概要

集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と,密接に関連するBoole 値モデルの手法について,本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます.また,Hamkins ら   [1] の説明に基づいて,超冪と Boole 値モデルの関係についても簡単に解説します.

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強制法の基本的な考え方と Boole 値モデル

直観的には,現在の集合の宇宙 VV に新しい元 GG を付加した,新たな宇宙 V[G]V[G] を得たい,というのが強制法のモチヴェーションです. しかし,そうはいっても集合の全体は既に VV で確定しているので,「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません.

そこで,強制法では集合概念を拡張することを考えます. どういう事でしょうか? まず,一般の集合 xVx \in V は,と同一視することで,部分関数 x:V2x: V \dashrightarrow 2 と見做すことが出来ます. 22 というのは「各元が xx に属すか?」という真偽値ですから,この真偽値を一般の Boole 代数 B\mathbb{B} に一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです.

このように,所属関係の真偽値を完備 Boole 代数 B\mathbb{B} に一般化した集合のことを,B\mathbb{B}-nameと呼びます.

  • (B,,+,,,,,0,1)\left(\mathbb{B}, \leq, +, \cdot, -, \sum, \prod, \mathbb{0}, \mathbb{1}\right)完備 Boole 代数cBadef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}}

    1. \leqB\mathbb{B} 上の半順序であり,0\mathbb{0}, 1\mathbb{1} はそれぞれ \leq に関する最小・最大元.

    2. ,:P(B)B\sum, \prod: \mathop{\mathcal{P}}(\mathbb{B}) \to \mathbb{B} はそれぞれ B\mathbb{B} の部分集合の上限・下限を与える. 特に x+y:={x,y}x + y \mathrel{:=} \sum \left\{ x, y \right\}, xy:={x,y}x \cdot y \mathrel{:=} \prod \left\{ x, y \right\} と書く.

    3. xBx \in \mathbb{B} に対し,x-xxx補元と呼ばれ,x(x)=0x \cdot (-x) = 0 および x+(x)=1x + (-x) = \mathbb{1} を満たす.

  • cBa B\mathbb{B} に対して,B\mathbb{B}-name の全体VBV^{\mathbb{B}} を次で定める: V0B:=,Vα+1B:=P(VαB×B),VγB:=β<γVβB(γ:limit)VB:=αOnVαB.\begin{gathered} V^{\mathbb{B}}_0 \mathrel{:=} \emptyset, \qquad V^{\mathbb{B}}_{\alpha + 1} \mathrel{:=} \mathop{\mathcal{P}}(V^{\mathbb{B}}_\alpha \times \mathbb{B}),\qquad V^{\mathbb{B}}_\gamma \mathrel{:=} \bigcup_{\beta < \gamma} V^{\mathbb{B}}_\beta \;(\gamma: \text{limit})\\ V^{\mathbb{B}} \mathrel{:=} \bigcup_{\alpha \in \mathord{\mathrm{On}}} V^{\mathbb{B}}_\alpha. \end{gathered} VBV^{\mathbb{B}} の元をギリシア文字 σ,τ,ϑ,\sigma, \tau, \vartheta, \ldots やドット付き文字 x˙,y˙,\dot{x}, \dot{y}, \ldots などで表す.

上では「部分関数」といいましたが,あとで cBa 以外に一般化する際には,こっちの方が楽なので,ちょっと違う定義にしてあります. σVB\sigma \in V^{\mathbb{B}} に対応する部分関数を仮に σ¯\bar{\sigma} と書くことにすれば, σ¯(τ¯):={bB undefined τ,bσ}\bar{\sigma}(\bar{\tau}) \mathrel{:=} \sum \left\{ b \in \mathbb{B} \ \middle|\ \langle \tau, b \rangle \in \sigma \right\} によって「部分関数」を復元出来ます.

さて,当初の「宇宙を広げたい」という欲求からすれば,こうして創った VBV^{\mathbb{B}} の中に VV が自然に埋め込まれてほしいです. それを可能にするのが,次の ˇ\check{\;}- 作用素です.

xVx \in V に対し,xˇVB\check{x} \in V^{\mathbb{B}} を整礎帰納法により次で定める: xˇ:={yˇ,1 undefined yx}.\check{x} \mathrel{:=} \left\{ \langle \check{y}, \mathbb{1} \rangle \ \middle|\ y \in x \right\}.

さて,このようにして一般化された集合の宇宙 VBV^{\mathbb{B}} が定義出来ました. この VBV^{\mathbb{B}} を集合論のモデルとして解釈したい訳ですが,所属関係の真偽値を B\mathbb{B}- 値にしたので,モデルの解釈も B\mathbb{B}- 値で与える必要があります.

  • 強制法の言語 FL{\mathord{\mathcal{F\!L}}} とは,二項述語記号 \mathord{\in} および単項述語記号 Vˇ\check{V} を持つ言語である. また,xVˇx \in \check{V}Vˇ(x)\check{V}(x) の略記法とする.

  • 原子論理式 φ[x]FL\varphi[\vec{x}] \in {\mathord{\mathcal{F\!L}}} および σVB\vec{\sigma} \in V^{\mathbb{B}}真偽値φ[σ]B\left\| \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,\mathbb{B}} を次のような VBV^{\mathbb{B}}- ランクに関する帰納法で定める: στ:=ϑ,bτϑ=σb,σ=τ:=σττσ,σVˇ:=xVxˇ=σ,where στ:=θdom(σ)(θσ+θτ).\begin{gathered} \left\| \sigma \in \tau \right\|_{\,} \mathrel{:=} \sum_{\langle \vartheta, b \rangle \in \tau} \left\| \vartheta = \sigma \right\|_{\,} \cdot b, \qquad \left\| \sigma = \tau \right\|_{\,} \mathrel{:=} \left\| \sigma \subseteq \tau \right\|_{\,} \cdot \left\| \tau \subseteq \sigma \right\|_{\,},\qquad \left\| \sigma \in \check{V} \right\|_{\,} \mathrel{:=} \sum_{x \in V} \left\| \check{x} = \sigma \right\|_{\,},\\ \text{where } \left\| \sigma \subseteq \tau \right\|_{\,} \mathrel{:=} \prod_{\theta \in \mathrm{dom}(\sigma)} \left(- \left\| \theta \in \sigma \right\|_{\,} + \left\| \theta \in \tau \right\|_{\,}\right). \end{gathered}

  • 一般の FL{\mathord{\mathcal{F\!L}}}- 論理式 φ[x]\varphi[\vec{x}] および σVB\vec{\sigma} \in V^{\mathbb{B}} については,φ\varphi の複雑性に関するメタレベルの帰納法で次のように定める: φ[σ]ψ[σ]:=φ[σ]ψ[σ],¬φ[σ]:=φ[σ],xφ[x,σ]:=x˙VBφ[x˙,σ].\begin{gathered} \left\| \varphi[\vec{\sigma}] \wedge \psi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,} \mathrel{:=} \left\| \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,} \cdot \left\| \psi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,}, \qquad \left\| \neg \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,} \mathrel{:=} - \left\| \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,},\\ \left\| \forall x \: \varphi[x, \vec{\sigma}] \right\|_{\,} \mathrel{:=} \prod_{\dot{x} \in V^{\mathbb{B}}} \left\| \varphi[\dot{x}, \vec{\sigma}] \right\|_{\,}. \end{gathered}

  • bBb \in \mathbb{B} に対し,強制関係bφ[σ]defbφ[σ]b \Vdash \varphi[\vec{\sigma}] \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} b \leq \left\| \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,} により定める.

  • VBφ[σ]V^{\mathbb{B}} \models \varphi[\vec{\sigma}]φ[σ]=1\left\| \varphi[\vec{\sigma}] \right\|_{\,} = \mathbb{1} の略記とする.

これにより,VBV^{\mathbb{B}} において,強制法の論理式の解釈が B\mathbb{B}- 真偽値として定まりました.

一つ注意しなくてはいけないのは,原子論理式に対する真偽値や \VdashVV の中で一様に定義できていますが,一般の φ\varphi についてはそうではない,ということです. つまり,\left\| - \right\|_{\,} というのは関数スキーマであって,実際には φFL\varphi \in {\mathord{\mathcal{F\!L}}} が決まる度に関数 φ[]:VBB\left\| \varphi[-] \right\|_{\,}: V^\mathbb{B} \to \mathbb{B} という関数が個別に定義されている,ということです. 同様に,pφ[σ]p \Vdash \varphi[\sigma]φ\varphi が決まるごとに,ppσ\sigma の間の二項関係が定義されている,ということになります. これは,例えば自明な cBa 2\mathbf{2} を考えると,V2VV^{\mathbf{2}} \simeq V となってしまい,Vφφ2=1V \models \varphi \mathrel{\Longleftrightarrow} \left\| \varphi \right\|_{\,\mathbf{2}} = \mathbb{1} となりますが,もしこれが φ\varphi の関数として VV の中で定義出来たとすれば,VV の真理述語が定義出来たことになり,Tarski の真理定義不可能性に反します.

こうして広げた VBV^{\mathbb{B}} は,常に集合論のモデルとなります:

VBZFCV^{\mathbb{B}} \models \mathrm{ZFC}.1

これも,厳密には定理スキーマです. つまり,ZFC\mathrm{ZFC} の各公理 φ\varphi について,φB=1\left\| \varphi \right\|_{\,\mathbb{B}} = \mathbb{1} となることが個別に示せる,ということです.

さて,強制法論理式では Vˇ\check{V} という述語記号を定義しましたが,ちゃんとこれが真偽も含めて VBV^{\mathbb{B}} における VV の写し身になっている,というのが次の二つの定理です:

集合論の論理式 φ[x1,,xn]\varphi[x_1, \ldots, x_n]a1,,anVa_1, \ldots, a_n \in V に対し, Vφ[a1,,an]VBφVˇ[aˇ1,,aˇn].V \models \varphi[a_1, \ldots, a_n] \mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb{B}} \models \varphi^{\check{V}}[\check{a}_1, \ldots, \check{a}_n]. 但し,φVˇ\varphi^{\check{V}}φ\varphi に現れる量化子 x\exists x, x\forall x を全て xVˇ(x)\exists x \: \check{V}(x) \wedge \ldots および xVˇ(x)\forall x \: \check{V}(x) \to \ldots で置き換えた FL{\mathord{\mathcal{F\!L}}}- 論理式.

VBVˇ:推移的,OnVˇV^{\mathbb{B}} \models \text{“}\check{V}: \text{推移的}, \mathord{\mathrm{On}} \subseteq \check{V}\text{”}.

従って,VVVBV^{\mathbb{B}} に埋め込まれていると見てよい話です. VBV^{\mathbb{B}}VV と順序数も共通しているので,高さが同じで,幅を横に広げてやったものと思えます. これから色々な命題の独立性を調べていくにあたって,その際にどういった性質が強制拡大で保たれるのかが気になります. 上の二つの定理から,次のような手頃な判断基準が得られます:

推移的モデルについて絶対的な概念は,強制概念で動かない. 特に Δ1\Delta_1- 概念は強制法的に絶対. 特に,有限集合,ω\omega である,関数である,順序数である,可算である,といった性質は動かない.

「推移的モデルについて絶対的な概念」の具体例については,たとえばこのサイトの「絶対性チートシート [3] を御覧ください.

さて,VBV^{\mathbb{B}} という物を考えたのは,VV にはない元を付加するためでした. それがジェネリックフィルターです.

  • 擬順序集合 P\mathbb{P} について,FPF \subseteq \mathbb{P}P\mathbb{P} 上のフィルター def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} FP\emptyset \neq F \subsetneq \mathbb{P}, xyFxFx \geq y \in F \mathrel{\Longrightarrow} x \in F, x,yFzFzx,yx, y \in F \mathrel{\Longrightarrow} \exists z \in F \: z \leq x, y.

  • pPp \in \mathbb{P}アトムdefr,sprs\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall r, s \leq p\: r \mathrel{\|} s.

  • フィルター FPF \subseteq \mathbb{P}超フィルターdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} FF は極大 .

  • DPD \subseteq \mathbb{P}P\mathbb{P}稠密defxPyDyx\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall x \in \mathbb{P} \: \exists y \in D \: y \leq x.

  • MM を何らかのクラスとする. GBG \subseteq \mathbb{B}MM 上の B\mathbb{B}- ジェネリックフィルター

    def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} GG はフィルターであり,DM:Bで稠密DG\forall D \in M: \mathbb{B}\text{で稠密}\: D \cap G \neq \emptyset.

  • G˙:={bˇ,b undefined bB}VB\dot{G} \mathrel{:=} \left\{ \langle \check{b}, b \rangle \ \middle|\ b \in \mathbb{B} \right\} \in V^{\mathbb{B}}B\mathbb{B} のジェネリックフィルターの標準的名称と呼ぶ.

上のジェネリックフィルターこそ,我々が VV に追加したかった「新しい元」「理想元」です. VBV^{\mathbb{B}} の各元は完備 Boole 代数 B\mathbb{B}- 値の所属確率を持つ元だと思えた訳ですが,逆に B\mathbb{B} の各元はこのジェネリックフィルター GG の〈近似〉だと思うことが出来るのです. より詳しく,B\mathbb{B} 上の順序は,各元の GG の近似として自由度について並べられていると考えることが出来,qpq \leq p は「qqpp を拡張する近似」「qqpp より精しい近似」「pp の方が qq より自由度がある」と読むことが出来ます. この見方は,のちほど第  2節で擬順序に一般化した際にも通用します.

なぜこう思えるのでしょうか? それは,まず第一にはフィルターの定義を見てみるとわかります. フィルターというのは,貼り合わせられる近似の集合だと思えるのです. 特に,FF が下界について閉じているという条件が一番の本質です. \leq が近似の精しさを表していると思った時,rp,qr \leq p, q を満たす rr は,二つの近似 pp, qq 両方の情報を持った,いわば両者を貼り合わせたものだと思えます. フィルター FF が下界を取る操作で閉じている,ということは,FF が捉えている近似はいくらでも貼り合わせて精しく出来る,という事を意味します. そこに加えて,「超フィルターである」ということ,つまり極大なフィルターであるという事は,「貼り合わせが可能なギリギリの範囲まで集めてきた」ものだと思える訳で,それはつまり「近似を貼り合わせて得られるホンモノの対象」に対応していそうです.

今一実感が湧きづらいかもしれないので,実例を見てみましょう. 単位区間 [0,1][0,1] に属する実数は,二進無限小数展開を通じて {0,1}\left\{ 0, 1 \right\} の無限列だと思うことが出来ます. この時,実数の有限桁の近似全体 <ω2{}^{<\omega} {2}pqdefpqp \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} p \supseteq q という順序を入れましょう. すると,この順序での超フィルター UU を考えたとき,UU の各元を貼り合わせて得られる U\bigcup U は,{0,1}\left\{ 0, 1 \right\} の無限列となり,一つの実数に対応することがわかります. 逆に,実数 x:ω2x : \omega \to 2 が与えられれば,これらの最初の有限桁の近似ぜんぶを持ってくれば,これが (<ω2,)({}^{<\omega} {2}, \supseteq) の超フィルターとなることもすぐにわかります.

もちろん,超フィルターは選択公理させあればいつでも取れる訳で,単なる超フィルターである,という条件だけではまだ理想元であるとはいえません. 「理想元である」という事を捕まえているのが,ジェネリック性の「MM に属する稠密集合と必ず交わる」という条件です. DDMM で稠密である,ということは,いいかえれば「どんな近似も,適切に拡張することで性質 DD を満たすようにできる」という事です. また,cBa の場合に計算してみれば,DD が稠密ならその上限は D=1\sum D = \mathbb{1} となることもわかります. つまり,「DD が稠密である」という事はのは,B\mathbb{B} の意味で「性質 DD はほぼ確率 1\mathbb{1} で成り立つ」であると思える訳です. これを踏まえれば,ジェネリック性は「MM で捕まえられるような,B\mathbb{B} の各元が普遍的に満たすような性質は,それらを貼り合わせて得られる理想元 GG も満たしている」という意味に解釈出来る訳です.

では,この GG は本当に新しい元になっているのでしょうか? たとえば,B\mathbb{B}GG の〈近似〉としては自明な元を含む場合,には GG がもともと VV の元であった,といったことは起きそうです. 自明な近似,というのは,「それより延ばしようがない」あるいは「それから先の延ばし方が一通りしかない」ような近似で,といっても構いません. そのような「一番精しい近似」とでもいうべきものが,上で最後に定義したアトムの概念です. では,アトムを持たないような cBa であれば,ジェネリックフィルターは VV の属さない本当に「新しい元」になっているのではないか? 実際そうだ,というのが次の定理です:

B\mathbb{B} がアトムを持たないなら,VV 上の B\mathbb{B}- ジェネリックフィルターは VV に存在しない.

まず,B\mathbb{B} がアトムを持たない場合,一般に B\mathbb{B} 上のフィルター FF に対し,D:=BFD \mathrel{:=} \mathbb{B} \setminus F は稠密集合となることを示す. xBx \in \mathbb{B} を取れば,p,qxp, q \leq xpq=0p \cdot q = 0 を満たすものが存在する. すると,FF がフィルターである事から,p,qp, q の少なくとも一方は FF に属さない事がわかる. 従って pDp \in D または qDq \in D のいずれか一方のみが成り立たなくてはならない. xx の選択は任意であったから,DDB\mathbb{B} で稠密である.

以上を踏まえれば,もしジェネリックフィルター GGVV に属したとすると,D:=BGVD \mathrel{:=} \mathbb{B} \setminus G \in V は稠密集合となり,DGD \cap G \neq \emptyset となってしまうが,これは矛盾である.

よって,十分複雑な B\mathbb{B} についてはジェネリックフィルターは非自明なものであることがわかりました. このことから,次の補題により,「新しい元」が VBV^{\mathbb{B}} に付け加わっていると思うことが出来ます:

VBG˙:Vˇ上 Bˇ-ジェネリックV^{\mathbb{B}} \models \text{“}\dot{G}: \check{V}\text{上 }\check{\mathbb{B}}\text{-ジェネリック}\text{”}.

定義から bˇG˙=cBcˇ=bˇc=b\displaystyle \left\| \check{b} \in \dot{G} \right\|_{\,} = \sum_{c \in \mathbb{B}} \left\| \check{c} = \check{b} \right\|_{\,} \cdot c = b となる事に注意する. すると,VB1ˇG˙,0ˇG˙V^{\mathbb{B}} \Vdash \check{\mathbb{1}} \in \dot{G}, \check{0} \notin \dot{G} はすぐにわかる. 上に閉じていることも, bˇcˇbˇG˙cˇG˙=(bˇcˇbˇG˙)+cˇG˙=(bˇcˇb)+c=1.\left\| \check{b} \leq \check{c} \wedge \check{b} \in \dot{G} \mathrel{\Longrightarrow} \check{c} \in \dot{G} \right\|_{\,} = - (\left\| \check{b} \leq \check{c} \right\|_{\,} \cdot \left\| \check{b} \in \dot{G} \right\|_{\,}) + \left\| \check{c} \in \dot{G} \right\|_{\,} = - (\left\| \check{b} \leq \check{c} \right\|_{\,} \cdot b) + c = \mathbb{1}. また,bcˇ=(bˇcˇ)G˙=bc=bˇG˙cˇG˙\left\| \check{b \cdot c} = (\check{b} \cdot \check{c}) \in \dot{G} \right\|_{\,} = b \cdot c = \left\| \check{b} \in \dot{G} \wedge \check{c} \in \dot{G} \right\|_{\,} より G˙\dot{G} の任意の二元は両立する. よって G˙\dot{G} はフィルターである. 更に,bˇG˙=bˇG˙=b=bˇG˙\left\| \check{b} \notin \dot{G} \right\|_{\,} = - \left\| \check{b} \in \dot{G} \right\|_{\,} = - b = \left\| -\check{b} \in \dot{G} \right\|_{\,} なので,G˙\dot{G} は超フィルターでもある.

最後に,DVD \in V を稠密集合とすると, DˇG˙=xDˇxG˙=dDdG˙=D=1.\left\| \check{D} \cap \dot{G} \neq \emptyset \right\|_{\,} = \left\| \exists x \in \check{D} \: x \in \dot{G} \right\|_{\,} = \sum_{d \in D} \left\| d \in \dot{G} \right\|_{\,} = \sum D = \mathbb{1}. よって VBG˙:V 上 B-ジェネリックV^{\mathbb{B}} \models \text{“}\dot{G}: V\text{ 上 }\mathbb{B}\text{-ジェネリック}\text{”}.

このようにして,VBV^{\mathbb{B}} の中では,VV に存在しないジェネリックフィルターが存在しているかのように見えていることがわかりました. 更に,実は VBV^{\mathbb{B}} は自分が Vˇ\check{V}G˙\dot{G} を含む最小の ZFC\mathrm{ZFC} のモデルであると信じている事もわかります.

それを述べるには,次のような定義が必要になります:

  • FFB\mathbb{B} のフィルターとする. B\mathbb{B}-name τ\tauFF-解釈τF:=val(τ,F)\tau^F \mathrel{:=} {\mathop{\mathrm{val}}}(\tau, F) を帰納的に次のように定める: val(τ,F):={val(σ,F) undefined (σ,b)τ,bF}.{\mathop{\mathrm{val}}}(\tau, F) \mathrel{:=} \left\{ {\mathop{\mathrm{val}}}(\sigma, F) \ \middle|\ (\sigma, b) \in \tau, b \in F \right\}.

  • MM を推移的な集合論のモデルとし,BM\mathbb{B} \in M を cBa とする. MM 上の B\mathbb{B}- ジェネリックフィルター GG に対し,MMGG によるジェネリック拡大M[G]M[G] を次で定める: M[G]:={σG undefined σMB}.M[G] \mathrel{:=} \left\{ \sigma^G \ \middle|\ \sigma \in M^{\mathbb{B}} \right\}.

M[G]M[G]MNM \subseteq NGNG \in N を満たす推移的モデル NN の中で最小.

NN が推移的で MNM \subseteq N かつ GNG \in N なら MBNM^{\mathbb{B}} \subseteq N となることは明らか. val{\mathop{\mathrm{val}}} の値も明らかに推移的モデルについては絶対的なので,M[G]NM[G] \subseteq N となる.

任意の τVB\tau \in V^{\mathbb{B}} に対し,VBτ=τˇG˙V^{\mathbb{B}} \models \tau = \check{\tau}^{\dot{G}}.

よって VBxxVˇ[G˙]V^{\mathbb{B}} \models \forall x \: x \in \check{V}[\dot{G}] が成り立ち,VBV^{\mathbb{B}} は自分自身の事を Vˇ[G˙]\check{V}[\dot{G}] だと思い込んでいる.

τ\tau のランクに関する帰納法.

Diagram よって以上から,VBV^{\mathbb{B}}V[G]V[G] と同一視して,あたかも VV 上のジェネリックフィルター GG が取れているかのように考えても差し支えないということがわかります. このような見方の下で,VVV[G]V[G] は,右図のような形をしています.

強制法の一般論へ

以上の理論は cBa について構築してきましたが,実用上は擬順序集合による強制法を考えるのが便利です.

  • P,,1\langle \mathbb{P}, \leq, \mathbb{1} \rangle擬順序集合posetdef\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \leqP\mathbb{P} 上反射的かつ推移的であり,1\mathbb{1} はその最大元.

  • pqdefrPrp,qp \mathrel{\|} q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \exists r \in \mathbb{P} \: r \leq p, q.

  • pqdef¬(pq)p \perp q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \neg (p \mathrel{\|} q).

問題は,cBa で量化子を解釈する際には無限演算 \prod, \sum が使えたのに対し,poset の場合はそう素直にいかない事です. そこで,poset による強制法を考える場合には,真偽値 \left\| \quad \right\|_{\,} ではなく強制関係 \Vdash を基本的な関係として考えます.

まず,簡単な計算により,cBa の場合は \Vdash が次を満たすことがわかります:

φ,ψ\varphi, \psi を強制法の論理式とする.

  • pστ{qp undefined s,θτqs,qσ=θ}p \Vdash \sigma \in \tau \mathrel{\Longleftrightarrow} \left\{ q \leq p \ \middle|\ \exists \langle s, \theta \rangle \in \tau \: q \leq s, q \Vdash \sigma = \theta \right\}pp 以下で稠密.

  • pσ=τϑdom(σ)dom(τ)qp[qϑσqϑτ]p \Vdash \sigma = \tau \mathrel{\Longleftrightarrow} \forall \vartheta \in \mathrm{dom}(\sigma) \cup \mathrm{dom}(\tau)\:\forall q \leq p \: [ q \Vdash \text{“}\vartheta \in \sigma\text{”} \mathrel{\Longleftrightarrow} q \Vdash \text{“}\vartheta \in \tau\text{”} ].

  • pφψpφp \Vdash \varphi \wedge \psi \mathrel{\Longleftrightarrow} p \Vdash \varphi かつ pψp \Vdash \psi.

  • p¬φ{q undefined q̸φ}p \Vdash \neg \varphi \mathrel{\Longleftrightarrow} \left\{ q \ \middle|\ q \not\Vdash \varphi \right\}pp 以下で稠密 .

  • pxφ(x)σVPpφ(σ)p \Vdash \forall x \varphi(x) \mathrel{\Longleftrightarrow} \forall \sigma \in V^{\mathbb{P}} \: p \Vdash \varphi(\sigma).

そこで,一般の poset の場合はこれを逆に定義として採用してしまいましょう.

Poset P\mathbb{P}φFL\varphi \in {\mathord{\mathcal{F\!L}}} および pPp \in \mathbb{P} に対して,pPφp \Vdash_{\mathbb{P}} \varphi を上の補題の各条件で定義する.

また VPφV^{\mathbb{P}} \models \varphi1Pφ\mathbb{1} \Vdash_{\mathbb{P}} \varphi の略記とする.

これで形だけは定義出来た訳ですが,果して Boole 値モデルとちゃんと対応してくれるでしょうか? それを見るためには,poset の埋め込みと完備化についての理論が必要になります.

  • 以下の三条件を満たすとき,i:PQi: \mathbb{P} \to \mathbb{Q}稠密埋め込みという:

    1. i(1P)=1Qi(\mathbb{1}_{\mathbb P}) = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}.

    2. pPqi(p)Qi(q)p \leq_{\mathbb{P}} q \mathrel{\Longrightarrow} i(p) \leq_{\mathbb{Q}} i(q),

    3. pqi(p)i(q)p \mathrel{\|} q \mathrel{\Longleftrightarrow} i(p) \mathrel{\|} i(q),

    4. i[P]i[\mathbb{P}]Q\mathbb{Q} で稠密.

  • i:PBi: \mathbb{P} \to \mathbb{B}P\mathbb{P}Boole 完備化def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} ran(i)B{0}\mathop{\mathrm{ran}}(i) \subseteq \mathbb{B} \setminus \left\{ 0 \right\} であり ii は稠密.

順序集合の一般論により,次が言えます:

任意の poset P\mathbb{P} に対し,その Boole 完備化 B=B(P)\mathbb{B} = \mathbb{B}(\mathbb{P}) が同型を除いて一意に存在する. 特に,P\mathbb{P} の擬順序位相に関する正則開集合代数はその一つ.

これらから,我々は P\mathbb{P} による強制法と,B(P)\mathbb{B}(\mathbb{P}) による Boole 値モデルの二つの方法を得た訳です. これらの関係を与えるのが次の補題です:

i:PQi: \mathbb{P} \to \mathbb{Q} を稠密埋め込みとする. この時,ı~:P(P)P(Q)\tilde{\imath}: \mathop{\mathcal{P}}(\mathbb{P}) \to \mathop{\mathcal{P}}(\mathbb{Q}) および i:VPVQi^*: V^{\mathbb{P}} \to V^{\mathbb{Q}} を次で定める: ı~(A):={qQ undefined pAi(p)Qq},i(σ):={i(τ),i(p) undefined τ,pσ},i(σ):={i(τ),p undefined τ,qσ,i(p)q}.\begin{aligned} \tilde{\imath}(A) &\mathrel{:=} \left\{ q \in \mathbb{Q} \ \middle|\ \exists p \in A \: i(p) \leq_{\mathbb{Q}} q \right\},\\ i^*(\sigma) & \mathrel{:=} \left\{ \langle i^*(\tau), i(p) \rangle \ \middle|\ \langle \tau, p \rangle \in \sigma \right\},\\ i_*(\sigma) & \mathrel{:=} \left\{ \langle i_*(\tau), p \rangle \ \middle|\ \langle \tau, q \rangle \in \sigma, i(p) \leq q \right\}. \end{aligned}

  • VPσ=i(i(σ))V^{\mathbb{P}} \models \sigma = i_*(i^*(\sigma)), VQσ=i(i(σ))V^{\mathbb{Q}} \models \sigma = i^*(i_*(\sigma)).

  • GGP\mathbb{P}- ジェネリックなら H:=ı~(G)H \mathrel{:=} \tilde{\imath}(G)Q\mathbb{Q}- ジェネリックで V[G]=V[H]V[G] = V[H].

  • HHQ\mathbb{Q}- ジェネリックなら G:=i1[H]G \mathrel{:=} i^{-1}[H]P\mathbb{P}- ジェネリックで V[H]=V[G]V[H] = V[G].

  • pPφ[σ1,,σn]i(p)Qφ[i(σ1),,i(σn)]p \Vdash_{\mathbb{P}} \varphi[\sigma_1, \ldots, \sigma_n] \mathrel{\Longleftrightarrow} i(p) \Vdash_{\mathbb Q} \varphi[i^*(\sigma_1), \ldots, i^*(\sigma_n)].

つまり,二つの poset の間に稠密埋め込みが存在した場合,それらは強制法としては同値になるのです. 特に,P\mathbb{P} による強制と,B=B(P)\mathbb{B} = \mathbb{B}(\mathbb{P}) による強制とで結果は変わらない事がわかります. B\mathbb{B} の方が見掛け上の真偽値が多く VBV^{\mathbb{B}} も大きく見えますが,表現出来る集合の数は本質的に VPV^{\mathbb{P}} と変わっていない訳です.

強制関係 \Vdash の基本性質

Boole 値モデルの場合は B\mathbb{B} の各元は真偽値の集合と思った訳ですが,poset の場合は P\mathbb{P} の各元はジェネリックオブジェクトの近似だと思って,pφp \Vdash \varphi は「近似 pp の下で φ\varphi が成立する」と読むのがわかりやすいでしょう.

Poset の場合は真偽値の計算は出来ませんが,強制関係の計算によって何が成り立つのかを調べる事が出来ます. そうした計算上で,次の補題はよく使われます:

  • pφ{q undefined qφ}p \Vdash \varphi \mathrel{\Longleftrightarrow} \left\{ q \ \middle|\ q \Vdash \varphi \right\}pp 以下で稠密.

  • pxaˇφ(x){q undefined apφ(aˇ)}p \Vdash \exists x \in \check{a}\: \varphi(x) \mathrel{\Longleftrightarrow} \left\{ q \ \middle|\ \exists a \: p \Vdash \varphi(\check{a}) \right\}pp 以下で稠密.

  • 任意の φ\varphipPp \in \mathbb{P} に対し, qp(qφ)(q¬φ)\exists q \leq p\: (q \Vdash \varphi) \vee (q \Vdash \neg \varphi).

  • V[G]φpGpφV[G] \models \varphi \mathrel{\Longleftrightarrow} \exists p \in G\: p \Vdash \varphi.

連続体仮説の独立性

これらを使って,連続体仮説の独立性を証明したいと思います.

  • Add(κ):=(<κ2,){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) \mathrel{:=} ({}^{<\kappa} {2}, \supseteq)κ\kappa の部分集合を付け足す posetと呼ぶ.

  • 基数 κ\kappa について,posets (Pi,i,1i) undefined iI\left\langle (\mathbb{P}_i, \leq_i, \mathbb{1}_i) \ \middle|\ i \in I \right\rangleκ\kappa- 台直積を次で定める: iI<κPi:={p:function undefined dom(p)[I]<κ,idom(p)p(i)Pi},1:=,pqdefdom(p)dom(q)idom(p)p(i)iq(i).\begin{gathered} \prod_{i \in I}^{<\kappa} \mathbb{P}_i \mathrel{:=} \left\{ p : \text{function} \ \middle|\ \mathrm{dom}(p) \in [I]^{<\kappa}, \forall i \in \mathrm{dom}(p)\: p(i) \in \mathbb{P}_i \right\},\\ \mathbb{1} \mathrel{:=} \emptyset,\\ p \leq q \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \mathrm{dom}(p) \supseteq \mathrm{dom}(q) \wedge \forall i \in \mathrm{dom}(p)\: p(i) \leq_i q(i). \end{gathered}

  • Add(κ,γ):=α<γ<κAdd(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa, \gamma) \mathrel{:=} \prod_{\alpha < \gamma}^{< \kappa} {\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa)κ\kappa の部分集合を γ\gamma 個付け加える posetと呼ぶ.

次でみるように,Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) は,κ\kappa から 22 への関数を付加するので,特性関数だと思えば確かに Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) は新たな κ\kappa の部分集合を付け足していると言える.

GGVV 上の Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa)- ジェネリックフィルターとすると,V[G]G˙:κ2V[G] \models \bigcup\dot{G}: \kappa \to 2.

まず GG がフィルターであり,特に任意の二元が両立することから,G\bigcup G は関数となることに注意する.

なので,あとは G\bigcup Gκ\kappa 全域で定義されている事をみればよい. ここで,以下の形の集合は VV に属する Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) の稠密集合である: Dα:={pAdd(κ) undefined αdom(p)}(α<κ)D_\alpha \mathrel{:=} \left\{ p \in {\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) \ \middle|\ \alpha \in \mathrm{dom}(p) \right\}\;(\alpha < \kappa) よって,各 α<κ\alpha < \kappa について GDαG \cap D_\alpha \neq \emptyset. 以上より κ=dom(G)\kappa = \mathrm{dom}(\bigcup G).

κ\kappa が正則基数のとき Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) の組合せ論的性質として,次が成り立つことがわかる:

Poset P\mathbb{P}γ\gamma- 閉def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} 任意の α<γ\alpha < \gamma と降鎖 pβ undefined β<α\left\langle p_\beta \ \middle|\ \beta < \alpha \right\rangleβ<ξpβpξ\beta < \xi \mathrel{\Longrightarrow} p_\beta \leq p_\xi)に対し,下界 pp^* が存在:β<αppβ\forall \beta < \alpha\: p^* \leq p_\beta.

κ\kappa が正則の時,Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) および Add(κ,γ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa, \gamma)cf(κ)\mathrm{cf}(\kappa)- 閉 .

γ<cfκ\gamma < \mathrm{cf} \kappa として pα undefined α<γ\left\langle p_\alpha \ \middle|\ \alpha < \gamma \right\rangleAdd(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) の降鎖とする. この時,ξ<cfκ\xi < \mathrm{cf} \kappa かつ dom(p)<κ\mathrm{dom}(p) < \kappa であることから,supα<γdom(pα)<κ\sup_{\alpha < \gamma} \mathrm{dom}(p_\alpha) < \kappa. よって p:=α<γpaAdd(κ)p^* \mathrel{:=} \bigcup_{\alpha < \gamma} p_a \in {\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) がこの降鎖の下界となる.

Add(κ,γ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa, \gamma) の方も同様.

なぜこのような性質を考えるのかというと,κ\kappa- 閉な poset による強制法は κ\kappa 以下の基数を保つからです. より具体的に次が成り立ちます:

P\mathbb{P}κ\kappa- 閉の時,V[G]<κVVV[G] \models {}^{< \kappa} {V} \subseteq V.

1σ<κV\mathbb{1} \Vdash \sigma \in {}^{<\kappa} {V} を満たす σVP\sigma \in V^{\mathbb{P}} を固定し,D:={p undefined pσVˇ}D \mathrel{:=} \left\{ p \ \middle|\ p \Vdash \sigma \in \check{V} \right\}P\mathbb{P} で稠密となる事を示そう. そこで pp を任意に取る. 補題  4より qdom(σ)=αq \Vdash \mathrm{dom}(\sigma) = \alpha を満たすような α<κ\alpha < \kappaqpq \leq p が取れる. あとは,qq 以下の降鎖 qγ undefined γ<α\left\langle q_\gamma \ \middle|\ \gamma < \alpha \right\ranglexγV undefined γ<α\left\langle x_\gamma \in V \ \middle|\ \gamma < \alpha \right\rangleqγσ(γˇ)=xˇγq_\gamma \Vdash \sigma(\check{\gamma}) = \check{x}_\gamma を満たすものを,κ\kappa- 閉性を使ってとっていく. そして最終的に qq^*qαq_\alpha の下界とすれば,pqσ=xˇγγ<αVˇp \geq q^* \Vdash \text{“}\sigma = \langle \check{x}_\gamma | \gamma < \alpha \rangle \in \check{V}\text{”} となるので qDq^* \in D が求めるもの.

以上から V[G]<κVVV[G] \models {}^{< \kappa} {V} \subseteq V.

P\mathbb{P}κ\kappa- 閉なら P\mathbb{P}κ\kappa 以下の基数を保つ.

P\mathbb{P} での強制によって短い列は増えないので,基数の壊れようがない.

κ\kappa が正則で GGVVAdd(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa)- ジェネリックなら V[G]2<κ=κV[G] \models 2^{< \kappa } = \kappa.

2<κκ2^{< \kappa} \geq \kappa は明らかなので,κ\kappa から 2<κ2^{<\kappa} への全射が付け加わる事がわかればよい. 特に,Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa)κ\kappa- 閉なので,2<κ2^{<\kappa}VVV[G]V[G] で全く同じである事に注意しよう. そこで ,:κ×κκ\langle -, - \rangle: \kappa \times \kappa \stackrel{\sim}{\to} \kappa を標準的な全単射で,特に各切片が 次の各集合 DsD_s を考えよう: Ds:={p undefined α<κγdom(s)p(α,γ)=s(i)}(s<κ2).D_s \mathrel{:=} \left\{ p \ \middle|\ \exists \alpha < \kappa \: \forall \gamma \in \mathrm{dom}(s) \:p(\langle \alpha, \gamma \rangle) = s(i) \right\}\;(s \in {}^{<\kappa} {2}). いま適当に pAdd(κ)p \in {\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) を取れば,κ\kappa の正則性より η:=sup{α+1 undefined βα,βdom(p)}<κ\eta \mathrel{:=} \sup \left\{ \alpha+1 \ \middle|\ \exists \beta \: \langle \alpha, \beta \rangle \in \mathrm{dom}(p) \right\} < \kappa となる. そこで p(η,γ):=s(γ)(γ<dom(s))p'(\langle \eta, \gamma \rangle) \mathrel{:=} s(\gamma)\;(\gamma < \mathrm{dom}(s)) として,余りは適当に埋めれば,ppp' \leq p かつ pDsp' \in D_s を満たす. よって各 DsD_sAdd(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa) で稠密である.

そこで,V[G]V[G]f:=Gf \mathrel{:=} \bigcup G とおいて,F:={f(α,)γ undefined γ,α<κ}\mathcal{F} \mathrel{:=} \left\{ f(\langle \alpha, - \rangle) \upharpoonright \gamma \ \middle|\ \gamma, \alpha < \kappa \right\} とおけば,Fκ|\mathcal{F}| \leq \kappa である. 一方,s<κ2s \in {}^{<\kappa} {2} を取れば,Add(κ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa)κ\kappa- 閉性より sVs \in V であり,GDsG \cap D_s \neq \emptyset を満たすので,定義から sFs \in \mathcal{F} となる. よって 2<κFκ2^{<\kappa} \leq |\mathcal{F}| \leq \kappa であるから,V[G]2<κ=κV[G] \models 2^{<\kappa} = \kappa が成り立つ.

GG: VVAdd(κ+){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa^+)- ジェネリック \mathrel{\Longrightarrow} V[G]κ:基数2κ=κ+V[G] \models \text{“}\kappa: \text{基数} \wedge 2^\kappa = \kappa^+\text{”}.

特に Add(ω1){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega_1) は実数を一切足さずに連続体仮説を強制する.

前の補題より V[G]2κ=2<κ+=κ+V[G] \models 2^\kappa = 2^{< \kappa^+} = \kappa^+. Add(ω1){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega_1)ω1\omega_1- 閉なので可算列は増えず,従って実数も足さない.

このように CH\mathrm{CH} を強制することも出来ますが,元々は強制法は CH\mathrm{CH} を破るための発明でした. それにはどうすればいいでしょうか? 取り敢えず,実数を一つ(対角化すれば可算個)付け加えるのは Add(ω){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega) で出来ますから,これを 2\aleph_2 回繰り返してやれば良さそうです. その際には,上で気にしたように基数を保存するかどうか?というのが重要になってきます. だって,2\aleph_2 個実数を足してやったところで,2V\aleph_2^VV[G]V[G] で可算になっていたら意味がありませんから. その事を確かめるために閉性とともに良く用いられるのがκ\kappa- 鎖条件です.

P\mathbb{P}κ\kappa- 鎖条件κ\kappa-chain condition, κ\kappa-c.c.)を満たす def\xLeftrightarrow{\mathrm{def}} P\mathbb{P} の反鎖の濃度は κ\kappa 未満.

閉性は「小さい」基数を保つ条件でしたが,鎖条件は「大きな」基数を保つ条件です.

P\mathbb{P}κ\kappa-c.c. を満たすなら P\mathbb{P}κ\kappa 以上の基数を保つ. 即ち VV の任意の基数 λκ\lambda \geq \kappa について Pλˇ:基数\mathbb{P} \models \text{“}\check{\lambda}: \text{基数}\text{”}.

これには次の補題を用いることになります:

P\mathbb{P}κ\kappa-c.c. で f˙\dot{f}Pf˙:AˇBˇ\mathbb{P} \Vdash \dot{f}: \check{A} \to \check{B} を満たす関数の P\mathbb{P}- 名称なら,F:A[B]<κF: A \to [B]^{< \kappa} が存在して xAˇPf˙(xˇ)Fˇ(xˇ)\forall x \in \check{A} \:\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{f}(\check{x}) \in \check{F}(\check{x})\text{”}

以下のように FF を定める: F(x):={yB undefined pPpf˙(xˇ)=yˇ}.F(x) \mathrel{:=} \left\{ y \in B \ \middle|\ \exists p \in \mathbb{P} \: p \Vdash \text{“}\dot{f}(\check{x}) = \check{y}\text{”} \right\}. すると,Pf˙(xˇ)Fˇ(xˇ)\mathbb{P} \Vdash \dot{f}(\check{x}) \in \check{F}(\check{x}) は明らか. このままだと F:AP(B)F: A \to \mathop{\mathcal{P}}(B) ということしかわからないので,F(x)<λ|F(x)| < \lambda を示そう. そこで,定義により各 yF(x)y \in F(x) に対し pyf˙(xˇ)=yˇp_y \Vdash \dot{f}(\check{x}) = \check{y} を取り,Ax:={pyP undefined yF(x)}A_x \mathrel{:=} \left\{ p_y \in \mathbb{P} \ \middle|\ y \in F(x) \right\} とおく. ここで,pypzp_y \mathrel{\|} p_z とすると,qpy,pzq \leq p_y, p_z を取れば qyˇ=f˙(xˇ)=zˇq \Vdash \text{“}\check{y} = \dot{f}(\check{x}) = \check{z}\text{”} となり,定理  2から y=zy = z となります. この事から,特に対応 ypyy \mapsto p_y は単射なので F(x)Ax|F(x)| \leq |A_x| となり,更に AxA_x は反鎖となることがわかります. すると,κ\kappa-c.c. から F(x)Ax<κ|F(x)| \leq |A_x| < \kappa を得ます.これが示したかったことでした.

基数の極限は基数であり,極限基数は正則基数の極限で書けるので,κ\kappa 以上の正則基数が保たれる事を示せばよい.

そこで,任意の正則基数 λκ\lambda \geq \kappaγ<λ\gamma < \lambda に対し,Pf˙:γˇλˇ\mathbb{P} \Vdash \dot{f}: \check{\gamma} \to \check{\lambda} なら Pf˙:有界\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{f}: \text{有界}\text{”} となる事を示しましょう. この時,上の補題  9から F:γ[λ]<κF: \gamma \to [\lambda]^{<\kappa} で任意の α<γ\alpha < \gamma に対し pf˙(αˇ)Fˇ(αˇ)p \Vdash \text{“}\dot{f}(\check{\alpha})\text{”} \in \check{F}(\check{\alpha}) を満たす関数が存在します. 今,λκ\lambda \geq \kappa かつ F(α)<γ|F(\alpha)| < \gamma であるので,λ\lambda の正則性より ξ:=supα<γsupF(α)<λ\xi \mathrel{:=} \sup_{\alpha < \gamma} \sup F(\alpha) < \lambda となります. すると,各 α<γ\alpha < \gamma について pf˙(αˇ)supFˇ(αˇ)γ<λp \Vdash \dot{f}(\check{\alpha}) \leq \sup \check{F}(\check{\alpha}) \leq \gamma < \lambda.

Add(κ,γ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\kappa, \gamma)(2<κ)+(2^{<\kappa})^+-c.c. を持つ.

この事実の証明には Δ\Delta- システム補題を使いますが,新しい概念を導入するのが面倒になったのでやりません. 証明じたいはそこまで面倒なものではないので,気になった人は Kunen  [4] などを参考にしてください.

Add(ω,γ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \gamma)ω1\omega_1-c.c. を持つ. 特に,Add(ω,γ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \gamma) は全ての基数を保存する.

基数 λ\lambda に対し,Add(ω,λ)20λ{\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) \Vdash 2^{\aleph_0} \geq \lambda.

上の系から Add(ω,λ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) は全ての基数を保つので,λ\lambda は依然として基数であることに注意.

そこで GGVV 上の Add(ω,λ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda)- ジェネリックフィルターとして,以下のように fα:ω2f_\alpha : \omega \to 2 を定める: fα(n):=(G)(α,n)(n<ω,α<λ).f_\alpha(n) \mathrel{:=} \left(\bigcup G\right)(\alpha, n)\;(n < \omega, \alpha < \lambda). この時,次の Dn,EβαD_n, E^\alpha_\beta はそれぞれ Add(ω,λ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) で稠密である: Dn:={pAdd(ω,λ) undefined αdom(p)ndomp(α)}(n<ω)Eβα:={pAdd(ω,λ) undefined ndomp(α)domp(β)p(α)(n)p(β)(n)}(α<β<λ).\begin{gathered} D_n \mathrel{:=} \left\{ p \in {\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) \ \middle|\ \forall \alpha \in \mathrm{dom}(p) \: n \in \mathrm{dom} p(\alpha) \right\}\; (n < \omega)\\ E^\alpha_\beta \mathrel{:=} \left\{ p \in {\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) \ \middle|\ \exists n \in \mathrm{dom} p(\alpha) \cap \mathrm{dom} p(\beta) \: p(\alpha)(n) \neq p(\beta)(n) \right\} \; (\alpha < \beta < \lambda). \end{gathered} すると,DnGD_n \cap G \neq \emptyset より各 fα:ω2f_\alpha : \omega \to 2 であり,EβαGE^\alpha_\beta \cap G \neq \emptyset より任意の α<β<λ\alpha < \beta < \lambda に対して fαfβf_\alpha \neq f_\beta となるから,{fα}α\left\{ f_\alpha \right\}_\alphaλ\lambda の相異なる実数の列である. よって V[G]2ωλˇV[G] \models 2^\omega \geq \check{\lambda}.

よって,Add(ω,2){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \aleph_2) で強制すれば,CH\mathrm{CH} を破ることが出来た. 実は,適切な仮定の下で Add(ω,λ){\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) による強制拡大における連続体の濃度は決定できる.

P\mathbb{P}λ\lambda-c.c. を満たし P=ν|\mathbb{P}| = \nu とする. 基数 μ\mu に対して θ:=(ν<λ)μ\theta \mathrel{:=} (\nu^{<\lambda})^\mu とすると P2μˇθˇ\mathbb{P} \Vdash 2^{\check{\mu}} \leq \check{\theta}.

まず,この補題の ν<λ\nu^{<\lambda} というのは,P\mathbb{P} の完備化の濃度の上界である.

鎖条件は稠密埋め込みによって保たれることはすぐにわかる. そこで P\mathbb{P} の代わりに完備化 B=B(P)\mathbb{B} = \mathbb{B}(\mathbb{P}) を代わりに考えよう. B\mathbb{B}P\mathbb{P} の全ての部分集合の上限・下限を付け足して得られる訳だが,「重複」を除いて考えれば,P\mathbb{P} の反鎖の上限・下限だけを考えればよい. いま,P\mathbb{P}λ\lambda-c.c. を満たすから,反鎖の総数は高々 ν<λ\nu^{<\lambda} 個しかない. よって Bν<λ|\mathbb{B}| \leq \nu^{<\lambda} である.

そこで x˙\dot{x}PBx˙μˇ\mathbb{P} \Vdash_{\mathbb{B}} \dot{x} \subseteq \check{\mu} を満たすものとする. このとき, Fx˙(α):=αˇx˙BF_{\dot{x}}(\alpha) \mathrel{:=} \left\| \check{\alpha} \in \dot{x} \right\|_{\,\mathbb{B}} により写像 Fx˙:μBF_{\dot{x}}: \mu \to \mathbb{B} が定まる. このような写像の総数は μB=Bμ(ν<λ)μ=θ|{}^{\mu} {\mathbb{B}}| = |\mathbb{B}|^\mu \leq (\nu^{<\lambda})^\mu = \theta. Px˙=y˙\mathbb{P} \Vdash \text{“}\dot{x} = \dot{y}\text{”} ならば Fx˙=Fy˙F_{\dot{x}} = F_{\dot{y}} となるから, よって μ\mu の部分集合の名称は本質的に θ\theta 個しか存在しないので,P2μθˇ\mathbb{P} \Vdash 2^{\mu} \leq \check{\theta}.

GCH\mathrm{GCH} を仮定する. cfλ>ω\mathrm{cf} \lambda > \omega なら Add(ω,λ)2ω=λˇ{\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) \Vdash 2^{\omega} = \check{\lambda}.

Add(ω,λ)=[λ]<ω×2<ω=λ×ω=λ|{\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda)| = [\lambda]^{<\omega} \times 2^{<\omega} = \lambda \times \omega = \lambda. そこで,先の補題において λ:=ω1\lambda \mathrel{:=} \omega_1, ν:=λ\nu \mathrel{:=} \lambda, μ:=ω\mu \mathrel{:=} \omega とおけば, θ=(λ<ω1)ω=λω=λ\theta = (\lambda^{<\omega_1})^\omega = \lambda^\omega = \lambda(最後の ==GCH\mathrm{GCH} および cfλ>ω\mathrm{cf} \lambda > \omega より). よって Add(ω,λ)2ω=λˇ.{\mathop{\mathsf{Add}}}(\omega, \lambda) \Vdash 2^\omega = \check{\lambda}.

Hamkins の〈自然主義〉強制法

最後に,Hamkins  [1] らの「自然主義的」な強制法の説明について説明しましょう. そのままでは VBV^{\mathbb{B}} は Boole 値モデルであって普通のモデルではないが,それを B\mathbb{B} 上の超フィルターで割ることによって通常の(定義可能なクラス)モデルを得よう,という考え方です.

U\mathcal{U}B\mathbb{B} 上の超フィルターとする. この時,VB/UV^{\mathbb{B}}/\mathcal{U}, VˇU\check{V}_{\mathcal{U}} および jU:VVˇUj_{\mathcal{U}}: V \to \check{V}_{\mathcal{U}} を次で定める: x˙Uy˙defx˙=y˙U,[x˙]U:=({y˙VB undefined x˙Uy˙}の中でランク最小のもの全体)[x˙]UE[y˙]Udefx˙y˙U,VB/U:=({[x˙]U undefined x˙VB},E),VˇU:={[σ]UVB/U undefined σVˇU},jU(x):=[xˇ]U.\begin{gathered} \dot{x} \sim_{\mathcal{U}} \dot{y} \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\| \dot{x} = \dot{y} \right\|_{\,} \in \mathcal{U}, \qquad{} [\dot{x}]_{\mathcal{U}} \mathrel{:=} \left(\left\{ \dot{y} \in V^{\mathbb{B}} \ \middle|\ \dot{x} \sim_{\mathcal{U}} \dot{y} \right\} \text{の中でランク最小のもの全体}\right)\\{} [\dot{x}]_{\mathcal{U}} \mathrel{E} [\dot{y}]_{\mathcal{U}} \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \left\| \dot{x} \in \dot{y} \right\|_{\,} \in \mathcal{U},\qquad V^{\mathbb{B}} / \mathcal{U} \mathrel{:=} (\left\{ [\dot{x}]_{\mathcal{U}} \ \middle|\ \dot{x} \in V^{\mathbb{B}} \right\}, \mathrel{E}),\\ \check{V}_{\mathcal{U}} \mathrel{:=} \left\{ [\sigma]_{\mathcal{U}} \in V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \ \middle|\ \left\| \sigma \in \check{V} \right\|_{\,} \in \mathcal{U} \right\},\\ j_{\mathcal{U}}(x) \mathrel{:=} [\check{x}]_{\mathcal{U}}. \end{gathered}

VˇU\check{V}_\mathcal{U}Boole 超冪と呼ぶ.

任意の cBa B\mathbb{B} に対して,定義可能なクラスへの初等埋め込み j:VV¯j: V \mathrel{\mathop{\stackrel{}{\longrightarrow}}\limits_{\prec}} \bar{V}V¯\bar{V} 上の B¯:=j(B)\bar{\mathbb{B}} \mathrel{:=} j(\mathbb{B})- ジェネリックフィルター G¯V\bar{G} \in V が存在する. VV¯V¯[G¯].V \prec \bar{V} \subseteq \bar{V}[\bar{G}]. 特に,V¯[G¯]\bar{V}[\bar{G}]jjVV で定義可能クラスになっている.

U\mathcal{U} を適当な B\mathbb{B} 上の超フィルターとして,V¯:=VˇU\bar{V} \mathrel{:=} \check{V}_{\mathcal{U}}, j:=jUj \mathrel{:=} j_{\mathcal{U}}G¯:=[G˙]U\bar{G} \mathrel{:=} [\dot{G}]_{\mathcal{U}} とおけばよい.

ここで重要なのは,U\mathcal{U} は超フィルターならなんでもいいという事です. これは,VV は普通の \in- モデルであるのに対して,VˇU\check{V}_{\mathcal{U}} などは一般に整礎とは限らない EE を所属関係に持ち,更に G¯V\bar{G} \in V は(メタ的に VV 上と見做せるにしても)V¯\bar{V} 上のジェネリックフィルターであって VV 上のものではないためです.

更に,Łoś の定理に相当する,次の定理が成り立ちます:

超フィルター U\mathcal{U} に対し φ(τ)UVB/Uφ([τ]U)\left\| \varphi(\tau) \right\|_{\,} \in \mathcal{U} \mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb B} / \mathcal{U} \models \varphi([\tau]_{\mathcal{U}}).

これには,次の定理が必要になります:

論理式 φ[x,y]\varphi[x, \vec{y}] に対し,x˙VB\dot{x} \in V^{\mathbb{B}}xφ[x,σ]=φ[x˙,σ]\left\| \exists x \: \varphi[x, \vec{\sigma}] \right\|_{\,} = \left\| \varphi[\dot{x}, \vec{\sigma}] \right\|_{\,} を満たすものが存在する.

b:=xφ(x˙)b \mathrel{:=} \left\| \exists x \: \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} とすると,定義から, b=x˙VBφ(x˙).b = \sum_{\dot{x} \in V^\mathbb{B}} \left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,}. そこで S:={φ(x˙) undefined x˙VB}S \mathrel{:=} \left\{ \left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} \ \middle|\ \dot{x} \in V^{\mathbb{B}} \right\} とおいて,SS の元以下の所で極大な反鎖 ASA \subseteq \mathop{\downarrow} S を取る. この時 A=b\sum A = b. そこで,各元 pAp \in A に対して,pφ(σp)p \leq \left\| \varphi(\sigma_p) \right\|_{\,} となるような σp\sigma_p を固定しておく. すると,x˙:={τ,pq undefined pA,τ,qσp}\dot{x} \mathrel{:=} \left\{ \langle \tau, p \cdot q \rangle \ \middle|\ p \in A, \langle \tau, q \rangle \in \sigma_p \right\} が求めるものとなる. 定め方より各 pAp \in A に対し pφ(x˙)p \leq \left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} となるので b=Aφ(x˙)b = \sum A \leq \left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,}. 一方で x˙VB\dot{x} \in V^{\mathbb{B}} なので定義より φ(x˙)S\left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} \in S となるので,φ(x˙)S=b\left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} \leq \sum S = b.

原子論理式については,定義から明らか.

複合論理式については,論理式の長さに関する帰納法で示す. Boole 結合について: ¬φ=φUφU( U:フィルタ)VB/Uφ(帰納法の仮定)VB/U¬φ.φψ=φψUφ,ψU(U:フィルタ)VB/Uφ,ψ(帰納法の仮定)VB/Uφψ\begin{alignedat}{2} \left\| \neg \varphi \right\|_{\,} = - \left\| \varphi \right\|_{\,} \in \mathcal{U} &\mathrel{\Longleftrightarrow} \left\| \varphi \right\|_{\,} \notin \mathcal{U} &\qquad& (\because\ \mathcal{U}: \text{フィルタ})\\ &\mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb B}/\mathcal{U} \nvDash \varphi && (\text{帰納法の仮定})\\ &\mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb B}/\mathcal{U} \models \neg \varphi.\\ \left\| \varphi \wedge \psi \right\|_{\,} = \left\| \varphi \right\|_{\,} \cdot \left\| \psi \right\|_{\,} \in \mathcal{U} &\mathrel{\Longleftrightarrow} \left\| \varphi \right\|_{\,}, \left\| \psi \right\|_{\,} \in \mathcal{U} & & (\mathcal{U}: \text{フィルタ}) \\ &\mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \varphi, \psi && (\text{帰納法の仮定})\\ &\mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \varphi \wedge \psi \end{alignedat} 最後に量化子について.特に存在量化だけ考えればよい. 極大原理により φ(x)\varphi(x) に対して φ(x˙)=xφ(x)\left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} = \left\| \exists x \: \varphi(x) \right\|_{\,} となる x˙\dot{x} を取れば, xφ(x)=φ(x˙)UVB/Uφ([x˙]U)VB/Uxφ(x).\begin{aligned} \left\| \exists x \: \varphi(x) \right\|_{\,} = \left\| \varphi(\dot{x}) \right\|_{\,} \in \mathcal{U} \mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb{B}}/{\mathcal{U}} \models \varphi([\dot{x}]_{\mathcal{U}}) \mathrel{\Longrightarrow} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \exists x \: \varphi(x). \end{aligned} また,VB/Uxφ(x)V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \exists x \: \varphi(x) とすると, [y˙]VB/U[\dot{y}] \in V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} があって, VB/Uxφ(x)VB/Uφ([y˙]U)xφ(x)=z˙φ(z˙)φ(y˙)U(帰納法の仮定).xφ(x)U(U:フィルタ).\begin{alignedat}{2} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \exists x \: \varphi(x) &\mathrel{\Longrightarrow} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \varphi([\dot{y}]_{\mathcal{U}})\\ &\mathrel{\Longleftrightarrow} \left\| \exists x \: \varphi(x) \right\|_{\,} = \sum_{\dot{z}} \left\| \varphi(\dot{z}) \right\|_{\,} \geq \left\| \varphi(\dot{y}) \right\|_{\,} \in \mathcal{U} &\quad& (\text{帰納法の仮定}).\\ &\mathrel{\Longrightarrow} \left\| \exists x \: \varphi(x) \right\|_{\,} \in \mathcal{U} && (\mathcal{U}: \text{フィルタ}). \end{alignedat} よって xφ(x)UVB/Uxφ(x)\left\| \exists x \: \varphi(x) \right\|_{\,} \in \mathcal{U} \mathrel{\Longleftrightarrow} V^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \exists x \in \varphi(x).

VB/UZFCV^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} \models \mathrm{ZFC}.

つまり,強制法とは φU\left\| \varphi \right\|_{\,} \in \mathcal{U} を満たす超フィルタを見付けて VB/UV^{\mathbb{B}}/\mathcal{U} を考えることに外ならなかった訳です. そして,多くの場合は φ=1\left\| \varphi \right\|_{\,} = \mathbb{1} なので,これは自明になりたっていた,という事です.

特に,ジェネリックフィルタ GG による Boole 超冪である場合は,VˇGV\check{V}_G \simeq V となります:

必ずしも VV に属するとは限らない超フィルタ UU について,次は同値:

  1. UUVV 上ジェネリック

  2. jUj_U は自明で VV から VˇU\check{V}_U への同型射となる.

(1)(2)\href{\#item:U-generic}{(1)} \mathrel{\Longrightarrow} \href{\#item:jU-iso}{(2)} を示す. [σ]VˇU[\sigma] \in \check{V}_U をとれば,b:=σVˇUb \mathrel{:=} \left\| \sigma \in \check{V} \right\|_{\,} \in U である. この時,A:={σ=xˇ undefined xV,σ=xˇ0}VA \mathrel{:=} \left\{ \left\| \sigma = \check{x} \right\|_{\,} \ \middle|\ x \in V, \left\| \sigma = \check{x} \right\|_{\,} \neq \mathbb{0} \right\} \in Vbb 以下の極大反鎖なので,UU のジェネリック性から UAU \cap A \neq \emptyset. そこで唯一に決まる σ=xˇU\left\| \sigma = \check{x} \right\|_{\,} \in U が取れ,[σ]=[xˇ]=jU(x)[\sigma] = [\check{x}] = j_U(x) を得る. したがって jUj_U は全射であり,初等性から同型となる.

逆に (2)(1)\href{\#item:jU-iso}{(2)} \mathrel{\Longrightarrow} \href{\#item:U-generic}{(1)} を示す. jUj_U を同型とする. AVA \in VB\mathbb{B} の極大反鎖とした時,aAa \in A に対し a=aˇ=σa = \left\| \check{a} = \sigma \right\|_{\,} を満たすような B\mathbb{B}- 名称 σVB\sigma \in V^{\mathbb{B}} が取れる. このとき τAˇ=1\left\| \tau \in \check{A} \right\|_{\,} = \mathbb{1} となるので,特に τVˇ=1\left\| \tau \in \check{V} \right\|_{\,} = \mathbb{1}