概要

本稿は集合論の地質学に関する記事の第四回目です:

  1. 概観と基礎モデルの定義可能性

  2. マントルの構造と下方有向性原理

  3. Bukovskýの定理──強制拡大の特徴付け

  4. 下方有向性原理の証明(今回)

集合論の地質学は,与えられた集合論の宇宙VVの内部モデルがいかなる生成拡大になっているかを考える集合論の分野です. 今回は,薄葉  [1] で証明された基本定理である下方有向性原理sDDG\mathrm{sDDG})の証明を与えます. sDDG\mathrm{sDDG}は全ての基礎モデルの共通部分であるマントルM\mathbb{M}ZFC\mathrm{ZFC}のモデルとなることや、生成多宇宙における包含関係と生成拡大関係が一致することなどを導く強力な原理でした。 その詳しい帰結については、初回前々回を御覧ください。

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下方有向性定理の証明

いよいよこのシリーズのメインデュッシュである,次の定理の証明を与えます:

任意の集合個のVVの基礎モデル{WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}に対し,共通の基礎モデルWrWrW \subseteq \bigcap_r W_rが存在する.

このsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}から,全ての基礎モデルの共通部分であるマントルM\mathbb{M}ZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデルとなることや,強制法で不変な最大のクラスであること,またVVの生成多宇宙における包含関係と生成拡大の関係は一致することなどは第二回で既に見ました.

前回はこの証明の中で重要な役割を担うBukovskýによるκ\kappa-c.c. 拡大の特徴付けを与えました:

ZFCδ\mathrm{ZFC}^{\leq \delta}の推移的モデルの組(W,V)(W, V)δ\delta-大域被覆性質を持つことと,VVWWδ\delta-c.c. 生成拡大であることは同値.

この系として,次の補題が得られていました:

μ:=(2<δ)+\mu \mathrel{:=} (2^{<\delta})^+とおく. W,WVW, W' \subseteq VZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}の推移的モデルで(W,V)(W, V)および(W,V)(W', V)が共にδ\delta-大域被覆性質を持つとする. もし<μ2W=<μ2W{}^{<\mu} {2} \cap W = {}^{<\mu} {2} \cap W'ならW=WW = W'となる.

また,一般の強制拡大はκ\kappa-擬基礎モデルと呼ばれるものになることが初回の議論でわかっていました:

P\mathbb{P}を擬順序,GG(V,P)(V, \mathbb{P})-生成フィルター,Pκ|\mathbb{P}| \leq \kappaとする. この時VVV[G]V[G]の擬基礎モデルとなる. 特に(κ++)V=(κ++)W(\kappa^{++})^V = (\kappa^{++})^Wであり,VWV \subseteq Wκ+\kappa^+-被覆性質およびκ+\kappa^+-近似性質を満たす.

また,生成拡大に挟まれたZFC\mathrm{ZFC}のモデルも生成拡大になる,というお馴染の次の事実も使います:

VWV[G]V \subseteq W \subseteq V[G]が全てZFC\mathrm{ZFC}の推移的モデルでV[G]V[G]VVの生成拡大なら,WWVVの生成拡大で,V[G]V[G]WWの生成拡大となる.

ところで,上の形の主張であれば,牛刀ですがBukovskýの定理から従うので余力があれば示してみてください.

これらを踏まえて,基本的には求めるWrXWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rは十分大きなμ\muに対してμ\mu-大域被覆性質を持つモデルの終拡張の和として実現されます. もう少し具体的に述べれば,次のような戦略で構成が行われます:

  1. 任意のrrに対しWWrVW \subseteq W_r \subseteq Vとなるような,VVの基礎モデルWWが取れればよい. そうすればWWrVW \subseteq W_r \subseteq Vより事実 1からWWは各WrW_rの基礎モデルとなる.

  2. WrW_rPr\mathbb{P}_r-生成拡大に関するVVの基礎モデルであるとして,X,Pr<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappaが任意のrrに対して成り立つようなκ\kappaを持ってくる.

  3. すると補題 2より各WrW_rVVに対しκ\kappa-被覆性質とκ\kappa-近似性質を持つ.

  4. これを使って,十分大きな任意のθ\thetaに対して,ZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}の推移的モデルMθHθM^\theta \subseteq H_\thetaκ+\kappa^+-大域被覆性質を持ちMrXWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rとなるものを取ってこれる.

  5. μ:=2κ+\mu \mathrel{:=} 2^{\kappa+}とおけば,一意性補題 1より各MθM^\theta<μ2Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaの値により一意に確定する.

  6. θ\thetaの候補が真のクラス個あるのに対して,<μ2Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaの候補は集合個しかないので,任意のθ\thetaに対しMθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = pが成り立つようなp<μ2p \subseteq {}^{<\mu} {2}が取れているとしてよい.

  7. すると,上の一意性補題 1からθ<θ\theta < \theta'ならMθHθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\thetaとなる. 即ち,MθM^{\theta'}MθM^\thetaの終拡張(end-extension)になっている.

  8. W:=θMθW \mathrel{:=} \bigcup_\theta M^\thetaとおけば,終拡張の和であることからWWは順序数を全て含み,ZFC\mathrm{ZFC}のモデルとなる.

  9. 更にWWは明らかにVVに対するκ+\kappa^+-大域被覆性質も満たしている.

  10. よってBukovskýの定理2より望み通りVVWWの生成拡大になっている.

以下,記事を通して以下の記法を固定しておく.

XXを集合とし,{WrundefinedrX}\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}VVの基礎モデルの族とする. 各rXr \in Xに対し,VVWrW_rPr\mathbb{P}_r-生成拡大だとして,X,Pr<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappaとなる正則基数κ\kappaを一つ固定する. このとき,WrW_rは補題 2および定理 2よりκ\kappa-大域被覆性質とκ\kappa-近似性質を持つ. μ:=(2κ)+\mu \mathrel{:=} (2^{\kappa})^{+}とする.

κ+\kappa^+-大域被覆がいっぱい

では上の方針に沿って証明をしていこう. まずは上の (4)までの部分を示す.

任意のα\alphaに対し,正則基数θ>κ\theta > \kappaと推移的なZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}のモデルMθHθM^\theta \subseteq H_\theta(M,Hθ)(M, H_\theta)κ+\kappa^+-大域被覆性質を持ちMrXWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rとなるものが取れる.

HθZFCμH_\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}を満たす正則基数θ\thetaは非有界に存在するので,一つそんなθ\thetaを固定する. γ:=(θ<θ)V\gamma \mathrel{:=} (\theta^{<\theta})^Vとおいて,VVにおける<θθ{}^{<\theta} {\theta}{fiundefinedi<γ}\left\{\: f_i \;\middle|\; i < \gamma \:\right\}により列挙し,h:θ×γθh: \theta \times \gamma \to \thetaを次で定める: h(α,i):={fi(α)(if αdom(fi))0(otherwise).h(\alpha, i) \mathrel{:=} \begin{cases} f_i(\alpha) & (\text{if } \alpha \in \mathrm{dom}(f_i))\\ 0 & (\text{otherwise}). \end{cases} このfif_i達はHθH_\thetaにおいてκ+\kappa^+-大域被覆性質の適用対象となるようなf:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}, fHθf \in H_\thetaを列挙していて,hhは一本でその辞書の役割をしていると思える.

H:θ×γ[θ]κH: \theta \times \gamma \to [\theta]^{\leq \kappa}HrWrH \in \bigcap_r W_rかつh(i,α)H(i,α)h(i, \alpha) \in H(i, \alpha)を満たすものが存在.

このHHから各fi:αθHθf_i: \alpha \to \theta \in H_\thetaを被覆する関数が得られる.

η<κ\eta < \kappaに関する帰納法で,次を満たすように各rXr \in Xに対しHη,rH_{\eta, r}を取っていく:

  1. Hη,rWrH_{\eta, r} \in W_r, Hη,r:θ×γ[θ]<κH_{\eta, r}: \theta \times \gamma \to [\theta]^{<\kappa},

  2. Hη,r(α,i){h(α,i)}sXζ<ηHζ,s(α,i)\displaystyle H_{\eta,r}(\alpha, i) \supseteq \left\{ h(\alpha, i) \right\} \cup \bigcup_{{s \in X}\atop{\zeta < \eta}}H_{\zeta, s}(\alpha, i).

いま各WrW_rVVに対してκ\kappa-大域被覆性質を持つことに注意する.

任意のζ<η\zeta < \etasXs \in Xに対しHζ,sH_{\zeta, s}が定義出来ているとする. この時VVH(α,i):={h(α,i)}sX,ζ<ηHζ,s(α,i)H'(\alpha, i) \mathrel{:=} \left\{ h(\alpha, i) \right\} \cup \bigcup_{s \in X, \zeta < \eta} H_{\zeta, s}(\alpha, i) とおくと,X×η<κ|X \times \eta| < \kappaおよびHζ,s(α,i)<κ|H_{\zeta, s}(\alpha, i)| < \kappaよりH(α,i)<κ|H'(\alpha, i)| < \kappaである. よってWrW_rにおけるκ\kappa-大域被覆性質からWHη,r:θ×γ[θ]<κW \models H_{\eta, r} : \theta \times \gamma \to [\theta]^{<\kappa}を満たすHη,rWH_{\eta, r} \in WH(α,i)Hη,r(α,i)H'(\alpha, i) \subseteq H_{\eta, r}(\alpha, i)となるものが取れる(これは(α,i){H(α,i)}(\alpha, i) \mapsto \left\{ H'(\alpha, i) \right\}を考えて,その候補をκ\kappa個未満で近似するものを取り,値域の和を取ればよい). これが求めるものである.

さて,条件を満たすHη,rH_{\eta, r}が取れた. そこでr0Xr_0 \in Xを適当に固定して,H(α,i):=η<κHη,r0(α,i)H(\alpha, i) \mathrel{:=} \bigcup_{\eta < \kappa} H_{\eta, r_0}(\alpha, i)とおく. これが求めるHHであることを示す. 特にHrXWrH \in \bigcap_{r\in X} W_rが言えればよい.

とくにいま,各WrW_rVVに対してκ\kappa-近似性質を持つから, E:={(α,i,ξ)undefinedηH(α,i)}E \mathrel{:=} \left\{\: (\alpha, i, \xi) \;\middle|\; \eta \in H(\alpha, i) \:\right\} とおいて,任意のz[θ×γ×θ]<κWrz \in [\theta \times \gamma \times \theta]^{<\kappa} \cap W_rに対してzEWrz \cap E \in W_rとなることが示せればよい. d:={(α,i)undefinedξ(α,i,ξ)z}d \mathrel{:=} \left\{\: (\alpha, i) \;\middle|\; \exists \xi \: (\alpha, i, \xi) \in z \:\right\}とおけばd<κ|d| < \kappaであり,各(α,i)d(\alpha, i) \in dに対し{ξ<θundefined(α,i,ξ)Ez}\left\{\: \xi < \theta \;\middle|\; (\alpha, i, \xi) \in E \cap z \:\right\}も濃度κ\kappa未満である. よってκ\kappaの正則性から,各(α,i)(\alpha, i)に対しη(α,i)<κ\eta(\alpha, i) < \kappa{ξ<θundefined(α,η,ξ)Ez}Hη(α,i),r(α,i)\left\{\: \xi < \theta \;\middle|\; (\alpha, \eta, \xi) \in E \cap z \:\right\} \subseteq H_{\eta(\alpha, i), r}(\alpha, i)となるものが取れる. ふたたびκ\kappaの正則性から,η:=sup(α,i)dη(α,i)<κ\eta^* \mathrel{:=} \sup_{(\alpha, i) \in d} \eta(\alpha, i) < \kappaとなるので, Ez={(α,i,ξ)zundefinedξHη,r(α,i)}Wr.E \cap z = \left\{\: (\alpha, i, \xi) \in z \;\middle|\; \xi \in H_{\eta^*, r}(\alpha, i) \:\right\} \in W_r. zzは任意なので,EWrE \in W_rを得る. これが示したかったことである.

このとき,全単射π:θ×γ×θγ\pi: \theta \times \gamma \times \theta \stackrel{\sim}{\to} \gammaπL\pi \in Lを満たすものを取り,A:=p[H]A \mathrel{:=} p[H]とおく. AAHHは互いに同じ情報を持っているから,明らかにArWrA \in \bigcap_r W_rであり,またAAは順序数の集合なので,L[A]ZFCL[A]\models \mathrm{ZFC}である. そこでMθ:=HθL[A]M^\theta \mathrel{:=} H_\theta \cap L[A]とおく. L[A]L[A]LLAAを含む最小のモデルだったから,θMθrWr\theta \subseteq M^\theta \subseteq \bigcap_r W_rとなっている.

まずMθM^\thetaκ+\kappa^+-大域被覆性質を満たすことを見よう. ここで,HθH_\thetaから任意にf:αθf: \alpha \to \thetaを取ってくれば,f\vec{f}の取り方からfi=ff_i = fとなるi<γi < \gammaが存在する. この時F(β):=H(β,i)F(\beta) \mathrel{:=} H(\beta, i^*)によりF:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\leq \kappa}を定めれば, trcl(F)=αsupβ<αF(β)<θ<θ.\left| \mathop{\mathrm{trcl}}(F) \right| = \alpha \cdot \sup_{\beta < \alpha} \underbrace{|F(\beta)|}_{< \theta} < \theta. よってFHθF \in H_\theta. またFFHHから定義出来るのでFL[A]F \in L[A]となり,結局FL[A]Hθ=MF \in L[A] \cap H_\theta = Mとなる. このとき定め方からβ<α\beta < \alphaに対しf(β)=fi(β)=h(β,i)H(β,i)=F(β)f(\beta) = f_i(\beta) = h(\beta, i) \in H(\beta, i) = F(\beta)となるので,FMF \in Mffを被覆する関数になっている.

あとはMθZFCμM^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}が示せればよい. 実は,MML[A]L[A]におけるHθH_\thetaそのものと一致していて,特にθ\thetaの取り方からMZFCμM \models \mathrm{ZFC}^{\leq \mu}となっている. 実際, xL[H]x \in L[H]VVにおいてtrcl({x})<θ\left\lvert\mathop{\mathrm{trcl}}(\left\{ x \right\})\right\rvert < \thetaを満たすなら,VVにおいてα<θ\alpha < \thetaφ:αx\varphi: \alpha \twoheadrightarrow xが取れるが,MθM^\thetaHθVH_\theta^Vにおいてκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つことから,F:α[Mθ]κF: \alpha \to [M^\theta]^{\kappa}FMθF \in M^\thetaかつf(β)F(β)f(\beta) \in F(\beta)を満たすものがとれる. 特にxran(F)x \subseteq \mathop{\mathrm{ran}}(F)なのでMθM^\thetaにおいてもtrcl(x)ran(F)κα<θ|\mathop{\mathrm{trcl}}({x})| \leq \bigcup \mathop{\mathrm{ran}}(F) \leq \kappa \cdot \alpha < \thetaとなり,結局L[H]{x}<θL[H] \models \left\lvert\left\{ x \right\}\right\rvert < \thetaとなり,xHθL[H]x \in H_\theta^{L[H]}を得る.

以上より求めるMθM^\thetaの存在が示せた.

小さな大域被覆モデルを貼り合わせる

前節で (4)までは終わった. 残りは割合すんなりと行く.まず次の二つの事実は標準的なので認める:

順序数を全て含む推移的クラスWVW \subseteq Vについて次は同値:

  1. WZFW \models \mathrm{ZF},

  2. WWはGödel演算について閉じ,概宇宙的(i.e. zW:setyWzy\forall z \subseteq W: \text{set}\: \exists y \in W\: z \subseteq y).

さて,μ=2κ+\mu = 2^{\kappa+}と略記していたことを思い出そう. 簡単な観察で次がわかる:

p<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2}で,Mθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^*となるθ\thetaが非有界に存在するものが存在する.

補題 3より各MθM^\thetaHθH_\thetaに対しκ+\kappa^+-被覆性質を持つZFCμ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}のモデルである. pθ=<μ2Mθp^\theta = {}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaとおけば,ukovskýの定理の系として得られる補題 1より,MθM^\theta<μ2M=p{}^{<\mu} {2} \cap M = p^*かつMZFCμM \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}となる一意なHθH_\thetaの内部モデルとなるのだった.

いまθ\thetaは非有界に(つまり真のクラス個)存在するのに対し,pθp^\thetaの候補は高々22<μ2^{2^{<\mu}}個しか存在しない. よって鳩ノ巣原理からp<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2}p=pθp^* = p^\thetaとなるθ\thetaが非有界に存在するものが少なくとも一つは取れる.

上の補題のpp^*を固定し,I:={θundefinedMθMθ<μ2=p}I \mathrel{:=} \left\{\: \theta \;\middle|\; \exists M^\theta \: M^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^* \:\right\}と置く.

W:=θIMθW \mathrel{:=} \bigcup_{\theta \in I} M^\thetaと定める.

このとき,MθundefinedθI\left\langle\: M^\theta \; \middle|\; \theta \in I \:\right\rangleは終拡張列になっていることがわかります:

θ,θI\theta, \theta' \in I, θ<θ\theta < \theta'とするとき,MθHθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\theta.

θ<θ\theta < \theta'とし,M:=MθHθM' \mathrel{:=} M^{\theta'} \cap H_\thetaとおく. この時,MM'HθH_\thetaに対しκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つ. 実際,α<θ\alpha < \theta, f:αθf: \alpha \to \thetaとすると,MθM^{\theta'}κ+\kappa^+-大域被覆性質からF:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa}FMF \in M'を満たすものが取れる. しかし,α,κ<θ\alpha, \kappa < \thetaより実際にはFHθF \in H_\thetaとなっているので,FMF \in M'を得る.

一方,明らかにM<μ2=Mθ<μ2=pM' \cap {}^{<\mu} {2} = M^{\theta'} \cap {}^{<\mu} {2} = p^*であるが,IIの定義よりMθ<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^*でもあるため,一意性補題 1からM=MθM' = M^\thetaとなる.

WWは全ての順序数を含む推移的モデルでWrXWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rであり,WZFCW \models \mathrm{ZFC}

IIの非有界性よりWWが全ての順序数を含むのは明らか. また推移的モデルの和なのでWW自身推移的である. また,取り方からMθrWrM^\theta \subseteq \bigcap_r W_rなので,その和も当然rWr\bigcap_r W_rに含まれる.

WZFW \models \mathrm{ZF}を示そう. 特に事実2を使うことを考える. Gödel演算が何なのかここでは指定していないが,有限個の基本的な集合演算であり,各MθM^\thetaは全てそれらで閉じている. そうした集合の増加列の和なので,結局WWはGödel演算で閉じていることは明らかである. 概宇宙性を示そう. いまzWz \subseteq Wが集合なら,IIの非有界性よりzHθz \subseteq H_\thetaとなるθI\theta \in Iが存在する. このときzWHθ=Mθz \subseteq W \cap H_\theta = M^\thetaとなるが,Mθ=HθW=HθWWM^\theta = H_\theta \cap W = H_\theta^W \in Wなので問題ない.

最後にWACW \models \mathrm{AC}だが,いつものように整列定理を示す. しかしxWx \in Wとすれば,xMθZFCμx \in M^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}よりxxの整列順序wMθw \in M^\thetaが存在する. これは明らかにWWにも入るので,WWは整列定理を満たす.

ここまでくれば,あとは一瞬である.

あと残っていることは任意のrXr \in Xに対しWWWrW_rの基礎モデルとなることを示すだけである. 中間拡大補題 1を念頭におくと,WWVVの基礎モデルとなっていることを示せれば,間に挟まれたWrW_rWWの生成拡大になっていることが言える. これには,Bukovskýの定理 2より(W,V)(W, V)が大域被覆性質を持つことが言えればよい. 実際,(W,V)(W, V)κ+\kappa^+-大域被覆性質を持つ. 任意にf:αOnf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}を取る. θ>α\theta > \alphaとなるθI\theta \in Iを取れば,fHθf \in H_\thetaである. いま(Mθ,Hθ)(M^\theta, H_\theta)κ+\kappa^+-大域被覆性質を持つので,FMθWF \in M^\theta \subseteq WF:α[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa}かつf(α)F(α)f(\alpha) \in F(\alpha)となるものが取れる. WWMθM^\thetaたちの和だったから,特にFWF \in Wとなる.

よって(W,V)(W, V)κ+\kappa^+-大域被覆性質を持ち,特にVVWWκ+\kappa^+-c.c. 生成拡大となっているから,間に挟まれたWrW_rたちはWWの生成拡大になっている.

参考文献

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  • [3]S. D. Friedman, S. Fuchino, and H. Sakai, “On the set-generic multiverse,” 06-Jul-2016. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1607.01625. [Accessed: 07-Jul-2016].

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