概要

本稿は集合論の地質学に関する記事の第四回目です:

  1. 概観と基礎モデルの定義可能性

  2. マントルの構造と下方有向性原理

  3. Bukovský の定理──強制拡大の特徴付け

  4. 下方有向性原理の証明(今回)

集合論の地質学は,与えられた集合論の宇宙 VV の内部モデルがいかなる生成拡大になっているかを考える集合論の分野です. 今回は,薄葉   [1] で証明された基本定理である下方有向性原理sDDG\mathrm{sDDG})の証明を与えます. sDDG\mathrm{sDDG} は全ての基礎モデルの共通部分であるマントル M\mathbb{M}ZFC\mathrm{ZFC} のモデルとなることや、生成多宇宙における包含関係と生成拡大関係が一致することなどを導く強力な原理でした。 その詳しい帰結については、初回前々回を御覧ください。

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下方有向性定理の証明

いよいよこのシリーズのメインデュッシュである,次の定理の証明を与えます:

任意の集合個の VV の基礎モデル {WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\} に対し,共通の基礎モデル WrWrW \subseteq \bigcap_r W_r が存在する.

この sDDG\mathord{\mathrm{sDDG}} から,全ての基礎モデルの共通部分であるマントル M\mathbb{M}ZFC\mathrm{ZFC} を満たす内部モデルとなることや,強制法で不変な最大のクラスであること,また VV の生成多宇宙における包含関係と生成拡大の関係は一致することなどは第二回で既に見ました.

前回はこの証明の中で重要な役割を担う Bukovský による κ\kappa-c.c.  拡大の特徴付けを与えました:

ZFCδ\mathrm{ZFC}^{\leq \delta} の推移的モデルの組 (W,V)(W, V)δ\delta- 大域被覆性質を持つことと,VVWWδ\delta-c.c.  生成拡大であることは同値.

この系として,次の補題が得られていました:

μ:=(2<δ)+\mu \mathrel{:=} (2^{<\delta})^+ とおく. W,WVW, W' \subseteq VZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu} の推移的モデルで (W,V)(W, V) および (W,V)(W', V) が共に δ\delta- 大域被覆性質を持つとする. もし <μ2W=<μ2W{}^{<\mu} {2} \cap W = {}^{<\mu} {2} \cap W' なら W=WW = W' となる.

また,一般の強制拡大は κ\kappa- 擬基礎モデルと呼ばれるものになることが初回の議論でわかっていました:

P\mathbb{P} を擬順序,GG(V,P)(V, \mathbb{P})- 生成フィルター,Pκ|\mathbb{P}| \leq \kappa とする. この時 VVV[G]V[G] の擬基礎モデルとなる. 特に (κ++)V=(κ++)W(\kappa^{++})^V = (\kappa^{++})^W であり,VWV \subseteq Wκ+\kappa^+- 被覆性質および κ+\kappa^+- 近似性質を満たす.

また,生成拡大に挟まれた ZFC\mathrm{ZFC} のモデルも生成拡大になる,というお馴染の次の事実も使います:

VWV[G]V \subseteq W \subseteq V[G] が全て ZFC\mathrm{ZFC} の推移的モデルで V[G]V[G]VV の生成拡大なら,WWVV の生成拡大で,V[G]V[G]WW の生成拡大となる.

ところで,上の形の主張であれば,牛刀ですが Bukovský の定理から従うので余力があれば示してみてください.

これらを踏まえて,基本的には求める WrXWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_r は十分大きな μ\mu に対して μ\mu- 大域被覆性質を持つモデルの終拡張の和として実現されます. もう少し具体的に述べれば,次のような戦略で構成が行われます:

  1. 任意の rr に対し WWrVW \subseteq W_r \subseteq V となるような,VV の基礎モデル WW が取れればよい. そうすれば WWrVW \subseteq W_r \subseteq V より事実  1から WW は各 WrW_r の基礎モデルとなる.

  2. WrW_rPr\mathbb{P}_r- 生成拡大に関する VV の基礎モデルであるとして,X,Pr<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappa が任意の rr に対して成り立つような κ\kappa を持ってくる.

  3. すると補題  2より各 WrW_rVV に対し κ\kappa- 被覆性質と κ\kappa- 近似性質を持つ.

  4. これを使って,十分大きな任意の θ\theta に対して,ZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu} の推移的モデル MθHθM^\theta \subseteq H_\thetaκ+\kappa^+- 大域被覆性質を持ち MrXWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_r となるものを取ってこれる.

  5. μ:=2κ+\mu \mathrel{:=} 2^{\kappa+} とおけば,一意性補題  1より各 MθM^\theta<μ2Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\theta の値により一意に確定する.

  6. θ\theta の候補が真のクラス個あるのに対して,<μ2Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\theta の候補は集合個しかないので,任意の θ\theta に対し Mθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p が成り立つような p<μ2p \subseteq {}^{<\mu} {2} が取れているとしてよい.

  7. すると,上の一意性補題  1から θ<θ\theta < \theta' なら MθHθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\theta となる. 即ち,MθM^{\theta'}MθM^\theta の終拡張(end-extension)になっている.

  8. W:=θMθW \mathrel{:=} \bigcup_\theta M^\theta とおけば,終拡張の和であることから WW は順序数を全て含み,ZFC\mathrm{ZFC} のモデルとなる.

  9. 更に WW は明らかに VV に対する κ+\kappa^+- 大域被覆性質も満たしている.

  10. よって Bukovský の定理2より望み通り VVWW の生成拡大になっている.

以下,記事を通して以下の記法を固定しておく.

XX を集合とし,{WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}VV の基礎モデルの族とする. 各 rXr \in X に対し,VVWrW_rPr\mathbb{P}_r- 生成拡大だとして,X,Pr<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappa となる正則基数 κ\kappa を一つ固定する. このとき,WrW_r は補題  2および定理  2より κ\kappa- 大域被覆性質と κ\kappa- 近似性質を持つ. μ:=(2κ)+\mu \mathrel{:=} (2^{\kappa})^{+} とする.

κ+\kappa^+- 大域被覆がいっぱい

では上の方針に沿って証明をしていこう. まずは上の  (4)までの部分を示す.

任意の α\alpha に対し,正則基数 θ>κ\theta > \kappa と推移的な ZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu} のモデル MθHθM^\theta \subseteq H_\theta(M,Hθ)(M, H_\theta)κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持ち MrXWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_r となるものが取れる.

HθZFCμH_\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu} を満たす正則基数 θ\theta は非有界に存在するので,一つそんな θ\theta を固定する. γ:=(θ<θ)V\gamma \mathrel{:=} (\theta^{<\theta})^V とおいて,VV における <θθ{}^{<\theta} {\theta}{fiundefinedi<γ}\left\{\: f_i \;\middle|\; i < \gamma \:\right\} により列挙し,h:θ×γθh: \theta \times \gamma \to \theta を次で定める: h(α,i):={fi(α)(if αdom(fi))0(otherwise).h(\alpha, i) \mathrel{:=} \begin{cases} f_i(\alpha) & (\text{if } \alpha \in \mathrm{dom}(f_i))\\ 0 & (\text{otherwise}). \end{cases} この fif_i 達は HθH_\theta において κ+\kappa^+- 大域被覆性質の適用対象となるような f:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}, fHθf \in H_\theta を列挙していて,hh は一本でその辞書の役割をしていると思える.

H:θ×γ[θ]κH: \theta \times \gamma \to [\theta]^{\leq \kappa}HrWrH \in \bigcap_r W_r かつ h(i,α)H(i,α)h(i, \alpha) \in H(i, \alpha) を満たすものが存在.

この HH から各 fi:αθHθf_i: \alpha \to \theta \in H_\theta を被覆する関数が得られる.

η<κ\eta < \kappa に関する帰納法で,次を満たすように各 rXr \in X に対し Hη,rH_{\eta, r} を取っていく:

  1. Hη,rWrH_{\eta, r} \in W_r, Hη,r:θ×γ[θ]<κH_{\eta, r}: \theta \times \gamma \to [\theta]^{<\kappa},

  2. Hη,r(α,i){h(α,i)}sXζ<ηHζ,s(α,i)\displaystyle H_{\eta,r}(\alpha, i) \supseteq \left\{ h(\alpha, i) \right\} \cup \bigcup_{{s \in X}\atop{\zeta < \eta}}H_{\zeta, s}(\alpha, i).

いま各 WrW_rVV に対して κ\kappa- 大域被覆性質を持つことに注意する.

任意の ζ<η\zeta < \etasXs \in X に対し Hζ,sH_{\zeta, s} が定義出来ているとする. この時 VVH(α,i):={h(α,i)}sX,ζ<ηHζ,s(α,i)H'(\alpha, i) \mathrel{:=} \left\{ h(\alpha, i) \right\} \cup \bigcup_{s \in X, \zeta < \eta} H_{\zeta, s}(\alpha, i) とおくと,X×η<κ|X \times \eta| < \kappa および Hζ,s(α,i)<κ|H_{\zeta, s}(\alpha, i)| < \kappa より H(α,i)<κ|H'(\alpha, i)| < \kappa である. よって WrW_r における κ\kappa- 大域被覆性質から WHη,r:θ×γ[θ]<κW \models H_{\eta, r} : \theta \times \gamma \to [\theta]^{<\kappa} を満たす Hη,rWH_{\eta, r} \in WH(α,i)Hη,r(α,i)H'(\alpha, i) \subseteq H_{\eta, r}(\alpha, i) となるものが取れる(これは (α,i){H(α,i)}(\alpha, i) \mapsto \left\{ H'(\alpha, i) \right\} を考えて,その候補を κ\kappa 個未満で近似するものを取り,値域の和を取ればよい). これが求めるものである.

さて,条件を満たす Hη,rH_{\eta, r} が取れた. そこで r0Xr_0 \in X を適当に固定して,H(α,i):=η<κHη,r0(α,i)H(\alpha, i) \mathrel{:=} \bigcup_{\eta < \kappa} H_{\eta, r_0}(\alpha, i) とおく. これが求める HH であることを示す. 特に HrXWrH \in \bigcap_{r\in X} W_r が言えればよい.

とくにいま,各 WrW_rVV に対して κ\kappa- 近似性質を持つから, E:={(α,i,ξ)undefinedηH(α,i)}E \mathrel{:=} \left\{\: (\alpha, i, \xi) \;\middle|\; \eta \in H(\alpha, i) \:\right\} とおいて,任意の z[θ×γ×θ]<κWrz \in [\theta \times \gamma \times \theta]^{<\kappa} \cap W_r に対して zEWrz \cap E \in W_r となることが示せればよい. d:={(α,i)undefinedξ(α,i,ξ)z}d \mathrel{:=} \left\{\: (\alpha, i) \;\middle|\; \exists \xi \: (\alpha, i, \xi) \in z \:\right\} とおけば d<κ|d| < \kappa であり,各 (α,i)d(\alpha, i) \in d に対し {ξ<θundefined(α,i,ξ)Ez}\left\{\: \xi < \theta \;\middle|\; (\alpha, i, \xi) \in E \cap z \:\right\} も濃度 κ\kappa 未満である. よって κ\kappa の正則性から,各 (α,i)(\alpha, i) に対し η(α,i)<κ\eta(\alpha, i) < \kappa{ξ<θundefined(α,η,ξ)Ez}Hη(α,i),r(α,i)\left\{\: \xi < \theta \;\middle|\; (\alpha, \eta, \xi) \in E \cap z \:\right\} \subseteq H_{\eta(\alpha, i), r}(\alpha, i) となるものが取れる. ふたたび κ\kappa の正則性から,η:=sup(α,i)dη(α,i)<κ\eta^* \mathrel{:=} \sup_{(\alpha, i) \in d} \eta(\alpha, i) < \kappa となるので, Ez={(α,i,ξ)zundefinedξHη,r(α,i)}Wr.E \cap z = \left\{\: (\alpha, i, \xi) \in z \;\middle|\; \xi \in H_{\eta^*, r}(\alpha, i) \:\right\} \in W_r. zz は任意なので,EWrE \in W_r を得る. これが示したかったことである.

このとき,全単射 π:θ×γ×θγ\pi: \theta \times \gamma \times \theta \stackrel{\sim}{\to} \gammaπL\pi \in L を満たすものを取り,A:=p[H]A \mathrel{:=} p[H] とおく. AAHH は互いに同じ情報を持っているから,明らかに ArWrA \in \bigcap_r W_r であり,また AA は順序数の集合なので,L[A]ZFCL[A]\models \mathrm{ZFC} である. そこで Mθ:=HθL[A]M^\theta \mathrel{:=} H_\theta \cap L[A] とおく. L[A]L[A]LLAA を含む最小のモデルだったから,θMθrWr\theta \subseteq M^\theta \subseteq \bigcap_r W_r となっている.

まず MθM^\thetaκ+\kappa^+- 大域被覆性質を満たすことを見よう. ここで,HθH_\theta から任意に f:αθf: \alpha \to \theta を取ってくれば,f\vec{f} の取り方から fi=ff_i = f となる i<γi < \gamma が存在する. この時 F(β):=H(β,i)F(\beta) \mathrel{:=} H(\beta, i^*) により F:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\leq \kappa} を定めれば, trcl(F)=αsupβ<αF(β)<θ<θ.\left| \mathop{\mathrm{trcl}}(F) \right| = \alpha \cdot \sup_{\beta < \alpha} \underbrace{|F(\beta)|}_{< \theta} < \theta. よって FHθF \in H_\theta. また FFHH から定義出来るので FL[A]F \in L[A] となり,結局 FL[A]Hθ=MF \in L[A] \cap H_\theta = M となる. このとき定め方から β<α\beta < \alpha に対し f(β)=fi(β)=h(β,i)H(β,i)=F(β)f(\beta) = f_i(\beta) = h(\beta, i) \in H(\beta, i) = F(\beta) となるので,FMF \in Mff を被覆する関数になっている.

あとは MθZFCμM^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu} が示せればよい. 実は,MML[A]L[A] における HθH_\theta そのものと一致していて,特に θ\theta の取り方から MZFCμM \models \mathrm{ZFC}^{\leq \mu} となっている. 実際, xL[H]x \in L[H]VV において trcl({x})<θ\left\lvert\mathop{\mathrm{trcl}}(\left\{ x \right\})\right\rvert < \theta を満たすなら,VV において α<θ\alpha < \thetaφ:αx\varphi: \alpha \twoheadrightarrow x が取れるが,MθM^\thetaHθVH_\theta^V において κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持つことから,F:α[Mθ]κF: \alpha \to [M^\theta]^{\kappa}FMθF \in M^\theta かつ f(β)F(β)f(\beta) \in F(\beta) を満たすものがとれる. 特に xran(F)x \subseteq \mathop{\mathrm{ran}}(F) なので MθM^\theta においても trcl(x)ran(F)κα<θ|\mathop{\mathrm{trcl}}({x})| \leq \bigcup \mathop{\mathrm{ran}}(F) \leq \kappa \cdot \alpha < \theta となり,結局 L[H]{x}<θL[H] \models \left\lvert\left\{ x \right\}\right\rvert < \theta となり,xHθL[H]x \in H_\theta^{L[H]} を得る.

以上より求める MθM^\theta の存在が示せた.

小さな大域被覆モデルを貼り合わせる

前節で  (4)までは終わった. 残りは割合すんなりと行く.まず次の二つの事実は標準的なので認める:

順序数を全て含む推移的クラス WVW \subseteq V について次は同値:

  1. WZFW \models \mathrm{ZF},

  2. WW は Gödel 演算について閉じ,概宇宙的(i.e. zW:setyWzy\forall z \subseteq W: \text{set}\: \exists y \in W\: z \subseteq y).

さて,μ=2κ+\mu = 2^{\kappa+} と略記していたことを思い出そう. 簡単な観察で次がわかる:

p<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2} で,Mθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^* となる θ\theta が非有界に存在するものが存在する.

補題  3より各 MθM^\thetaHθH_\theta に対し κ+\kappa^+- 被覆性質を持つ ZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu} のモデルである. pθ=<μ2Mθp^\theta = {}^{<\mu} {2} \cap M^\theta とおけば,ukovský の定理の系として得られる補題  1より,MθM^\theta<μ2M=p{}^{<\mu} {2} \cap M = p^* かつ MZFCμM \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu} となる一意な HθH_\theta の内部モデルとなるのだった.

いま θ\theta は非有界に(つまり真のクラス個)存在するのに対し,pθp^\theta の候補は高々 22<μ2^{2^{<\mu}} 個しか存在しない. よって鳩ノ巣原理から p<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2}p=pθp^* = p^\theta となる θ\theta が非有界に存在するものが少なくとも一つは取れる.

上の補題の pp^* を固定し,I:={θundefinedMθMθ<μ2=p}I \mathrel{:=} \left\{\: \theta \;\middle|\; \exists M^\theta \: M^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^* \:\right\} と置く.

W:=θIMθW \mathrel{:=} \bigcup_{\theta \in I} M^\theta と定める.

このとき,MθundefinedθI\left\langle\: M^\theta \; \middle|\; \theta \in I \:\right\rangle は終拡張列になっていることがわかります:

θ,θI\theta, \theta' \in I, θ<θ\theta < \theta' とするとき,MθHθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\theta.

θ<θ\theta < \theta' とし,M:=MθHθM' \mathrel{:=} M^{\theta'} \cap H_\theta とおく. この時,MM'HθH_\theta に対し κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持つ. 実際,α<θ\alpha < \theta, f:αθf: \alpha \to \theta とすると,MθM^{\theta'}κ+\kappa^+- 大域被覆性質から F:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa}FMF \in M' を満たすものが取れる. しかし,α,κ<θ\alpha, \kappa < \theta より実際には FHθF \in H_\theta となっているので,FMF \in M' を得る.

一方,明らかに M<μ2=Mθ<μ2=pM' \cap {}^{<\mu} {2} = M^{\theta'} \cap {}^{<\mu} {2} = p^* であるが,II の定義より Mθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^* でもあるため,一意性補題  1から M=MθM' = M^\theta となる.

WW は全ての順序数を含む推移的モデルで WrXWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_r であり,WZFCW \models \mathrm{ZFC}

II の非有界性より WW が全ての順序数を含むのは明らか. また推移的モデルの和なので WW 自身推移的である. また,取り方から MθrWrM^\theta \subseteq \bigcap_r W_r なので,その和も当然 rWr\bigcap_r W_r に含まれる.

WZFW \models \mathrm{ZF} を示そう. 特に事実2を使うことを考える. Gödel 演算が何なのかここでは指定していないが,有限個の基本的な集合演算であり,各 MθM^\theta は全てそれらで閉じている. そうした集合の増加列の和なので,結局 WW は Gödel 演算で閉じていることは明らかである. 概宇宙性を示そう. いま zWz \subseteq W が集合なら,II の非有界性より zHθz \subseteq H_\theta となる θI\theta \in I が存在する. このとき zWHθ=Mθz \subseteq W \cap H_\theta = M^\theta となるが,Mθ=HθW=HθWWM^\theta = H_\theta \cap W = H_\theta^W \in W なので問題ない.

最後に WACW \models \mathrm{AC} だが,いつものように整列定理を示す. しかし xWx \in W とすれば,xMθZFCμx \in M^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu} より xx の整列順序 wMθw \in M^\theta が存在する. これは明らかに WW にも入るので,WW は整列定理を満たす.

ここまでくれば,あとは一瞬である.

あと残っていることは任意の rXr \in X に対し WWWrW_r の基礎モデルとなることを示すだけである. 中間拡大補題  1を念頭におくと,WWVV の基礎モデルとなっていることを示せれば,間に挟まれた WrW_rWW の生成拡大になっていることが言える. これには,Bukovský の定理  2より (W,V)(W, V) が大域被覆性質を持つことが言えればよい. 実際,(W,V)(W, V)κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持つ. 任意に f:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}} を取る. θ>α\theta > \alpha となる θI\theta \in I を取れば,fHθf \in H_\theta である. いま (Mθ,Hθ)(M^\theta, H_\theta)κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持つので,FMθWF \in M^\theta \subseteq WF:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa} かつ f(α)F(α)f(\alpha) \in F(\alpha) となるものが取れる. WWMθM^\theta たちの和だったから,特に FWF \in W となる.

よって (W,V)(W, V)κ+\kappa^+- 大域被覆性質を持ち,特に VVWWκ+\kappa^+-c.c.  生成拡大となっているから,間に挟まれた WrW_r たちは WW の生成拡大になっている.

参考文献

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  • [3]S. D. Friedman, S. Fuchino, and H. Sakai, “On the set-generic multiverse,” 06-Jul-2016. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1607.01625. [Accessed: 07-Jul-2016].

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