseteq \muに対して,自然にLκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)-構造が定まる:

φ\varphiLκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)-論理式,AμA \subseteq \muとする. 充足関係AφA \models \varphiを次で定める:

  • Aξˇa˙defξAA \models \text{“}\check{\xi} \in \dot{a}\text{”} \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \xi \in A,

  • A¬φdefAφA \models \neg \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} A \nvDash \varphi,

  • AΓdefφΓAφA \models \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \Gamma \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \exists \varphi \in \Gamma \: A \models \varphi.

また,公理系ΓLκ(μ)\Gamma \subseteq \mathcal{L}_{\kappa}(\mu)に対し,AΓA \models \GammaφΓAφ\forall \varphi \in \Gamma \: A \models \varphiのこととする.

以上で無限論理の意味論は与えたので,今度は証明体系も与えたい. 無限長のオブジェクトを扱っているので,何処で考えるかによって証明体系は変わってきそうである. つまり,WWを含む(推移的)モデルの間で,Γφ\text{“}\Gamma \vdash \varphi\text{”}の意味がかわらないようにしたい. だって,WWの中で「φ\varphiΓ\Gammaの定理だよ!」と言うのに,より広いVVの中で「定理じゃないよ!」ということになっていては困る. これには,実際に無限長の論理式と証明木を使って定義する方法もある(Friedman–Fuchino–Sakai  [2] を参照)が,今回は強制法と記述集合論の結果を使ってやることにする.

その中心的な役割を担うのが,次の崩壊強制法である:

順序数αω\alpha \geq \omegaを可算に潰す崩壊強制Col(ω,α)\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \alpha)とは<ωα{}^{<\omega} {\alpha}を台集合とし,pqdefpqp \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \supseteq qにより順序を定めたものである.

  • 「有限列」の概念はどの推移的モデルで考えても変わらないので,任意の順序数α\alphaに対しCol(ω,α)\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \alpha)は常に一致する.

  • GGCol(ω,α)\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \alpha)-生成的とするとき,f:=Gf \mathrel{:=} \bigcup Gとおけば,Dξ={pundefinedξran(p)}(ξ<α)D_\xi = \left\{\: p \;\middle|\; \xi \in \mathop{\mathrm{ran}}(p) \:\right\}\;(\xi < \alpha)の稠密性よりffω\omegaからα\alphaへの全射となり,V[G]α=0V[G] \models |\alpha| = \aleph_0となる.

なぜ可算に潰すような強制法を考えるのかといえば,崩壊強制法によりWWにおけるL\mathcal{L}-論理式の全体を可算にしてしまえば,各論理式φLκW(μ)\varphi \in \mathcal{L}_{\kappa}^W(\mu)はあるBorel集合と同一視出来るからである.

なぜか? まずν=(μ<κ)W\nu = (\mu^{<\kappa})^{W}が可算になっているので,まずμ\muは可算集合であり,各元ξ<μ\xi < \muは自然数n<ωn < \omegaと一対一に対応させられる. このとき,原子論理式na˙n \in \dot{a}は,「a˙\dot{a}の二進展開のnn桁目が11になる」という命題だと思え,これはω2{}^{\omega} {2}の基本開集合に当たる. 否定や無限選言を取る所も,集合演算としては補集合と可算和を取るところに対応している. それで閉じているのがLκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)だから,結局AφA \models \varphiAAが「コード」している実数がφ\varphiの定めるBorel集合に含まれているか?という述語に他ならないのである.

では,Borel集合としてコード出来ると何が嬉しいのか?実は,実数の集合論において次の絶対性が成り立つことが知られている:

Π11\mathbf{\Pi}^1_1-論理式は任意の推移的モデルの間で絶対的. 即ち,MVM \subseteq Vが推移的モデルだとして,φ\varphiMMにパラメータを持つ論理式で,Borel集合を定義するとする:M{(x,z)undefinedφ(x,z)}:BorelM \models \text{“}\left\{\: (x, z) \;\middle|\; \varphi(x, z) \:\right\}: \text{Borel}\text{”}. この時,xMx \in Mに対し: Mzφ(x,z)Vzφ(x,z).M \models \forall z \: \varphi(x, z) \iff V \models \forall z \: \varphi(x, z).

証明はたとえば拙稿「絶対性チートシート [4] を参照.

これを踏まえて,WWにおけるL\mathcal{L}の公理系の「証明」体系を次のように定めよう:

ΓLκ(μ)\Gamma \subseteq \mathcal{L}_\kappa(\mu)φLκ(μ)\varphi \in \mathcal{L}_\kappa(\mu)とする. この時,証明可能性述語Γφ\Gamma \vdash \varphiを次で定める: ΓLκ(μ)φdefCol(ω,μ<κ)AΓAφ.\Gamma \vdash_{\mathcal{L}_\kappa(\mu)} \varphi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} {}\Vdash_{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \mu^{<\kappa})} \text{“}\forall A \models \Gamma \: A \models \varphi\text{”}. :\bot \mathrel{:\equiv} \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \emptyset矛盾と呼ぶ. Γ\Gamma \nvdash \botの時Γ\Gamma無矛盾であるという.

AΓA \models \GammaなるAμA \subseteq \muが存在すればΓ\Gammaは無矛盾2

すると,上のMostowski絶対性を認めれば,Γφ\Gamma \vdash \varphiの「絶対性」が言える:

WVW \subseteq Vを推移的モデルとする. Γ,φW\Gamma, \varphi \in WをそれぞれWWにおけるLκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)-理論とLκ(μ)\mathcal{L}_\kappa(\mu)-論理式とすると, ΓLκ(μ)WφΓLκ(μ)Vφ.\Gamma \vdash_{\mathcal{L}_\kappa(\mu)}^W \varphi \iff \Gamma \vdash^{V}_{\mathcal{L}_\kappa(\mu)} \varphi.

以下,νW:=(μ<κ)W\nu^W \mathrel{:=} (\mu^{<\kappa})^WνV:=(μ<κ)V\nu^V \mathrel{:=} (\mu^{<\kappa})^Vと表す.

AφA \models \varphi」はBorelなのでどんな推移的モデルで見ても変わらない. よって,上の定義からΓφ\Gamma \vdash \varphiΠ11\mathbf{\Pi}^1_1で書ける性質である. WCol(ω,νW)VCol(ω,νV)W^{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \nu^W)} \subseteq V^{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \nu^V)}に気を付ければ,Mostowski絶対性より, WCol(ω,νW)AΓAφVCol(ω,νV)AΓAφW^{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \nu^W)} \models \text{“}\forall A \models \Gamma \: A \models \varphi\text{”} \iff V^{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \nu^{V})} \models \text{“}\forall A \models \Gamma \: A \models \varphi\text{”}

「公理系Γ\Gammaが無矛盾」は推移的モデルの間で絶対.

さて,いよいよL\mathcal{L}を使ってκ\kappa-c.c. 強制法を定義する.

g:[L]κ[L]<κg: [\mathcal{L}]^{\kappa} \to [\mathcal{L}]^{<\kappa}g(Γ)Γg(\Gamma) \subseteq \Gammaを満たすとする.

  • φ\varphigg-違法(gg-illegal) def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} Γ[L]κWφΓg(Γ)\exists \Gamma \in [\mathcal{L}]^\kappa \cap W \: \varphi \in \Gamma \setminus g(\Gamma).

  • 理論TgLT^g \subseteq \mathcal{L}gg-違法な論理式φ\varphiφΓg(Γ)\varphi \in \Gamma \setminus g(\Gamma)なるΓ\Gammaに対し,次の形の論理式からなる: φg(Γ)({¬φ,g(Γ)}).\varphi \rightarrow \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} g(\Gamma)\; \left(\equiv \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \left\{ \neg \varphi, \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} g(\Gamma) \right\}\right).

  • 強制概念(Pg,)(\mathbb{P}_g, \leq)を次で定める: Pg:={φLundefinedTg{φ}:無矛盾}φψdefTg{φ}ψ.\begin{gathered} \mathbb{P}_g \mathrel{:=} \left\{\: \varphi \in \mathcal{L} \;\middle|\; T_g \cup \left\{ \varphi \right\}: \text{無矛盾} \:\right\}\\ \varphi \leq \psi \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} T_g \cup \left\{ \varphi \right\} \vdash \psi. \end{gathered}

まず,こうして定めたPg\mathbb{P}_gが目的通りκ\kappa-c.c. を満たすことを見よう.

Pg\mathbb{P}_gκ\kappa-c.c. を持つ.

Γ[Pg]κ\Gamma \subseteq \left[\mathbb{P}_g\right]^\kappaを任意に取る. φΓg(Γ)\varphi \in \Gamma \setminus g(\Gamma)を一つとれば,TgT_gの定義からφg(Γ)Tg\varphi \rightarrow \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} g(\Gamma) \in T_gなので,順序の定義よりφg(Γ)\varphi \leq \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} g(\Gamma)となる. このとき,\mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \emptysetTgT_gと「矛盾」するので,g(Γ)g(\Gamma) \neq \emptysetである. そこでψg(Γ)\psi \in g(\Gamma)を取れば,ψφ\psi \neq \varphiでありφ,ψ\varphi, \psiは明らかに両立する. よってΓ\Gammaは反鎖ではない.

ggの選び方によってはどうあっても矛盾するのでPg=\mathbb{P}_g = \emptysetになるかもしれないし,自明な元しか持たないかもしれない. しかし,TgT_gはある集合をPg\mathbb{P}_gの形でコード出来るかを知るための十分条件を与えてくれる:

WVW \subseteq VZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデル, Wg:[L]κ[L]<κW \models g: [\mathcal{L}]^\kappa \to [\mathcal{L}]^{<\kappa}とし,P:=PgW\mathbb{P} \mathrel{:=} \mathbb{P}_g^Wとおく. ここで,AP(μ)VA \in \mathop{\mathcal{P}}(\mu) \cap VA(Tg)WA \models (T_g)^Wを満たすなら, GA:={φPgundefinedAφ}G_A \mathrel{:=} \left\{\: \varphi \in \mathbb{P}_g \;\middle|\; A \models \varphi \:\right\}(W,P)(W, \mathbb{P})-生成フィルターであり,A={ξ<μundefinedξˇa˙GA}W[GA]A = \left\{\: \xi < \mu \;\middle|\; \text{“}\check{\xi} \in \dot{a}\text{”} \in G_A \:\right\} \in W[G_A]WWAAを含む最小のZFC\mathrm{ZFC}の推移的モデルとなっている.

GAG_Aがフィルターとなること,A={ξ<μundefinedξˇa˙GA}A = \left\{\: \xi < \mu \;\middle|\; \text{“}\check{\xi} \in \dot{a}\text{”} \in G_A \:\right\}となることは良い. また,AAGAG_Aは互いの情報を過不足なく持っているので,W[GA]W[G_A]が生成拡大であることさえ言えれば,強制定理から最小性も従う.

そこでGAG_AWW上の生成性を示そう. AW\mathcal{A} \in WP\mathbb{P}の極大反鎖とすると,P\mathbb{P}WWκ\kappa-c.c. を持つことからAW<κ|\mathcal{A}|^W < \kappaとなるので,A\mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A}L\mathcal{L}の論理式である. ここでGAG_A{\mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} }の定義よりGAAG_A \cap \mathcal{A} \neq \emptysetAAA \models \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A}は同値である事に注意する. よって,もしGA=G \cap \mathcal{A} = \emptysetならA¬AA \models \neg \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A}となる. すると注意 3よりVVTg{¬A}T_g \cup \left\{ \neg \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A} \right\}は無矛盾となり,無矛盾性の絶対性(系 3)よりWWでも無矛盾である. よってGAG_APg\mathbb{P}_gの定義から¬AGA\text{“}\neg \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A}\text{”} \in G_Aを得る. するとAGA=\mathcal{A} \cap G_A = \emptysetよりA:=A{¬A}\mathcal{A}' \mathrel{:=} \mathcal{A} \cup \left\{ \neg \mathop{\mathchoice{ \bigvee\hspace{-2ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.6ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1.4ex}\bigvee }{\bigvee\hspace{-1ex}\bigvee }} \mathcal{A} \right\}A\mathcal{A}を真に含む反鎖となるが,これはA\mathcal{A}の極大性に反する.

よって,あとはどんなAAに対してもA(Tg)WA \models (T^g)^WとなるようなgWg \in Wが取れることが言えればよい. しかし,これはκ\kappa-大域被覆性質から直ちに従う:

(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を満たすなら,任意のAμA \subseteq \muに対しATgA \models T_gとなるgWg \in Wが取れる.

VVにおいてf:[L]κWLf: [\mathcal{L}]^\kappa \cap W \to \mathcal{L}を次で定める: f(Γ):={φ(if φΓ,Aφ)arbitrary(otherwise).f(\Gamma) \mathrel{:=} \begin{cases} \varphi & (\text{if } \varphi \in \Gamma, A \models \varphi)\\ \text{arbitrary} & (\text{otherwise}). \end{cases} この時,L\mathcal{L}-論理式を適切に添え字づけておけば,κ\kappa-被覆性質からgWg \in Wg:[L]κW[L]<κWg: [\mathcal{L}]^\kappa \cap W \to [\mathcal{L}]^{<\kappa} \cap Wf(Γ)g(Γ)f(\Gamma) \in g(\Gamma)を満たすものが取れる. すると取り方から明らかにATgA \models T_gとなるので,補題 5よりGAG_AAAをコードする(V,Pg)(V, \mathbb{P}_g)-生成集合となる.

以上から直ちに目標の次の系が得られる:

(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を満たすなら,任意のxVx \in VWWのあるκ\kappa-c.c. 強制法PxW\mathbb{P}_x \in Wにより付加される. 特に,xVx \in V(W,Px)(W, \mathbb{P}_x)-生成的となる.

Bukovskýの定理の証明

これまでの道具立てを使えば,Bukovskyの定理は上で述べた方針をなぞるだけで示せる:

(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性質を持つとする. 記号が重いので,μ:=(2<κ)V\mu \mathrel{:=} (2^{<\kappa})^Vとおく.

この時,上の系 4よりWWにおけるκ\kappa-c.c. 強制法P\mathbb{P}が存在し,A:=PV(μ)A \mathrel{:=} \mathop{\mathcal{P}}^V(\mu)(W,P)(W, \mathbb{P})-生成的になっている. W[A]W[A]の推移性よりAW[A]A \subseteq W[A]だから,結局PW[A](μ)=A\mathop{\mathcal{P}}^{W[A]}(\mu) = Aとなる. また,(W[G],V)(W[G], V)κ\kappa-大域被覆性を持つことに注意する. 実際,f:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}VVの写像とすれば,(W,V)(W, V)κ\kappa-大域被覆性よりFWF \in WF:α[On]<κF: \alpha \to [\mathord{\mathrm{On}}]^{<\kappa}かつf(ξ)F(ξ)f(\xi) \in F(\xi)を満たすものが取れ,FWW[A]F \in W \subseteq W[A]となる.

そこで,任意にxVx \in Vを任意に取れば,再び系 4よりW[A][x]W[A][x]W[A]W[A]κ\kappa-c.c. 強制拡大になっている. しかし,W[A]W[A][x]VW[A] \subseteq W[A][x] \subseteq Vより: A=PW[A](μ)PW[A][x](μ)PV(μ)=A.A = \mathop{\mathcal{P}}^{W[A]}(\mu) \subseteq \mathop{\mathcal{P}}^{W[A][x]}(\mu) \subseteq \mathop{\mathcal{P}}^V(\mu) = A. よってPW[A](μ)=PW[A][x](μ)\mathop{\mathcal{P}}^{W[A]}(\mu) = \mathop{\mathcal{P}}^{W[A][x]}(\mu)を得る. すると,系 2よりW[A]W[A][x]W[A] \subseteq W[A][x]は自明な拡大なのでxW[A][x]=W[A]x \in W[A][x] = W[A]となる. いまxVx \in Vは任意だったからW[A]=VW[A] = Vとなる. よってVVWWκ\kappa-c.c. 拡大である.

ZFC\mathrm{ZFC}の部分体系への一般化と一意性定理

これまでの証明を注意深く分析すれば,ZFC\mathrm{ZFC}よりも弱い体系についてBukovskýの定理が成り立つことがわかる.

特に,第一回に定義した以下の体系ZFCδ\mathrm{ZFC}_\delta^*に置換公理を加えたモデルについてもBukovskýの定理は成り立つ:

ZFCδ\mathrm{ZFC}_\delta^*の言語は述語記号\inに加え定数記号δ,λ\delta, \lambdaを持ち,公理は以下で与えられる.

  1. ZCPower\mathrm{ZC}-\mathrm{Power}:内包,対,和集合,無限,基礎,整列定理,

  2. δ\deltaは正則基数」,

  3. δ{\leq}\delta-置換公理:任意のf:δVf: \delta \to Vと集合AAに対し像f[A]f[A]が存在.

  4. κ{\leq}\kappa-冪集合公理:任意の集合AAに対し濃度δ\delta以下の部分集合全体からなる集合[A]κ[A]^{\leq\kappa}が存在.

  5. P(<κ2)\mathop{\mathcal{P}}({}^{<\kappa} {2})が存在する.

  6. 順序数コード公理:任意の集合AAは順序数α\alphaとその上の二項関係EEによりtrcl({A}),α,E\langle \mathop{\mathrm{trcl}}(\left\{ A \right\}), {\in} \rangle \simeq \langle \alpha, E \rangleの形でコード出来る.

また,ZFCκ:ZFCκκ+無制限の置換公理\mathrm{ZFC}^{\leq\kappa} \mathrel{:\equiv} \text{“}\mathrm{ZFC}^{\leq\kappa}_\kappa + \text{無制限の置換公理}\text{”}ZFCδ:ZFCδδ+冪集合公理\mathrm{ZFC}_\delta \mathrel{:\equiv} \text{“}\mathrm{ZFC}_\delta^{\leq\delta} + \text{冪集合公理}\text{”}と略記する.

WVW \subseteq Vを共にZFCδ\mathrm{ZFC}^{\leq\delta}の推移的モデルとする. この時,(W,V)(W, V)δ\delta-大域被覆性性質を持つこととVVWWδ\delta-c.c. 拡大であることは同値.

強制法がZFCδ<κ\mathrm{ZFC}^{<\kappa}_\deltaの公理を保存する事と,A=PV(<δ2)A = \mathop{\mathcal{P}}^V({}^{<\delta} {2})にMostowski絶対性を適用するのにフルの冪集合は必要ない事などに気を付ければ,これまでの証明が通ることがわかる.

これから直ちに次が従う.

μ:=(2<δ)+\mu \mathrel{:=} (2^{<\delta})^+とおく. W,WVW, W' \subseteq Vが十分に大きなκ\kappaについてZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}の推移的モデルで(W,V)(W, V)および(W,V)(W', V)が共にδ\delta-大域被覆性質を持つとする. もし<μ2W=<μ2W{}^{<\mu} {2} \cap W = {}^{<\mu} {2} \cap W'ならW=WW = W'となる.

δ\delta-大域被覆性質からVVWWおよびWW'δ\delta-c.c. 拡大になっている事がわかる. すると補題 2の証明から(W,V)(W, V)および(W,V)(W', V)μ\mu-近似性質を持つ. また,明らかに大域被覆性質は上に遺伝するので,これらはμ\mu-大域被覆性質を持ち,μ\muの正則性より特にμ\mu-被覆性質も持つ. また,μ\mu-大域被覆性質よりμ+W=μ+W=μ+V\mu^{+W} = \mu^{+W'} = \mu^{+V}も成り立つ. したがって前回示したZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}のモデルの一意性からW=WW = W'となる.

次回予告

次回は,いよいよ目標であったsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}の証明を与えます.

参考文献

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  • [2]S. D. Friedman, S. Fuchino, and H. Sakai, “On the set-generic multiverse,” 06-Jul-2016. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1607.01625. [Accessed: 07-Jul-2016].
  • [3]R. Schindler, “The long extender algebra,” Archive for Mathematical Logic, Sep. 2017.
  • [4]石井大海, “絶対性チートシート,” 2016. [Online]. Available: http://konn-san.com/math/absoluteness-cheatsheet.html.
  • [5]G. Fuchs, J. D. Hamkins, and J. Reitz, “Set-Theoretic Geology,” 18-Nov-2014. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1107.4776. [Accessed: 31-Jul-2017].

  1. 正確には,擬順序集合による強制法の特徴付けであり,真のクラスを成すような擬順序による強制法の特徴付けにはならない.本稿では断わらない限り擬順序集合による強制法しか考えない.

  2. 実際には,崩壊強制法の均質性という性質から,Γ\Gammaの無矛盾性とVCol(ω,μ<κ)V^{\mathop{\mathrm{Col}}(\omega, \mu^{<\kappa})}においてΓ\Gammaのモデルが存在することが同値になる.


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