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集合論の地質学4：下方有向性原理の証明 konn-san.com

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posted on 2017/12/11 21:00:00 JST

概要

本稿は集合論の地質学に関する記事の第四回目です：

  1. 概観と基礎モデルの定義可能性

  2. マントルの構造と下方有向性原理

  3. Bukovskýの定理──強制拡大の特徴付け

  4. 下方有向性原理の証明（今回）

集合論の地質学は，与えられた集合論の宇宙VVの内部モデルがいかなる生成拡大になっているかを考える集合論の分野です． 今回は，薄葉  [1]で証明された基本定理である下方有向性原理（sDDG\mathrm{sDDG}）の証明を与えます． sDDG\mathrm{sDDG}は全ての基礎モデルの共通部分であるマントルM\mathbb{M}がZFC\mathrm{ZFC}のモデルとなることや、生成多宇宙における包含関係と生成拡大関係が一致することなどを導く強力な原理でした。 その詳しい帰結については、初回や前々回を御覧ください。

[PDF版 ]

下方有向性定理の証明

いよいよこのシリーズのメインデュッシュである，次の定理の証明を与えます：

任意の集合個のVVの基礎モデル{ Wr  |  r∈X }\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}に対し，共通の基礎モデルW⊆⋂rWrW \subseteq \bigcap_r W_rが存在する．

このsDDG\mathord{\mathrm{sDDG}}から，全ての基礎モデルの共通部分であるマントルM\mathbb{M}がZFC\mathrm{ZFC}を満たす内部モデルとなることや，強制法で不変な最大のクラスであること，またVVの生成多宇宙における包含関係と生成拡大の関係は一致することなどは第二回で既に見ました．

前回はこの証明の中で重要な役割を担うBukovskýによるκ\kappa-c.c. 拡大の特徴付けを与えました：

ZFC≤δ\mathrm{ZFC}^{\leq \delta}の推移的モデルの組(W,V)(W, V)がδ\delta-大域被覆性質を持つことと，VVがWWのδ\delta-c.c. 生成拡大であることは同値．

この系として，次の補題が得られていました：

μ:=(2<δ)+\mu \mathrel{:=} (2^{<\delta})^+とおく． W,W′⊆VW, W' \subseteq VがZFC≤μ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}の推移的モデルで(W,V)(W, V)および(W′,V)(W', V)が共にδ\delta-大域被覆性質を持つとする． もし<μ2∩W=<μ2∩W′{}^{<\mu} {2} \cap W = {}^{<\mu} {2} \cap W'ならW=W′W = W'となる．

また，一般の強制拡大はκ\kappa-擬基礎モデルと呼ばれるものになることが初回の議論でわかっていました：

P\mathbb{P}を擬順序，GGを(V,P)(V, \mathbb{P})-生成フィルター，∣P∣≤κ|\mathbb{P}| \leq \kappaとする． この時VVはV[G]V[G]の擬基礎モデルとなる． 特に(κ++)V=(κ++)W(\kappa^{++})^V = (\kappa^{++})^Wであり，V⊆WV \subseteq Wはκ+\kappa^+-被覆性質およびκ+\kappa^+-近似性質を満たす．

また，生成拡大に挟まれたZFC\mathrm{ZFC}のモデルも生成拡大になる，というお馴染の次の事実も使います：

V⊆W⊆V[G]V \subseteq W \subseteq V[G]が全てZFC\mathrm{ZFC}の推移的モデルでV[G]V[G]がVVの生成拡大なら，WWはVVの生成拡大で，V[G]V[G]もWWの生成拡大となる．

ところで，上の形の主張であれば，牛刀ですがBukovskýの定理から従うので余力があれば示してみてください．

これらを踏まえて，基本的には求めるW⊆⋂r∈XWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rは十分大きなμ\muに対してμ\mu-大域被覆性質を持つモデルの終拡張の和として実現されます． もう少し具体的に述べれば，次のような戦略で構成が行われます：

  1. 任意のrrに対しW⊆Wr⊆VW \subseteq W_r \subseteq Vとなるような，VVの基礎モデルWWが取れればよい． そうすればW⊆Wr⊆VW \subseteq W_r \subseteq Vより事実 1からWWは各WrW_rの基礎モデルとなる．

  2. 各WrW_rがPr\mathbb{P}_r-生成拡大に関するVVの基礎モデルであるとして，∣X∣,∣Pr∣<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappaが任意のrrに対して成り立つようなκ\kappaを持ってくる．

  3. すると補題 2より各WrW_rはVVに対しκ\kappa-被覆性質とκ\kappa-近似性質を持つ．

  4. これを使って，十分大きな任意のθ\thetaに対して，ZFC≤μ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}の推移的モデルMθ⊆HθM^\theta \subseteq H_\thetaでκ+\kappa^+-大域被覆性質を持ちM⊆⋂r∈XWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rとなるものを取ってこれる．

  5. μ:=2κ+\mu \mathrel{:=} 2^{\kappa+}とおけば，一意性補題 1より各MθM^\thetaは<μ2∩Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaの値により一意に確定する．

  6. θ\thetaの候補が真のクラス個あるのに対して，<μ2∩Mθ{}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaの候補は集合個しかないので，任意のθ\thetaに対しMθ∩<μ2=pM^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = pが成り立つようなp⊆<μ2p \subseteq {}^{<\mu} {2}が取れているとしてよい．

  7. すると，上の一意性補題 1からθ<θ′\theta < \theta'ならMθ′∩Hθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\thetaとなる． 即ち，Mθ′M^{\theta'}はMθM^\thetaの終拡張（end-extension）になっている．

  8. W:=⋃θMθW \mathrel{:=} \bigcup_\theta M^\thetaとおけば，終拡張の和であることからWWは順序数を全て含み，ZFC\mathrm{ZFC}のモデルとなる．

  9. 更にWWは明らかにVVに対するκ+\kappa^+-大域被覆性質も満たしている．

  10. よってBukovskýの定理2より望み通りVVはWWの生成拡大になっている．

以下，記事を通して以下の記法を固定しておく．

XXを集合とし，{ Wr  |  r∈X }\left\{\: W_r \;\middle|\; r \in X \:\right\}をVVの基礎モデルの族とする． 各r∈Xr \in Xに対し，VVはWrW_rのPr\mathbb{P}_r-生成拡大だとして，∣X∣,∣Pr∣<κ|X|, |\mathbb{P}_r| < \kappaとなる正則基数κ\kappaを一つ固定する． このとき，WrW_rは補題 2および定理 2よりκ\kappa-大域被覆性質とκ\kappa-近似性質を持つ． μ:=(2κ)+\mu \mathrel{:=} (2^{\kappa})^{+}とする．

κ+\kappa^+-大域被覆がいっぱい

では上の方針に沿って証明をしていこう． まずは上の (4)までの部分を示す．

任意のα\alphaに対し，正則基数θ>κ\theta > \kappaと推移的なZFC≤μ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}のモデルMθ⊆HθM^\theta \subseteq H_\thetaで(M,Hθ)(M, H_\theta)がκ+\kappa^+-大域被覆性質を持ちM⊆⋂r∈XWrM \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rとなるものが取れる．

Proof. Hθ⊨ZFC≤μH_\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}を満たす正則基数θ\thetaは非有界に存在するので，一つそんなθ\thetaを固定する． γ:=(θ<θ)V\gamma \mathrel{:=} (\theta^{<\theta})^Vとおいて，VVにおける<θθ{}^{<\theta} {\theta}を{ fi  |  i<γ }\left\{\: f_i \;\middle|\; i < \gamma \:\right\}により列挙し，h:θ×γ→θh: \theta \times \gamma \to \thetaを次で定める： h(α,i):={fi(α)(if α∈dom(fi))0(otherwise).h(\alpha, i) \mathrel{:=} \begin{cases} f_i(\alpha) & (\text{if } \alpha \in \mathrm{dom}(f_i))\\[0em] 0 & (\text{otherwise}). \end{cases} このfif_i達はHθH_\thetaにおいてκ+\kappa^+-大域被覆性質の適用対象となるようなf:α→Onf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}, f∈Hθf \in H_\thetaを列挙していて，hhは一本でその辞書の役割をしていると思える．

このHHから各fi:α→θ∈Hθf_i: \alpha \to \theta \in H_\thetaを被覆する関数が得られる．

このとき，全単射π:θ×γ×θ→∼γ\pi: \theta \times \gamma \times \theta \stackrel{\sim}{\to} \gammaでπ∈L\pi \in Lを満たすものを取り，A:=p[H]A \mathrel{:=} p[H]とおく． AAとHHは互いに同じ情報を持っているから，明らかにA∈⋂rWrA \in \bigcap_r W_rであり，またAAは順序数の集合なので，L[A]⊨ZFCL[A]\models \mathrm{ZFC}である． そこでMθ:=Hθ∩L[A]M^\theta \mathrel{:=} H_\theta \cap L[A]とおく． L[A]L[A]はLLとAAを含む最小のモデルだったから，θ⊆Mθ⊆⋂rWr\theta \subseteq M^\theta \subseteq \bigcap_r W_rとなっている．

まずMθM^\thetaがκ+\kappa^+-大域被覆性質を満たすことを見よう． ここで，HθH_\thetaから任意にf:α→θf: \alpha \to \thetaを取ってくれば，f⃗\vec{f}の取り方からfi=ff_i = fとなるi<γi < \gammaが存在する． この時F(β):=H(β,i∗)F(\beta) \mathrel{:=} H(\beta, i^*)によりF:α→[θ]≤κF: \alpha \to [\theta]^{\leq \kappa}を定めれば， ∣trcl(F)∣=α⋅sup⁡β<α∣F(β)∣⏟<θ<θ.\left| \mathop{\mathrm{trcl}}(F) \right| = \alpha \cdot \sup_{\beta < \alpha} \underbrace{|F(\beta)|}_{< \theta} < \theta. よってF∈HθF \in H_\theta． またFFはHHから定義出来るのでF∈L[A]F \in L[A]となり，結局F∈L[A]∩Hθ=MF \in L[A] \cap H_\theta = Mとなる． このとき定め方からβ<α\beta < \alphaに対しf(β)=fi(β)=h(β,i)∈H(β,i)=F(β)f(\beta) = f_i(\beta) = h(\beta, i) \in H(\beta, i) = F(\beta)となるので，F∈MF \in Mがffを被覆する関数になっている．

あとはMθ⊨ZFC≤μM^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}が示せればよい． 実は，MMはL[A]L[A]におけるHθH_\thetaそのものと一致していて，特にθ\thetaの取り方からM⊨ZFC≤μM \models \mathrm{ZFC}^{\leq \mu}となっている． 実際， x∈L[H]x \in L[H]がVVにおいて∣trcl({x})∣<θ\left\lvert\mathop{\mathrm{trcl}}(\left\{ x \right\})\right\rvert < \thetaを満たすなら，VVにおいてα<θ\alpha < \thetaとφ:α↠x\varphi: \alpha \twoheadrightarrow xが取れるが，MθM^\thetaがHθVH_\theta^Vにおいてκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つことから，F:α→[Mθ]κF: \alpha \to [M^\theta]^{\kappa}でF∈MθF \in M^\thetaかつf(β)∈F(β)f(\beta) \in F(\beta)を満たすものがとれる． 特にx⊆ran(F)x \subseteq \mathop{\mathrm{ran}}(F)なのでMθM^\thetaにおいても∣trcl(x)∣≤⋃ran(F)≤κ⋅α<θ|\mathop{\mathrm{trcl}}({x})| \leq \bigcup \mathop{\mathrm{ran}}(F) \leq \kappa \cdot \alpha < \thetaとなり，結局L[H]⊨∣{x}∣<θL[H] \models \left\lvert\left\{ x \right\}\right\rvert < \thetaとなり，x∈HθL[H]x \in H_\theta^{L[H]}を得る．

以上より求めるMθM^\thetaの存在が示せた．

小さな大域被覆モデルを貼り合わせる

前節で (4)までは終わった． 残りは割合すんなりと行く．まず次の二つの事実は標準的なので認める：

順序数を全て含む推移的クラスW⊆VW \subseteq Vについて次は同値：

  1. W⊨ZFW \models \mathrm{ZF},

  2. WWはGödel演算について閉じ，概宇宙的（i.e. ∀z⊆W:set ∃y∈W z⊆y\forall z \subseteq W: \text{set}\: \exists y \in W\: z \subseteq y）．

さて，μ=2κ+\mu = 2^{\kappa+}と略記していたことを思い出そう． 簡単な観察で次がわかる：

p∗⊆<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2}で，Mθ∩<μ2=p∗M^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^*となるθ\thetaが非有界に存在するものが存在する．

Proof. 補題 3より各MθM^\thetaはHθH_\thetaに対しκ+\kappa^+-被覆性質を持つZFC≤μ\mathrm{ZFC}^{\leq\mu}のモデルである． pθ=<μ2∩Mθp^\theta = {}^{<\mu} {2} \cap M^\thetaとおけば，ukovskýの定理の系として得られる補題 1より，MθM^\thetaは<μ2∩M=p∗{}^{<\mu} {2} \cap M = p^*かつM⊨ZFC≤μM \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}となる一意なHθH_\thetaの内部モデルとなるのだった．

いまθ\thetaは非有界に（つまり真のクラス個）存在するのに対し，pθp^\thetaの候補は高々22<μ2^{2^{<\mu}}個しか存在しない． よって鳩ノ巣原理からp∗⊆<μ2p^* \subseteq {}^{<\mu} {2}でp∗=pθp^* = p^\thetaとなるθ\thetaが非有界に存在するものが少なくとも一つは取れる．

上の補題のp∗p^*を固定し，I:={ θ  |  ∃Mθ Mθ∩<μ2=p∗ }I \mathrel{:=} \left\{\: \theta \;\middle|\; \exists M^\theta \: M^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^* \:\right\}と置く．

W:=⋃θ∈IMθW \mathrel{:=} \bigcup_{\theta \in I} M^\thetaと定める．

このとき，⟨ Mθ  |  θ∈I ⟩\left\langle\: M^\theta \; \middle|\; \theta \in I \:\right\rangleは終拡張列になっていることがわかります：

θ,θ′∈I\theta, \theta' \in I, θ<θ′\theta < \theta'とするとき，Mθ′∩Hθ=MθM^{\theta'} \cap H_\theta = M^\theta.

Proof. θ<θ′\theta < \theta'とし，M′:=Mθ′∩HθM' \mathrel{:=} M^{\theta'} \cap H_\thetaとおく． この時，M′M'はHθH_\thetaに対しκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つ． 実際，α<θ\alpha < \theta, f:α→θf: \alpha \to \thetaとすると，Mθ′M^{\theta'}のκ+\kappa^+-大域被覆性質からF:α→[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa}でF∈M′F \in M'を満たすものが取れる． しかし，α,κ<θ\alpha, \kappa < \thetaより実際にはF∈HθF \in H_\thetaとなっているので，F∈M′F \in M'を得る．

一方，明らかにM′∩<μ2=Mθ′∩<μ2=p∗M' \cap {}^{<\mu} {2} = M^{\theta'} \cap {}^{<\mu} {2} = p^*であるが，IIの定義よりMθ∩<μ2=p∗M^\theta \cap {}^{<\mu} {2} = p^*でもあるため，一意性補題 1からM′=MθM' = M^\thetaとなる．

WWは全ての順序数を含む推移的モデルでW⊆⋂r∈XWrW \subseteq \bigcap_{r \in X} W_rであり，W⊨ZFCW \models \mathrm{ZFC}．

Proof. IIの非有界性よりWWが全ての順序数を含むのは明らか． また推移的モデルの和なのでWW自身推移的である． また，取り方からMθ⊆⋂rWrM^\theta \subseteq \bigcap_r W_rなので，その和も当然⋂rWr\bigcap_r W_rに含まれる．

W⊨ZFW \models \mathrm{ZF}を示そう． 特に事実2を使うことを考える． Gödel演算が何なのかここでは指定していないが，有限個の基本的な集合演算であり，各MθM^\thetaは全てそれらで閉じている． そうした集合の増加列の和なので，結局WWはGödel演算で閉じていることは明らかである． 概宇宙性を示そう． いまz⊆Wz \subseteq Wが集合なら，IIの非有界性よりz⊆Hθz \subseteq H_\thetaとなるθ∈I\theta \in Iが存在する． このときz⊆W∩Hθ=Mθz \subseteq W \cap H_\theta = M^\thetaとなるが，Mθ=Hθ∩W=HθW∈WM^\theta = H_\theta \cap W = H_\theta^W \in Wなので問題ない．

最後にW⊨ACW \models \mathrm{AC}だが，いつものように整列定理を示す． しかしx∈Wx \in Wとすれば，x∈Mθ⊨ZFC≤μx \in M^\theta \models \mathrm{ZFC}^{\leq\mu}よりxxの整列順序w∈Mθw \in M^\thetaが存在する． これは明らかにWWにも入るので，WWは整列定理を満たす．

ここまでくれば，あとは一瞬である．

sDDGの証明. あと残っていることは任意のr∈Xr \in Xに対しWWがWrW_rの基礎モデルとなることを示すだけである． 中間拡大補題 1を念頭におくと，WWがVVの基礎モデルとなっていることを示せれば，間に挟まれたWrW_rはWWの生成拡大になっていることが言える． これには，Bukovskýの定理 2より(W,V)(W, V)が大域被覆性質を持つことが言えればよい． 実際，(W,V)(W, V)はκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つ． 任意にf:α→Onf: \alpha \to \mathord{\mathrm{On}}を取る． θ>α\theta > \alphaとなるθ∈I\theta \in Iを取れば，f∈Hθf \in H_\thetaである． いま(Mθ,Hθ)(M^\theta, H_\theta)はκ+\kappa^+-大域被覆性質を持つので，F∈Mθ⊆WF \in M^\theta \subseteq WでF:α→[θ]κF: \alpha \to [\theta]^{\kappa}かつf(α)∈F(α)f(\alpha) \in F(\alpha)となるものが取れる． WWはMθM^\thetaたちの和だったから，特にF∈WF \in Wとなる．

よって(W,V)(W, V)はκ+\kappa^+-大域被覆性質を持ち，特にVVはWWのκ+\kappa^+-c.c. 生成拡大となっているから，間に挟まれたWrW_rたちはWWの生成拡大になっている．

参考文献

[1]
T. Usuba, “The downward directed grounds hypothesis and very large cardinals,” 17-July-2017. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1707.05132.
[2]
G. Fuchs, J. D. Hamkins, and J. Reitz, “Set-theoretic geology,” 18-Nov-2014. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1107.4776.
[3]
S. D. Friedman, S. Fuchino, and H. Sakai, “On the set-generic multiverse,” 06-July-2016. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1607.01625.

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